《2022年全国乙卷高考数学（理科）真题（含答案）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年全国乙卷高考数学（理科）真题（含答案）.pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷)数学(理科)注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设全集U=1,2,3,4,5 ,集合M满足=则()A.B.3eA f C.4 M D.5/M2.已知z=l 2 i,且z+应+=O,其中m b为
2、 实 数,则()A.a=1,/?=2 B.a=i,b=2 C.a=1,Z?=2 D.a=l,b=23.已知向量。，言 满足|a|=L|J|=则。b=()A.-2 B.-1 C.1 D.24.嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 ：4=1+,，%伪=1+,&=1 +-j，依此类推，其 中%e N*(左=1,2,).则/4-H-z-4%()A.b5 B.C.b6 b2 D.b4 P 2 P|0.记该棋手连胜两盘的概率为P，则（）A.p与该棋手和甲、乙、丙的此赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，
3、p最大C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大11.双曲线C的两个焦点为片,K，以C的实轴为直径的圆记为O,过鸟作力的切线与C3交于M,N两点，且8 5/耳 跖=2，则C的离心率为（1 2 5N/5 3 V 1 3 V n-B.-C.-D.-2 2 2 212.已知函数/(x),g(x)的定义域均为 R,且/(x)+g(2_x)=5,g(x)_&_ 4)=7.若22y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g=4,则Z/(%)=()k=A.2 1 B.22 C 23 D.24二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 2 0 分.13.从甲、乙 等5名同学中随机选3
4、名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为14.过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中 的 三 点 的 一 个 圆 的 方 程 为.15.记函数/(x)=c o s(s+0)(口 0,()0且a x 1)的极小值点和极大 值点.若王=2,NACB=6 0 ,点尸在3 D上，当八4尸。的面积最小时，求C T与平面AB。所成的角的正弦值.19.(12 分)某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山.为估计一林区某种树木的总材积量,随机选取了 10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：n?)和材积量(单位：n?),得到如下数据:样本号i1 2345678910总和根部横
5、截面积占0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量力0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.910 10 10并计算得 Z X；=0.038,Z 弁=1.6158,Z X*=02474.i=l i=l i=l（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2.已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比.利用以上数据
6、给出该林区这种树木的总材积量的估计值.才（王一亍）（凹一歹）附：相关系数=,Vk896 1.377.V/=1/=120.（12 分）已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A（0,-2）,8（m，-l）两点.（1）求 E 的方程；（2）设过点P 0,2）的直线交E 于 M,N两 点,过 M 且平行于x 轴的直线与线段AB交于点 7,点“满 足 加=而.证 明：直线HN过定点.21.（12 分）己知函数/（_）=In（l+x）+以e r.（1）当a=l 时，求曲线y=/（x）在点（0,0）处的切线方程；（2）若/（x）在区间（一1,0）,（0,+8）各恰有一个零点，求 a 的取
