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1、第 13 讲 勾股定理的证明知识定位讲解用时：3 分钟A、适用范围：人教版初二，基础较好；B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初二新课，本节课我们要学习勾股定理以及它的证明。勾股定理是一个基本的几何定理，是中考数学考察的一个重点。中国古代数学著作 九章算术 的第九章即为勾股术，并且整体上呈现出明确的算法和应用性特点。对于今后几何的证明题、大题中都是用的非常多的，所以充分掌握这一知识点并从中学会解题技巧是非常必要的。知识梳理讲解用时：20分钟勾股定理1、勾股定理如果直角三角形的两条直角边分别为a 和 b，斜边为 c，那么一定有222abc a c b 勾股定理的另一种表述：直角三角形两直角边的平
2、方和等于斜边的平方勾股定理的其他表现形式：22acb22bca22cab勾股定理的三边俗称“勾三，股四，弦五”。古人把较短的直角边称为勾，较长直角边称为股，而斜边则为弦。勾股定理的证明相传 2500 年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家里做客，发现朋友家用砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系面积法推导：ABCSSS结论：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形面积赵爽弦图的证法：大正方形小正方形直角三角形=+4SSS22142cbaab222cab加菲尔德的证法：211112222ababcabab222cab你还知道其他的证明方法吗？(1)A+B=90 (两锐角互余)(2)11=
3、ab=ch22ABCS(等面积法求直角三角形面积)(3)CD=12AB(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)(4)222abc(满足勾股定理)直角三角形的性质常见勾股数组：（3，4，5）、（5，12，13）、（8，15，17）、（9，40，41）等勾股数组扩大或缩小一定的倍数仍然满足（3n，4n，5n）、（5n，12n，13n）、（8n，15n，17n）、（9n，40n，41n）等(1)A+B=90 (两锐角互余)(2)11=ab=ch22ABCS(等面积法求直角三角形面积)(3)CD=12AB(直角三角形斜边的中线等于斜边的一半)(4)222abc(满足勾股定理)含特殊角（45、30、60）
4、的勾股定理题等腰直角三角形三边满足1：1：2 的关系，任意给出一边，可将另外 2 边表示出来含 30 或 60的直角三角形三边满足 1：3：2 的关系，任意给出一边，可将另外2 边求出来课堂精讲精练【例题 1】下列说法中正确的是（）A已知 a，b，c 是三角形的三边，则a2+b2=c2B在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C在 RtABC中，C=90，所以 a2+b2=c2D在 RtABC中，B=90，所以 a2+b2=c2【答案】C【解析】在直角三角形中只有斜边的平方等于其他两边的平方的和，且斜边对角为直角，根据此就可以直接判断A、B、C、D选项解：在直角三角形中只有斜边的平方等于其他
5、两边的平方的和，且斜边对角为直角A、不确定 c 是斜边，故本命题错误，即A选项错误；B、不确定第三边是否是斜边，故本命题错误，即B选项错误；C、C=90，所以其对边为斜边，故本命题正确，即C选项正确；D、B=90，所以斜边为 b，所以 a2+c2=b2，故本命题错误，即D选项错误；故选：C讲解用时：2 分钟解题思路：本题考查了勾股定理的正确运用，只有斜边的平方才等于其他两边的平方和教学建议：熟记勾股定理是在直角三角形中产生的，且斜边的平方等于两直角边的平方和.难度：2 适应场景：当堂例题例题来源：沂源县期末年份：2017【练习 1.1】如图，在 RtABC中，ACB=90，以点 A为圆心，AC
6、长为半径作圆弧交边AB于点 D若 AC=3，BC=4 则 BD的长是（）A2 B3 C 4 D5【答案】A【解析】首先利用勾股定理可以算出AB的长，再根据题意可得到AD=AC，根据BD=AB AD即可算出答案解：AC=3，BC=4，AB=5，以点 A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点 D，AD=AC，AD=3，BD=AB AD=5 3=2故选：A讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方教学建议：熟练掌握并应用勾股定理.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：宝丰县期末年份：2017【例题 2】
7、已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长是【答案】或 5【解析】直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为4 的边是否为斜边，所以要讨论（1）边长为 4 的边为斜边；（2）边长为 4 的边为直角边解：（1）当边长为 4 的边为斜边时，另一条边长为=；（2）当边长为 4 的边为直角边时，另一条边长为=5，故另一条边长是或 5故答案为：或 5讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，本题中运用分类讨论思想讨论边长为4 的边是直角边还是斜边是解题的关键教学建议：注意 4 可能是斜边，也可能是直角边，因此要考虑两种情况.难度：3 适应场景：当堂例题例题来
