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1、2017年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题 5分，共 60分）1已知集合22(,)1Ax y xy，(,)Bx yyx，则 ABI中元素的个数为（）A3 B2 C1 D0【答案】B【解析】A表示圆221xy上所有点的集合，B表示直线yx上所有点的集合，故ABI表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即ABI元素的个数为2，故选 B.2设复数 z满足(1i)2iz，则 z（）A12B22C2D2【答案】C【解析】由题，2i 1i2i2i2i11i1i1i2z，则22112z，故选 C.3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅
2、游服务质量，收集并整理了2014年1月至 2016年 12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图2014年2015年2016年根据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D各年 1月至 6月的月接待游客量相对于7月至 12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】由题图可知，2014年8月到 9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.45()(2)xyxy的展开式中33x y 的系数为（）ABC40 D80【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为2332233355
3、C2C240 xxyyxyx y，则33x y 的系数为 40，故选 C.5已知双曲线22221xyCab：（0a，0b）的一条渐近线方程为52yx，且与椭圆221123xy有公共焦点则C 的方程为（）A221810 xyB22145xyC22154xyD22143xy【答案】B【解析】双曲线的一条渐近线方程为52yx，则52ba又 椭圆221123xy与双曲线有公共焦点，易知3c，则2229abc由 解得2,5ab，则双曲线C 的方程为22145xy，故选 B.6设函数()cos()3f xx，则下列结论错误的是（）A()f x 的一个周期为2B()yf x 的图像关于直线83x对称C()f
4、 x的一个零点为6xD()f x 在(,)2单调递减【答案】D【解析】函数cos3fxx的图象可由cosyx向左平移3个单位得到，如图可知，fx在,2上先递减后递增，D选项错误，故选D.-6gxyO7执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于 91，则输入的正整数N 的最小值为（）A5 B4 C3 D2【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：SM初始状态0 100 1 第1次循环结束100 102 第2次循环结束90 1 3 此时9091S首次满足条件，程序需在3t时跳出循环，即2N为满足条件的最小值，故选D.8已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
5、（）AB34CD4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径2213122r，则圆柱体体积234Vr h，故选 B.9等差数列na的首项为 1，公差不为 0若2a，3a，6a成等比数列，则na前6项的和为（）A24B3C3 D8【答案】A【解析】na为等差数列，且236,aa a成等比数列，设公差为.则2326aaa，即211125adadad又11a，代入上式可得220dd又0d，则2d61656561622422Sad，故选 A.10已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的左、右顶点分别为1A，2A，且以线段1A2A为直径的圆与直线20bxayab相切，则 C 的离
6、心率为（）A63B33C2D13【答案】A【解析】以12A A为直径为圆与直线20bxayab相切，圆心到直线距离等于半径，222abdaab又0,0ab，则上式可化简为223ab222bac，可得2223aac，即2223ca63cea，故选 A 11已知函数211()2(ee)xxf xxxa有唯一零点，则a（）A1B13C12D1【答案】C【解析】由条件，211()2(ee)xxf xxxa，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(ee)4442(ee)2(ee)xxxxxxfxxxaxxxaxxa(2)()fxf x，即1x为()f x 的对称轴，由题意，()f x 有唯一
7、零点，()f x 的零点只能为1x，即21 11 1(1)12 1(ee)0fa，解得12a12在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若APABADuuu ruu u ru uu r，则的最大值为（）A3 B2 2C5D2【答案】A【解析】由题意，画出右图设BD与Ce切于点E，连接 CE 以A为原点，AD为轴正半轴，AB为轴正半轴建立直角坐标系，则 C 点坐标为(2,1)|1CD，|2BC22125BDBD切Ce于点E CE BD CE 是 RtBCD中斜边BD上的高 12|2222|5|55BCDBCCDSECBDBD即Ce的半径为255P在Ce上P点的轨迹