7、值范围.（二）选考题，共 1 0 分.请考生在第2 2、2 3 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2 2.选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xO y中，曲线C 的参数方程为 x=G c s 2 f（/为参数）.以坐标原点为极y=2sinr点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线/的极坐标方程为p sin e +1 +?=0.(1)写出/的直角坐标方程；(2)若/与C有公共点，求机的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲(1 0分)3 3 3已知4,b,C都是正数，且/+添=1,证明:(1)abc=C,E为AC的中点，所以ACLDE；在公ABD和 C B D 中
8、，因为 AD=CD,ZADB=ZCDB,DB=DB,所以 A 3。多C B O,所以A5=C B,又因为E为AC的中点，所以ACJ_3E；又因为DE,BE u平面BED，D E c B E=E，所以AC，平面BED，因为ACu平面A C D,所 以 平 面 平 面ACD.(2)连接E F,由(1)知，AC L平面3E P，因 为 防 u平面BED，所以所以SOFC=；A C M，当E F LB D时,E/最小，即 AFC的面积最小.因为所以CB=AB=2,又因为NAC8=60。，所以AA5 c是等边三角形，因为E为AC的中点，所以AE=EC=1,BE=6因为A D LC D,所以。E=，AC=
9、1,2在ADEB中，DE1+B E1=BDT,所以B E，D E.以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-x y z ,则 A(1,(),O),8(O,O),D(),O,1),所 以 而=(-1,0,1),通=卜1,石,0 1设平面/R O的一个法向量为3=(x,y,z),n-ADn-AB=x+z =0=-x +V y =0取 =G，则=(3,6,3),(八 八又因为 c(1,0,0),所以丽=黑,设C F与平面 曲所 成 的 角 的 正 弦 值 为 w|所以CF与平面A B O所成的角的正弦值为迪.则71 9.(1)样本中1 0棵这种树木的根部横截面积的平均值x=0.06样本中1 0棵
10、这种树木的材积量的平均值y=市=0.39据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为().()6 m2,平均一棵的材积量为0.39 m310-可(x-刃0.0134 0.0134-Q-(%-可 七(-y)20.24 7 4-10 x 0.06 x 0.393 47(0.038 -10 x 0.06*1 2)(1.6 158 -10 x 0.392)7 0.00018 9 6 0.0137 7则”0.9 7(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，又己知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比,_.ZA 0.06 18 6 打冬生？可 得 右二二-解之得y=1209 n r .则该林
11、区这种树木的总材积量估计为12()9 0?(1)解：设椭圆E的方程为/n+町2=1,过人(0,一2),8(1,-19 ,，解得 m=n=0,当x e(_ l,O),g(x)=e+a0_ x 2)O闾jr(x)O所以/(x)在(-1,0)上单调递增,/(x)0所以g(x)在(0,+8)上单调递增所以g(x)g(0)=1+a.0,即fx)0所以/(x)在。+()上单调递增,/(X)/(0)=0故/(x)在(0,+00)上没有零点，不合题意3 若 T(1)当 x e(),+8)，则 g(x)=e*2ax 0,所以 g W 在(0,+8)上单调递增g(0)=1 +a 0所以存在m e(0,1)，使得g
12、(/)=0,即/(加)=0当 x e(0,m),f(x)0,f(x)单调递增所以当尤e(0,，)(x)0所以g（x）在（一 1,0）单调递增g(-l)=-+2a 0e所以存在 e(-l,0),使得g()=0当 x e(-1,),g (x)0,g(x)单调递增,g(x)g(0)=1+a 0e所以存在/e(-i,)，使得g(t)=o,即r=o当x e(-1 J(x)单调递增，当x G(r,0),f(x)单调递减有 X 1,f(x)00而/(0)=0,所以当 X e0),f(x)0所以/(x)在(-1,r)上有唯一零点,Q,O)上无零点即/(x)在(一 1,0)上有唯一零点所 以 符 合 题 意所以