8、源：东明县期末年份：2017【练习 2.1】等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，求底边长【答案】或 3或 8【解析】根据题意分三种情况，画出相应的图形，从而可以解答本题解：当等腰三角形为锐角三角形，且CD为腰上的高时，如右图1 所示，在 RtACD 中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD=4，BD=AB AD=5 4=1，在 RtBDC 中，CD=3，BD=1，根据勾股定理得：BC=；当等腰三角形为钝角三角形，且CD为腰上的高时，如右图2 所示，在 RtACD 中，AC=5，CD=3，根据勾股定理得：AD=4，BD=AB+AD=5+4=9，在 RtBDC 中，CD=3，BD=9，根据勾
9、股定理得：BC 3；当 AD为底边上的高时，如右图3 所示，AB=AC，AD BC，BD=CD，在 RtABD中，AD=3，AB=5，根据勾股定理得：BD=4，BC=2BD=8，综上，等腰三角形的底边长为或 3或 8讲解用时：4 分钟解题思路：本题考查勾股定理、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答教学建议：此题切记要用分类讨论的思想，不要漏掉其他情况.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【例题 3】以 a、b 为直角边（ba），以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab把这两个直角三角形拼成如
10、图所示形状的直角梯形请根据下图验证勾股定理【答案】见解析【解析】由图知，梯形的面积等于三个直角三角形的面积之和，用字母表示出来，化简后，即证明勾股定理解：由图可得，（a+b）（a+b）=ab+c2+ab，整理得，=，则 a2+2ab+b2=2ab+c2，故 a2+b2=c2讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查了勾股定理的证明，锻炼了同学们的数形结合的思想方法教学建议：掌握勾股定理的一种证明方法.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：尤溪县校级月考年份：2014【练习 3.1】有四个同样大小的直角三角形，两条直角边分别为a，b，斜边为 c，拼成一个正方形，中间留有一个小正方形（1）利用它们之
11、间的面积关系，探索出关于a，b，c 的等式；（2）利用（1）中发现的直角三角形中两直角边a，b 和斜边 c 之间的关系，完ABC 中，C=90，且 c=6，a+b=8，则ABC的面积为；（3）如图，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用 x、y 表示四个矩形的两边长（xy），观察图案，指出以下关系式：（1）xy=（2）x+y=m （3）x2y2=m?n（4）x2+y2=其中正确的有（填序号）【答案】（1）a2+b2=c2；（2）7；（3）（1）（2）（3）（4）【解析】（1）根据大正方形的面积的不同表示方法，即可得到于a，b，c 的等式；（2）根据（a+b）2=64，a2+b2=c2=3
12、6，即可得到 ab=14，进而得出 ABC的面积；（3）根据完全平方公式以及平方差公式，即可得到xy，x+y，x2y2以及 x2+y2之间的数量关系，进而得出正确结论解：（1）大正方形的面积=c2，大正方形的面积=4ab+（ba）2，4ab+（ba）2=c2，2ab+b22ab+a2=c2，即 a2+b2=c2（2）a+b=8，（a+b）2=64，即 a2+2ab+b2=64，又a2+b2=c2=36，2ab=6436=28，即 ab=14，ABC 的面积为ab=14=7 故答案为：7；（3）矩形的边长分别为x，y，矩形的面积=xy=（m2n2）4=；大正方形的边长为m，x+y=m；小正方形的
13、边长为n，xy=n，x2y2=（x+y）（xy）=m?n；x+y=m，xy=，x2+y2=（x+y）22xy=m22=；故其中正确的有（1）（2）（3）（4）故答案为：（1）（2）（3）（4）讲解用时：5 分钟解题思路：本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及勾股定理的证明，解题时注意：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和，化简整理得到勾股定理教学建议：掌握勾股定理的证明方法以及完全平方公式的应用.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：广陵区校级期中年份：2017【例题 4】已知，在 ABC中，ACB=90 ，CD AB 垂足为
14、D，BC=6，AC=8，求 AB 与 CD的长【答案】4.8【解析】在直角三角形 ABC中，利用勾股定理求出AB 的长，再利用面积法求出 CD的长即可解：在 ABC中，ACB=90 ，CD AB垂足为 D，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB=10，SABC=AB?CD=AC?BC，CD=4.8讲解用时：3 分钟解题思路：此题考查了勾股定理，以及三角形面积求法，熟练掌握勾股定理是解本题的关键熟练教学建议：熟练掌握并应用勾股定理.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：潮南区期中年份：2017【练习 4.1】在ABC中，C=90 ，A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 ca=4，b=12，求