8、方程为224(2)(1)5xy设P点坐标00(,)xy，可以设出P点坐标满足的参数方程如下：00225cos5215sin5xy而00(,)APxyuuu r，(0,1)ABuuu r，(2,0)ADuu u r(0,1)(2,0)(2,)APABADuuu ruuu ruu u r0151cos25x，0215sin5y两式相加得：222515sin1cos552 552()()sin()552sin()3(其中5sin5，25cos5)当且仅当2 2k，kZ 时，取得最大值3()A ODxyBPgCE二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若 x，y满足约束条件0,20,0,
9、xyxyy则34zxy 的最小值为 _【答案】1【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34zxy，则直线344zyx纵截距越大，值越小由图可知：在1,1A处取最小值，故min3 14 11zAB(1,1)(2,0)0 xy20 xyyx14设等比数列na满足121aa，133aa，则4a_【答案】8【解析】naQ为等比数列，设公比为121313aaaa，即1121113aa qaa q，显然1q，10a，得 13q，即2q，代入 式可得11a，3341128aa q15设函数1,0,()2,0,xxxf xx则满足1()()12f xf x的x的取值范围是 _【答案】1,4【解析】1,02
10、,0Qxxxfxx，112fxfx，即112fxfx由图象变换可画出12yfx与1yfx的图象如下：g12g121 1(,)4 4g1()2yfx1()yfxyx由图可知，满足112fxfx 的解为1,4.16，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与，都垂直，斜边AB以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与成60角时，AB与成30角；当直线AB与成60角时，AB与成60角；直线AB与所成角的最小值为45；直线AB与所成角的最大值为60其中正确的是 _（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】由题意知，abAC、三条直线两两相互垂直，画出图形如图不
11、妨设图中所示正方体边长为1，故|1AC，2AB，斜边AB以直线 AC 为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆 以 C 为坐标原点，以CDuuu r为轴正方向，CBu uu r为轴正方向，CAuu u r为轴正方向建立空间直角坐标系则(1,0,0)D，(0,0,1)A，直线的方向单位向量(0,1,0)ar，|1arB点起始坐标为(0,1,0)，直线的方向单位向量(1,0,0)br，|1br设B点在运动过程中的坐标(cos,sin,0)B，其中为 B C 与 CD 的夹角，0,2 )那么AB在运动过程中的向量(cos,sin,1)ABuu ur，|2ABu uur
12、设ABuuur与所成夹角为0,2，则(cos,sin,1)(0,1,0)22cos|sin|0,22a ABr uuur故,4 2，所以 正确，错误 设ABuuur与所成夹角为0,2，cos(cos,sin,1)(1,0,0)2|cos|2ABbb ABb ABuuur rr uu urr uuur.当ABuuur与夹角为 60 时，即3，12sin2 cos2 cos232222cossin1，2|cos|221cos|cos|220,2=3，此时ABuuur与夹角为 60 正确，错误 三、解答题：（共70分第 17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答第22，23题为选考题，考生根据要求
13、作答）（一）必考题：共60分17（12分）ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 sin3cos0AA，2 7a，2b（1）求 c；（2）设D为 BC 边上一点，且ADAC，求ABD的面积【解析】（1）由 sin3cos0AA得2sin03A，即3AkkZ，又0,A，3A，得23A.由余弦定理2222cosabcbcA.又12 7,2,cos2abA代入并整理得2125c，故4c.（2）2,2 7,4ACBCAB，由余弦定理22227cos27abcCab.ACAD，即ACD为直角三角形，则cosACCDC，得7CD.由勾股定理223ADCDAC.又23A，则2 326DAB，
14、1sin326ABDSADAB.18（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间20 25，需求量为 300瓶；如果最高气温低于20，需求量为 200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温10 15，15 20，2025，25 30，30 35，35 40，天数2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温
15、位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？【解析】易知需求量可取200,300,50021612003035P X3623003035P X257425003035P X.则分布列为：X200300500P2525 当200n 时：642Ynn，此时max400Y，当200n时取到.当 200300n时：4122002200255Ynn880026800555nnn此时max520Y，当300n时取到.当 300500n时，1222002
16、2002300230022555Ynnn320025n此时520Y.当500n时，易知一定小于的情况.综上所述：当300n时，取到最大值为520.19（12分）如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形ABDCBD?，ABBD=（1）证明：平面ACD 平面 ABC；（2）过 AC 的平面交BD于点E，若平面 AEC把四面体ABCD 分成体积相等的两部分求二面角 DAEC-的余弦值【解析】取 AC 中点为 O，连接 BO，DO；ABCQ为等边三角形 BOAC ABBCABBCBDBDABDDBCABDCBD.ADCD,即ACD 为等腰直角三角形，ADC为直角又 O 为底
