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1、2017年一般高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学（试题及答案解析）一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1已知集合22(,)1Ax y xy，(,)Bx y yx，则AB中元素的个数为（）A3 B2 C1 D0【答案】B【解析】A表示圆221xy上全部点的集合，B表示直线yx上全部点的集合，故AB表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即AB元素的个数为2，故选B.2设复数z满意(1i)2iz，则z（）A12 B22 C2 D2【答案】C【解析】由题，2i 1i2i2i2i11i1i 1i2z，则22112z，故选C.3某城市为了解游客人数的改变规律，提高旅游服务质量
2、，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图 2014年 2015年 2016年 依据该折线图，下列结论错误的是（）A月接待游客量逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，改变比较平稳【答案】A【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在削减，则A选项错误，故选A.45()(2)xyxy的绽开式中33x y的系数为（）A B C40 D80【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式绽开中含33x y的项为 2332233355C2C
3、240 xxyyxyx y，则33x y的系数为40，故选C.5已知双曲线22221xyCab：（0a，0b）的一条渐近线方程为52yx，且与椭圆221123xy有公共焦点则C的方程为（）A221810 xy B22145xy C22154xy D22143xy【答案】B【解析】双曲线的一条渐近线方程为52yx，则52ba 又椭圆221123xy与双曲线有公共焦点，易知3c，则2229abc 由解得2,5ab，则双曲线C的方程为22145xy，故选B.6设函数()cos()3f xx，则下列结论错误的是（）A()f x的一个周期为2 B()yf x的图像关于直线83x 对称 C()f x的一个
4、零点为6x D()f x在(,)2单调递减【答案】D【解析】函数 cos3f xx的图象可由cosyx向左平移3个单位得到，如图可知，f x在,2上先递减后递增，D选项错误，故选D.-6xyO 7执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（）A5 B4 C3 D2【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：S M 初始状态 0 100 1 第1次循环结束 100 10 2 第2次循环结束 90 1 3 此时9091S 首次满意条件，程序需在3t 时跳出循环，即2N 为满意条件的最小值，故选D.8已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱
5、的体积为（）A B34 C D4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径2213122r，则圆柱体体积234Vr h，故选B.9等差数列na的首项为1，公差不为0若2a，3a，6a成等比数列，则na前6项的和为（）A24 B3 C3 D8【答案】A【解析】na为等差数列，且236,a a a成等比数列，设公差为.则2326aaa，即211125adadad 又11a，代入上式可得220dd 又0d，则2d 61656561 622422Sad ，故选A.10已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的左、右顶点分别为1A，2A，且以线段1A2A为直径的圆与直线20bxay
6、ab相切，则C的离心率为（）A63 B33 C2 D13【答案】A【解析】以12A A为直径为圆与直线20bxayab相切，圆心到直线距离等于半径，222abdaab 又0,0ab，则上式可化简为223ab 222bac，可得2223aac，即2223ca 63cea，故选A 11已知函数211()2(ee)xxf xxxa 有唯一零点，则a（）A1 B13 C12 D1【答案】C【解析】由条件，211()2(ee)xxf xxxa，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(ee)4442(ee)2(ee)xxxxxxfxxxaxxxaxxa (2)()fxf x，即1x 为()f
7、x的对称轴，由题意，()f x有唯一零点，()f x的零点只能为1x，即21 11 1(1)12 1(ee)0fa ，解得12a 12在矩形ABCD中，1AB，2AD，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上若APABAD，则的最大值为（）A3 B2 2 C5 D2【答案】A【解析】由题意，画出右图 设BD与C切于点E，连接CE 以A为原点，AD为轴正半轴，AB为轴正半轴建立直角坐标系，则C点坐标为(2,1)|1CD，|2BC 22125BD BD切C于点E CEBD CE是RtBCD中斜边BD上的高 12|2222|5|55BCDBCCDSECBDBD 即C的半径为255 P在C上 P点的轨迹