15、a，c【答案】a=16，c=20【解析】利用勾股定理得出结论，将 ca=4和 b=12代入建立方程求出a 的值，即可解：在 ABC中，C=90 ，a2+b2=c2，ca=4，b=12c=a+4，a2+122=（a+4）2a=16c=20，即 a=16，c=20讲解用时：3 分钟解题思路：此题主要考查了勾股定理，解方程，解本题的关键是得出a2+122=（a+4）2教学建议：熟练应用勾股定理和完全平方公式进行解题.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：武清区期中年份：2017【例题 5】点 A、B、C在格点图中的位置如图所示，格点小正方形的边长为1，则点 C到线段 AB的距离是【答案】【解析】连接
16、 AC，BC，设点 C到线段 AB所在直线的距离是h，利用勾股定理求出 AB的长，利用三角形的面积公式即可得出结论解：连接 AC，BC，设点 C到线段 AB所在直线的距离是h，SABC=32=3，AB=，h=3，h=故答案为：讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键教学建议：掌握勾股定理并灵活运用，利用等面积法求点C到线段 AB的距离.难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：兴化市期末年份：2017【练习 5.1】如图，每个小正方形的边长都为1（1）请直接写出：四边形ABCD 的面积是（2）求点 B到
17、 AD的距离【答案】（1）；（2）【解析】（1）在坐标系内描出各点，再顺次连接，利用矩形的面积减去三角形与正方形的面积即可；（2）利用等面积法求点B到 AD的距离解：（1）S四边形 ABCD=5524121415=故答案是：（2）如图，过点 B作 BE AD于 E，AD=，45341415=?BE，BE=，即点 B到 AD的距离为讲解用时：5 分钟解题思路：本题考查了勾股定理，不规则四边形的面积的求法，不规则图形的面积通常转化为利用规则图形的面积表示教学建议：将不规则图形的面积通常转化为利用规则图形的面积表示，熟练运用勾股定理进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：硚口区期中年份：20
18、17【例题 6】已知 ABC中，AB=AC，CD AB于 D，若 AB=5，CD=3，求 BC的长【答案】【解析】在 RtCDA 中，利用勾股定理求出AD的长，然后求出 BD的长，最后在 RtCBD 中，利用勾股定理求出CB的长度解：在 RtCDA中，AC=AB=5，CD=3，AD=4，BD=AB AD=5 4=1，在 RtCBD 中，BC=讲解用时：3 分钟解题思路：本题主要考查等腰三角形的性质，勾股定理的知识点，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理去求边长，此题难度不大教学建议：利用等腰三角形的性质，熟练运用勾股定理进行解题.难度：4 适应场景：当堂例题例题来源：江西期中年份：2017【练习
19、6.1】在等腰 ABC 中，AB=AC，CD AB于 D（1）若 A=40，求 DCB 的度数；（2）若 BC=15，CD=12，求 AC的长【答案】（1）20；（2）12.5【解析】（1）根据三角形的内角和定理即可求得；（2）根据勾股定理求得BD的长，再根据勾股定理列方程，即可得到AC的长解：（1）AB=AC，B=ACB，A=40，DBC=70，又CD AB，DCB=90 70=20；（2）RtBCD 中，BD=9，设 AC=AB=x，则 AD=x 9，RtACD 中，AD2+CD2=AC2，（x9）2+122=x2，解得 x=12.5，AC=12.5讲解用时：4 分钟解题思路：此题考查了等
20、腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理，并列方程求解是解本题的关键教学建议：利用等腰三角形的性质，熟练运用勾股定理进行解题.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 6.2】在ABC 中，BAC=90，AD BC，垂足为 D，CE平分 ACB，AB=20，AC=15（1）求 AD的长；（2）求证：AEF是等腰三角形【答案】（1）12；（2）AEF是等腰三角形【解析】（1）根据勾股定理来求BC的长度，利用面积法来求AD的长度（2）先根据余角的性质、角平分线的性质、对顶角相等得到AEF=AFE，再根据等腰三角形的判定求解即可（1）解：由勾股定理得：BC=25，根据三角形面
21、积计算公式，解得：；（2）证明：BAC=90，AEC+ACE=90，AD BC，ADC=90，DCF+DFC=90，CE平分 ACB，DCF=ACE，DFC=AFE（对顶角相等），AEF=AFE，AE=AF，AEF是等腰三角形讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方同时考查了等腰三角形的判定教学建议：熟练掌握并应用勾股定理.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：邗江区期中年份：2017【例题 7】在四边形 ABCD 中，AB=AD=8，A=60，D=150，四边形周长为32，求 BC和 CD的长度【答案】BC=10，CD