17、边 AC 中点DABCEDABCEO DOAC令 ABa，则 ABACBCBDa易得：22ODa，32OBa222ODOBBD由勾股定理的逆定理可得2DOB即 ODOBODACODOBACOBOACABCOBABCI平面平面ODABC平面又ODADC平面由面面垂直的判定定理可得ADCABC平面平面由题意可知VVDACEBACE即B,D到平面 ACE 的距离相等即E为BD中点以O为原点，OAu uu r为轴正方向，OBuu u r为轴正方向，ODuu u r为轴正方向，设ACa，建立空间直角坐标系，则0,0,0O，,0,02aA，0,0,2aD，30,02Ba，30,44aEa易得：3,244a
18、aAEau uu r，,0,22aaADuuu r，,0,02aOAuuu r设平面AED的法向量为1nu u r，平面 AEC 的法向量为2nu u r，则1100AE nADnuu u ru u ruu u ru u r，解得13,1,3nu u r2200AEnOA nuu u ruu ruu u ruu r，解得20,1,3nu u r若二面角DAEC 为，易知为锐角，则12127cos7nnnnu u ruu ru u ru u r20（12分）已知抛物线2:2Cyx=，过点（2，0）的直线交C 于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆（1）证明：坐标原点O 在圆M上；（2）设圆M过
19、点P（4，2-），求直线与圆M的方程【解析】显然，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意设:2lxmy，11(,)A xy，22(,)B xy，联立：222yxxmy得2240ymy，DABCEyxOz2416m恒大于，122yym，124y y1212OA OBx xy yuu ruu u r12(2)(2)mymy21212(1)2()4my ym yy24(1)2(2)4mmm0 OAOBuuruu u r，即 O 在圆M上若圆M过点P，则0AP BPuu u ruu r1212(4)(4)(2)(2)0 xxyy1212(2)(2)(2)(2)0mymyyy21212(1)(
20、22)()80my ymyy化简得2210mm解得12m或当12m时，:240lxy圆心为00(,)Q xy，120122yyy，0019224xy，半径2291|42rOQ则圆229185:()()4216Mxy当1m时，:20lxy圆心为00(,)Q xy，12012yyy，0023xy，半径22|31rOQ则圆22:(3)(1)10Mxy21（12分）已知函数()1lnf xxax（1）若()0fx，求的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数，2111(1)(1)(1)222nm+鬃?，求m的最小值【解析】()1lnfxxax，0 x则()1axafxxx，且(1)0f当0a时，0fx，
21、fx 在 0，上单调增，所以01x时，0fx，不满足题意；当0a时，当0 xa时，()0fx，则()f x 在(0,)a 上单调递减；当 xa 时，()0fx，则()f x 在(,)a上单调递增若1a，()f x 在(,1)a上单调递增 当(,1)xa时()(1)0f xf矛盾若1a，()f x 在(1,)a 上单调递减 当(1,)xa 时()(1)0f xf矛盾若1a，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增()(1)0f xf满足题意综上所述1a 当1a时()1ln0f xxx即 ln1xx则有 ln(1)xx当且仅当0 x时等号成立11ln(1)22kk，*kN一方面：2
22、21111111ln(1)ln(1).ln(1).112222222nnn，即2111(1)(1).(1)e222n另一方面：223111111135(1)(1).(1)(1)(1)(1)222222264n当3n时，2111(1)(1).(1)(2,e)222n*mN，2111(1)(1).(1)222nm，m的最小值为22选修 4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为,xtykt（t为参数），直线l 的参数方程为,xmmyk（m为参数），设与l 的交点为 P，当 k变化时，P的轨迹为曲线 C（1）写出 C的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建
23、立极坐标系，设:(cossin)l，M为与 C的交点，求 M的极径【解析】将参数方程转化为一般方程1:2lyk x 21:2lyxk 消可得：224xy即P的轨迹方程为224xy；将参数方程转化为一般方程3:20lxy 联立曲线 C 和22204xyxy解得3 2222xy由cossinxy解得5即M的极半径是523选修 4-5：不等式选讲（10分）已知函数()|f xxx（1）求不等式()f x的解集；（2）若不等式()f xxxm的解集非空，求m的取值范围【解析】|1|2|fxxx可等价为3,121,123,2xfxxxx.由1fx 可得：当1x时显然不满足题意；当12x时，211x，解得1x；当2x时，31fx恒成立.综上，1fx的解集为|1x x.不等式2fxxxm等价为2fxxxm，令2g xfxxx，则g xm解集非空只需要maxg xm.而2223,131,123,2xxxg xxxxxxx.当1x时，max13115g xg；当12x时，2max3335312224g xg；当2x时，2max22231g xg.综上，max54g x，故54m.