13、若/(x)在区间(-1,0),(0,+w)各恰有一个零点，求a的取值范围为(f,1)（二）选考题，共 10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.(1)因/：p sin +j+7 7 2 =0,所 以;p.sine+-pcose+m=0，又因为2,sine=y,夕05。=工，所以化简为:丁+#+m=o，整理得/的直角坐标方程：y/3x+y+2m=Q(2)联立/与C的方程，即将x=G cos2f，y=2sinf代入G x+y+2m=0 中，可得3cos2，+2sin，+2相=0,所以 3(1 2sin)+2sin t+2m=0,
14、化简为-6sin?r+2sinr+3+2/?/=0，要 使/与。有公共点,则2m=6sin2 f-2sin/-3有解，令sin，=a,则令f(a)=6 -2。-3,(-IWaWl),对称轴为。=:，开口向上,6所以=/(-1)=6+2-3=5,、J2 19/(Q)m in =/W =7-7-3 =T,6 6 6 619所以-2m 5619 5m的取值范围为-m0,0,c 0,则 0，b2 0,0 f3 3 3 _所以J+官+八般泼艰，31 1 1 3 3 3 n即(而 于 工 ,所 以 做 当 且 仅 当 5=庐=Q，即 =c=时取等号(2)证明：因为。0,b0,c(),所以/?+c N 2y
15、bc，a+c 2或3，a-vb 2ab，3所 以a W a=.出,-fbc 2yjabc a+c:3_b ._b，214cic 2y/abc3C J c c2a+b 2yab 2abc3 33 33 3Q+人 +c abc 2abc当且仅当=c时取等号.2022年普通高等学校招生全国统一考试数 学（理科）参考答案注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一
16、、选择题：本 题 共 12小题，每小题5 分，共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 2.A 3.C.4.D 5.B 6.B 7.A 8.D 9.C 10.D 11.C 12.D二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 4.(x-2)2+(y-3=1 3或(x-2 y+(y-l)2 =5或(x-g)或三、解答题：共 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共 60分.17.（1）证明：因为s i n C s i n(A-B)=s i n
17、B s i n(C A),所以 s i n C s i n A c o s 3 s i n C s i n B c o s A =s i n 8 s i n C c o s A-s i n 5 s i n A c o s C ,a2+c2-h2 c,b2+c2-a1.a2+b2-c2所 以 ac-2bc-=-ab-lac2bc2ab即-(Z r +c -a )=-所以 2/=+/；(2)2 5解：因为 Q=5,COSA=,31由 得(+2=5 0,由余弦定理可得2 =匕2 +才一 2 0 c c o s A，则5 0-笆 历=2 5,3131所以力。=,2故(。)2=/+/+观=5()+31
18、=8 1,所以。+c =9,所以AA B C的周长为a+Z?+c =1 4.1 8.(1)因为A =C ,E为A C的中点，所以A C L D E；在/ABD和&CBD 中，因为 A D =C D,ZAD B=ZCD B,D B=D B,所以A 3。多 G B O,所以A 5 =C B,又因为E为A C的中点，所以A C J _ 3E；又因为D E,3u平面8皮)，DE c B E=E，所以A C,平 面 班Z),因为A C u平面A C Q,所以平面B E。_ L平面A C O.(2)连接EF,由(1)知，A C,平面B E D，因 为 防 u平面B E D，所以A C，F,所以5。尾=；4
19、。即，当E F L B D时,所 最小，即 A F C的面积最小.因为所以C 5 =A B =2,又因为N A C B =6 0。，所以AA5 c是等边三角形，因为E为A C的中点，所以A E =E C =1,B E ,因为A。_LC D,所以。石1-2在 ADEB 中,D E2+B E2 B D2所以以E为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系E-x y z ,则A(1,(),O),8(O,O),D(),O,1),所 以 而=(-1,0,1),通=卜1,石,0 1设平面A3Z)的一个法向量为=(x,y,z),n-A Dn-A B=x+z=0=-x +Vy=0取 =G，则=(3,6,3),又因为