22、=6【解析】如图，连接 BD，构建等边 ABD、直角 CDB 利用等边三角形的性质求得 BD=8；然后利用勾股定理来求线段BC、CD的长度解：如图，连接 BD AB=AD，A=60 ABD 是等边三角形，BD=AB=AD=8，1=60又1+2=150，2=90设 BC=x，则 CD=16 x，由勾股定理得：x2=82+（16x）2，解得 x=10，16x=6，所以 BC=10，CD=6 讲解用时：3 分钟解题思路：本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质 根据已知条件推知CDB 是等边三角形是解题的解题关键教学建议：掌握等边三角形的判定和性质，灵活应用勾股定理进行解题.难度：3 适应场景：当
23、堂例题例题来源：扶风县期中年份：2017【练习 7.1】在四边形 ABCD 中，AB=AD=8，A=60，ADC=150，已知四边形 ABCD 的周长为 32，求 BC CD的值【答案】4【解析】连接 BD，易证 ABD是等边三角形，BCD 是直角三角形，根据周长得出 BC+CD=3228=16，利用 BC2CD2=BD2求解可得答案解：AB=AD=8，A=60，ABD 为等边三角形，BD=8，ADC=150，ADB=60，BDC=90，四边形 ABCD 的周长为 32，BC+CD=3228=16，BC2CD2=BD2，（BC+CD）（BC CD）=82，BC CD=4 讲解用时：3 分钟解题
24、思路：本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质及勾股定理教学建议：掌握等边三角形的判定和性质，灵活应用勾股定理进行解题.难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018【练习 7.2】一副直角三角板如图放置，点C在 FD的延长线上，AB CF，F=ACB=90，E=45，A=60，AC=10，试求 CD的长【答案】155【解析】过点 B 作 BM FD于点 M，在直角 ACB中利用 60求出 BC，在直角BMC 中求出 CM，BM，推出 BM=DM，即可求出答案解：过点 B作 BM FD于点 M，在ACB 中，ACB=90，A=60，AC=10，ABC=30，BC=A
25、C?tan60=10，AB CF，BCM=ABC=30 BM=BC?sin30=10=5，CM=BC?cos30=10=15，在EFD中，F=90，E=45，EDF=45，MD=BM=5，CD=CMMD=15 5讲解用时：4 分钟解题思路：本题考查了勾股定理的应用，关键是作辅助线求出CM和 BM.教学建议：学会利用特殊角构造直角三角形求出相应的边.难度：4 适应场景：当堂练习例题来源：无年份：2018 课后作业【作业 1】如图，方格纸中小正方形的边长为1，ABC 的三个顶点都在小正方形的格点上，求：（1）ABC 的面积；（2）边 AC的长；（3）点 B到 AC边的距离【答案】（1）；（2）；（
26、3）【解析】（1）利用三角形所在的正方形面积减三个小直角三角形的面积即可求出；（2）利用勾股定理即可求出AC的长；（3）求出 AC，则点 B到 AC边的距离即为 AC边上的高，利用面积定值即可求出解（1）SABC=33（31+21+23）=；（2）AC=；（3）设点 B到 AC边的距离为 h，则 SABC=AC h=，解得：h=难度：3 适应场景：练习题例题来源：启东市校级期中年份：2017【作业 2】如图，纸上有 5 个边长为 1 的小正方形组成的纸片，可以把它拼接成一个大正方形（1）拼成的大正方形的面积与边长分别是多少？（2）利用上图在数轴上准确作出表示的点【答案】（1）；（2）见解析【解
27、析】（1）根据正方形的面积公式、勾股定理计算；（2）根据勾股定理、数轴与实数的关系解答解：（1）正方形的边长为1，正方形的面积为1，拼成的大正方形的面积为5，边长为：=；（2）如图所示：讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 3】如图，在四边形ABCD 中，BAD=DBC=90，若 AD=4cm，AB=3cm，BC=12cm，求 CD的长【答案】13cm【解析】先根据勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理求得CD的长即可解：BAD=DBC=90，ADB、BDC 均是直角三角形，由题意得，AD=4cm，AB=3cm，BC=12cm，在 RtABD中，BD=5c
28、m，在 RtBDC 中，DC=13cm 讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 4】如图，在 ABC 中，B=45，C=30，AC=6，求 AB、BC的长【答案】AB=3，BC=3+3【解析】过 A作 AD BC于 D，根据直角三角形的性质求出AD，根据勾股定理求出 CD、AB，计算即可解：过 A作 AD BC于 D，在 RtABC中，C=30，AC=6，AD=AC=3，根据勾股定理得 DC=3，在 RtADB中，B=45，AD=BC=3，根据勾股定理得 AB=3，BC=BD+DC=3+3讲解用时：3 分钟难度：3 适应场景：练习题例题来源：无年份：2018【作业 5】将一副三角尺如图所示叠放在一起，若AB=12，则阴影部分的面积是【答案】12【解析】根据等腰直角三角形的性质求出AC、BC，根据正切的概念求出CM，根据三角形的面积公式计算即可解：ACB=90，B=45，CA=CB=AB=6，ACB=90，ADE=90，BC DE，AMC=E=60，CM=2，阴影部分的面积=62=12，故答案为：12讲解用时：3 分钟难度：4 适应场景：练习题例题来源：漳州期末年份：2017