8、方程为224(2)(1)5xy 设P点坐标00(,)xy，可以设出P点坐标满意的参数方程如下：00225cos5215sin5xy 而00(,)APxy，(0,1)AB，(2,0)AD (0,1)(2,0)(2,)APABAD 0151cos25x，0215sin5y 两式相加得：222515sin1cos552 552()()sin()552sin()3 (其中5sin5，2 5cos5)当且仅当2 2k，kZ时，取得最大值 3 ()A ODxyBPCE二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13若x，y满意约束条件0,20,0,xyxyy则34zxy的最小值为_【答案】1【解析】
9、由题，画出可行域如图：目标函数为34zxy，则直线344zyx纵截距越大，值越小 由图可知：在 1,1A处取最小值，故min3 14 11z AB(1,1)(2,0)0 xy20 xyyx 14设等比数列 na满意121aa，133aa，则4a _【答案】8【解析】na为等比数列，设公比为 121313aaaa ，即1121113aa qaa q ，明显1q，10a，得13q，即2q ，代入式可得11a，3341128aa q 15设函数1,0,()2,0,xxxf xx则满意1()()12f xf x的x的取值范围是_【答案】1,4【解析】1,02 ,0 xxxf xx，112f xfx，即
10、 112fxf x 由图象变换可画出12yfx与 1yf x 的图象如下：12121 1(,)4 41()2yf x1()yf x yx 由图可知，满意 112fxfx 的解为1,4.16，为空间中两条相互垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与，都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与成60角时，AB与成30角；当直线AB与成60角时，AB与成60角；直线AB与所成角的最小值为45；直线AB与所成角的最大值为60 其中正确的是_（填写全部正确结论的编号）【答案】【解析】由题意知，abAC、三条直线两两相互垂直，画出图形如图 不妨设图中所示正方体边长为1，
11、故|1AC，2AB，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆 以C为坐标原点，以CD为轴正方向，CB为轴正方向，CA为轴正方向建立空间直角坐标系 则(1,0,0)D，(0,0,1)A，直线的方向单位向量(0,1,0)a，|1a B点起始坐标为(0,1,0)，直线的方向单位向量(1,0,0)b，|1b 设B点在运动过程中的坐标(cos,sin,0)B，其中为B C与CD的夹角，0,2)那么AB在运动过程中的向量(cos,sin,1)AB，|2AB 设AB与所成夹角为0,2，则(cos,sin,1)(0,1,0)22cos|sin|0,22a AB
12、故 ,4 2，所以正确，错误 设AB与所成夹角为0,2，cos(cos,sin,1)(1,0,0)2|cos|2AB bb ABb AB.当AB与夹角为60时，即3，12sin2cos2cos2322 22cossin1，2|cos|2 21cos|cos|22 0,2=3，此时AB与夹角为60 正确，错误 三、解答题：（共70分第17-20题为必考题，每个试题考生都必需作答第22，23题为选考题，考生依据要求作答）（一）必考题：共60分 17（12分）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin3cos0AA，2 7a，2b （1）求c；（2）设D为BC边上一点，且ADAC，求A
13、BD的面积【解析】（1）由sin3cos0AA得2sin03A，即3AkkZ，又0,A，3A，得23A.由余弦定理2222cosabcbcA.又12 7,2,cos2abA 代入并整理得2125c，故4c.（2）2,2 7,4ACBCAB，由余弦定理2222 7cos27abcCab.ACAD，即ACD为直角三角形，则cosACCDC，得7CD.由勾股定理223ADCDAC.又23A，则2326DAB，1sin326ABDSADAB.18（12分）某超市安排按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完依据往年销售阅历，每
14、天需求量与当天最高气温（单位：）有关假如最高气温不低于25，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间20 25，需求量为300瓶；假如最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购安排，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 10 15，15 20，20 25，25 30，30 35，35 40，天数 2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）当六月份这种酸奶一天的进货量（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到
15、最大值？【解析】易知需求量可取200,300,500 21612003035P X 3623003035P X 257425003035P X.则分布列为：X 200 300 500 P 25 25 当200n时：642Ynn，此时max400Y，当200n 时取到.当200300n时：4122002200255Ynn 880026800555nnn 此时max520Y，当300n 时取到.当300500n时，12220022002300230022555Ynnn 320025n 此时520Y.当500n时，易知肯定小于的状况.综上所述：当300n 时，取到最大值为520.19（12分）如图，