20、c(1,0,0),尸o,冬;,所 以 丽=则设C F与平面4?。所成的角的正弦值为夕0 =(2亚比 2,过点(0,-2).若过点P(L-2)的直线斜率存在，设 区 一 y-伙+2)=0,M(内，另),N(/,%).联立kx-y (k+T)=0 x2 y2 ,得(3左2+4)2 _ 6人(2 +%)+3 4(左 +4)=0,+=13 4_ 6&(2 +%)3-4 +Q可得 8(2 +k)4(4 +4 4-2公)必.3/+4-24k 3、且 石%+=*n()JK 十今联立 =乂 32 7可得 T(T*+3,y),H(3 x+6 _尤1,).y=-x-2 23可求得此时“N：、f=或走2),将(0,
21、-2),代入整理得 2a +)-6(%+%)+百%+-3 yly2 T 2 =0 ,将(*)代入，得2 4女 +1 2标+9 6+4 8左-24k-4 8-48k+24k2-36k2-4 8 =0,显然成立,综上，可得直线H N过定点(0,-2).21.(1)，(x)的定义域为(一1,七】。)Y当 a=1 时,/(X)=ln(l+x)+,/(0)=0,所以切点为1 I _ r(0,0)f(x)=-+,/(0)=2,所以切线斜率为 2所以曲线y=/(x)在点(0,/(0)处的切线方程为y=2x(2)HY/(x)=ln(l+x)+e1 +x e (l+x)ev设 g(x)=e*+a(l-1 若a
22、0,当xe (-l,O),g(x)=e +a(l-r)0,即 r(x)0所以/(x)在(-1,0)上单调递增,/(x)Q所以 g(x)在(0,+o o)上单调递增所以 g(x)g(0)=1 +a .0,即/(x)()所以f M在(0,+8)上单调递胤/(x)/(0)=0故以x)在(0,+o o)上没有零点，不合题意3 若 T当 x e (0,+8)，则 g(x)=ex-lax 0,所以 g(x)在(),+8)上单调递增g()=l+a 0所以存在me (0,1)，使得g(=0,即fm)=0当 x G(0,/),/(x)O,f(x)单调递增所以当 x e (0,+0 0所以/(X)在(机,+=0)
23、上有唯一零点又(0,加)没有零点，即/(X)在(0,+0 0)上有唯一零点当 xw(-l,0),g(x)=e +a(l-x2)设 h(x)=g (x)=el-2ax/?(x)=e*-2 a 0所以g (x)在(-1,0)单调递增g(-l)=-+2 a 0e所以存在 e(l,0),使得g ()=0当 x e (-1,),g (x)0,g(x)单调递增,g(x)g(0)=1 +a 0e所以存在 t e (-1,ri)，使得 g Q)=0,即/(/)=0当x e (-1,0,/U)单调递增，当x e (r,0),/(x)单调递减有无一 1,f(x)f 0 0而/(0)=(),所以当 x e a,()
24、,f(x)0所以/(x)在(1,f)上有唯一零点,Q,()上无零点即/(x)在(1,0)上有唯一零点所以a +y j+m-0,所 以;0 sin 夕 +p-cos6+in=0，又因为p-sin6=y，夕-cose=x,所以化简为_1丁 +丫3 x+m=0,2 2整理得/的直角坐标方程：6 x+y +2m=0(2)联立/与。的方程，即将x=6 c o s2 f，y=2sinf代入G x+y+2n?=()中，可得3cos2f+2sin，+2相=0,所以 3(1-2sin?0+2sinr+2/n=0,化简为-6sin+2sin/+3+2m=0，要 使/与。有公共点，则2加=6sin2”2sinf-3
25、有解，令sin，=a,贝IJQ 一1,1,令/(。)=6。？一2。一3,(IWaWl),对称轴为。=!，开口向上，6所 以/皿=/(-1)=6+2-3=5,/(Q)、,、_1 2”19min=/(7)=7_7_3=T，6 6 6 619-所以-2m 5619 52的取值范围为一一m 0,b0 c 0 则 0，0，c，0，3 3 3.所以 J+及31 1 1 3 3 3 fT 即(c)5 4 ,所以，当且仅 当/=房=栈，即4=c=时取等号.(2)证明：因为。0,0,c 0,所以/?+c 2 2ybc，a+c 2lac，a+b 2/ab，3所 以 工 a 二 后,b+c 2ybc 2yabc3 3b/b 庐 c/c_,=_，_Jabc3 3 3 3 3 3Q +/?+C Q+及+C，_ ci2+b2+c _ 1b+c a+c a +Z?21abe 2abc 2labc 2abc 2abc当且仅当=c 时取等号.