16、四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形ABDCBD，ABBD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分求二面角DAEC的余弦值 【解析】取AC中点为O，连接BO，DO；ABC为等边三角形 BOAC ABBC DABCE DABCEOABBCBDBDABDDBC ABDCBD.ADCD,即ACD为等腰直角三角形，ADC 为直角又O为底边AC中点 DOAC 令ABa，则ABACBCBDa 易得：22ODa，32OBa 222ODOBBD 由勾股定理的逆定理可得2DOB 即ODOB ODACODOBACOBOAC
17、ABCOBABC平面平面ODABC平面 又ODADC平面 由面面垂直的判定定理可得ADCABC平面平面 由题意可知VVDACEBACE 即B,D到平面ACE的距离相等 即E为BD中点 以O为原点，OA为轴正方向，OB为轴正方向，OD为轴正方向，设ACa，建立空间直角坐标系，则0,0,0O，,0,02aA，0,0,2aD，30,02Ba，30,44aEa 易得：3,244aaAEa，,0,22aaAD，,0,02aOA 设平面AED的法向量为1n，平面AEC的法向量为2n，则1100AE nAD n，解得13,1,3n 2200AE nOA n，解得20,1,3n 若二面角DAEC为，易知为锐角
18、，则12127cos7nnnn 20（12分）已知抛物线2:2C yx，过点（2，0）的直线交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点P（4，2），求直线与圆M的方程 DABCEyxOz【解析】明显，当直线斜率为时，直线与抛物线交于一点，不符合题意 设:2l xmy，11(,)A x y，22(,)B xy，联立：222yxxmy得2240ymy，2416m 恒大于，122yym，124y y 1212OA OBx xy y 12(2)(2)mymy 21212(1)2()4my ym yy 24(1)2(2)4mmm 0 OAOB，即O在圆M
19、上 若圆M过点P，则0AP BP 1212(4)(4)(2)(2)0 xxyy 1212(2)(2)(2)(2)0mymyyy 21212(1)(22)()80my ymyy 化简得2210mm 解得12m 或 当12m 时，:240lxy圆心为00(,)Q xy，120122yyy，0019224xy，半径2291|42rOQ 则圆229185:()()4216Mxy 当1m 时，:20l xy圆心为00(,)Q xy，12012yyy，0023xy，半径22|31rOQ 则圆22:(3)(1)10Mxy 21（12分）已知函数()1lnf xxax （1）若()0f x，求的值；（2）设m
20、为整数，且对于随意正整数，2111(1)(1)(1)222nm，求m的最小值 【解析】()1lnf xxax，0 x 则()1axafxxx，且(1)0f 当0a时，0fx，fx在0，上单调增，所以01x时，0fx，不满意题意；当0a时，当0 xa时，()0fx，则()f x在(0,)a上单调递减；当xa时，()0fx，则()f x在(,)a 上单调递增 若1a，()f x在(,1)a上单调递增当(,1)xa时()(1)0f xf冲突 若1a，()f x在(1,)a上单调递减当(1,)xa时()(1)0f xf冲突 若1a，()f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增()(1)0f
21、xf满意题意 综上所述1a 当1a 时()1ln0f xxx 即ln1xx 则有ln(1)xx当且仅当0 x 时等号成立 11ln(1)22kk，*kN 一方面：221111111ln(1)ln(1).ln(1).112222222nnn，即2111(1)(1).(1)e222n 另一方面：223111111135(1)(1).(1)(1)(1)(1)222222264n 当3n时，2111(1)(1).(1)(2,e)222n*mN，2111(1)(1).(1)222nm，m的最小值为 22选修4-4：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系xOy中，直线的参数方程为,xtykt（t为参数），
22、直线l的参数方程为,xmmyk（m为参数），设与l的交点为P，当k改变时，P的轨迹为曲线C（1）写出C的一般方程：（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cossin)l，M为与C的交点，求M的极径【解析】将参数方程转化为一般方程 1:2lyk x 21:2lyxk 消可得：224xy 即P的轨迹方程为224xy；将参数方程转化为一般方程 3:20lxy 联立曲线C和22204xyxy 解得3 2222xy 由cossinxy解得5 即M的极半径是5 23选修4-5：不等式选讲（10分）已知函数()|f xxx （1）求不等式()f x 的解集；（2）若不等式()f xxxm的解集非空，求m的取值范围【解析】|1|2|f xxx可等价为 3,121,123,2 xf xxxx.由 1f x 可得：当1x时明显不满意题意；当12x 时，211x，解得1x；当2x时，31f x恒成立.综上，1f x 的解集为|1x x.不等式 2f xxxm等价为 2f xxxm，令 2g xf xxx，则 g xm解集非空只须要 maxg xm.而 2223,131,123,2 xxxg xxxxxxx.当1x时，max131 15g xg ；当12x 时，2max3335312224g xg ；当2x时，2max22231g xg.综上，max54g x，故54m.