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1、重庆市外国语学校2019-2020 学年高一上学期期中考试试题数学一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，把答案填写在答题卡相应位置上）1.已知集合1,2A，1B则下列关系正确的是（）A.BAB.BAC.BAD.AB【答案】C【解析】【分析】根据题意可知，集合与集合之间的关系为包含或不包含，故排除A、B，再根据集合A与集合 B中元素的关系，即可得出BA。【详解】由题意得，集合1,2A，1B，1=BABBA故选：C。【点睛】本题主要考查集合的包含关系判断。2.已知函数2,1()2,1xxxf xx，则(2)ff（）A.4B.8
2、 C.16D.32【答案】C【解析】【分析】利用分段函数的解析式，由里到外求值即可.【详解】函数2121xxxfxx，f（2）（2）24，f（f（2）f（4）2416故选：C【点睛】本题考查函数值的求法，考查分段函数的图象与性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题3.下列函数中，既是奇函数又在区间0,上单调递增的是（）A.2logyxB.1yxC.2xyD.3yx【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用奇函数的定义以及对数函数、幂函数和指数函数的性质，逐项进行分析，即可得出答案。【详解】A、由对数函数的性质可知2logyx在区间0,上单调递增，但其定义域不关于原点对称，故不是奇函数，故A排除
3、；B、由幂函数的性质可知1yx在区间0,上单调递减，故B排除；C、由指数函数的性质可知2xy在区间0,上单调递增，但其图像不关于原点对称，不是奇函数，故C排除；D、由幂函数的性质可知3yx在区间0,上单调递增，其定义域关于原点对称且满足()()fxf x，故为奇函数，故D正确。故选：D。【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断以及指对幂函数的性质。4.已知函数()24xf xx，则fx的零点所在的区间为（）.A.0,1B.1,2C.2,3D.3,4【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式判断出函数的单调性，根据所给选项，分别求出各选项所对应区间端点所对应的函数值，再利用函数的零点存在性定
4、理可得函数()24xf xx，则fx的零点所在的区间。【详解】由题意得，函数()24xf xx是单调递增，可知，(0)3,(1)1ff，(2)2f(0)(1)0ff，(1)(2)0ff根据零点存在性定理可得，函数()24xf xx，则fx的零点所在的区间为1,2。故选：B。【点睛】本题主要考查根据零点存在性定理判断函数零点所在区间。5.函数23()lg 311xf xxx的定义域为（）A.1,13B.1,13C.1,13D.1,13【答案】C【解析】【分析】根据题意，令被开方数大于等于零，且分母不为零，对数的真数大于零；列出不等式组，即可求出函数的定义域。【详解】由题意得，要使函数有意义，只需
5、满足10310 xx解得113x故选：C。【点睛】本题主要考查函数定义域的求解，解题时主要从以下几个方面入手：（）分母不为零；（）偶次根式的被开方数非负；（）对数中真数大于零；（）指数、对数的底数大于零，且不等于等。6.三个数20.320.3,log 0.3,2abc之间的大小关系是 ()A.acbB.abcC.bcaD.bac【答案】D【解析】【分析】利用指数函数的性质、对数函数的性质确定20.320.3,log 0.3,2abc所在的区间，从而可得结果.【详解】由对数函数的性质可知22log 0.3log 10b，由指数函数的性质可知0000.31,21ac，bac，故选 D.【点睛】本题
6、主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间,0,0,1,1,）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.7.已知函数3()3f xaxbx，若17f，则1f（）A.7B.7C.13D.13【答案】C【解析】【分析】根据题意函数3()3f xaxbx，可构造3()()3g xf xaxbx，可知()g x为奇函数，再根据奇函数的性质，可得(1)(1)gg，从而可得1f的值。【详解】由题意得，函数3()3f xaxbx，令3()()3g xf xaxbx则可知(
7、)g x定义域为R且关于原点对称，且满足()()gxg x()g x为奇函数(1)(1)gg即(1)3(1)3ff已知17f解得113f故选：C。【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数值，解题关键是利用原函数构造新的具有奇偶性的新函数。8.已知函数fx对任意的，1x，21,0 x都有12120fxfxxx，fx的图像关于1x对称、则下列结论正确的是（）A.14123fffB.41132fffC.41132fffD.14123fff【答案】D【解析】【分析】根据题意函数fx对任意的，1x，21,0 x都有12120fxfxxx可得函数fx在1,0上单调递减，再根据fx的图像关于1x对称，将4
8、3f转化为2()3f，即可比较出三个函数的大小。【详解】由题意得，函数fx在1,0上单调递减，且fx的图像关于1x对称，可得(1)f x为偶函数；(1)(1)f xfx112()(1)(1)(4333)3ffff2113221123fff41123fff故选：D。【点睛】本题主要考查函数单调性和对称性的综合应用。9.函数()log()af xxb大致图象如图所示，则函数()xg xab图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题目所给图像可得，对数的底数满足01a，01b，再根据指数函数的性质即可推得正确答案。【详解】根据图像是递减的，可得01a，且0(0)1f，即log 1
9、loglogaaaba，可得01ab，根据指数函数的性质，可知函数()xg xab的图像是单调递减的，且当0 x时，(0)1gb，可知011b，即0(0)1g。故选：D。【点睛】本题主要考查根据指数函数对数函数的性质判断函数的图像，考查数形结合思想。10.已知函数,1()(4)2,12xaxfxaxx是R上的增函数，则实数a的取值范围是A.(1,8)B.(1,)C.(4,8)D.4,8)【答案】D【解析】函数 f（x）=14212xaxaxx，是 R上的增函数，1402422aaaa，解得：a4，8），故选：D点睛：本题主要考查函数的单调性，考查分段函数连续单调的问题.分段函数有两段，第一段是
10、指数函数，第二段是一次函数.对于一次函数，要单调递增就需要斜率大于零，对于指数函数，要单调递增就需要底数大于 1.两段分别递增还不行，还需要在两段交接的地方，左边比右边小，这样才能满足在R身上单调递增.11.已知函数427()49fxxx，则关于x的不等式(23)(1)fxfx的解集为（）A.3,4B.3,4C.30,4D.1 3,2 4【答案】D【解析】【分析】根据函数42749fxxx解析式,可知函数为偶函数,结合函数的单调性,解不等式即可求得x的取值范围.【详解】函数42749fxxx,定义域为R 则4422774949fxxxxx所以fxfx,即函数42749fxxx为偶函数当0 x时
11、,41fxx为增函数,22749fxx为增函数则42749fxxx在0 x时为增函数,在0 x时为减函数不等式231fxfx即满足231xx即可不等式22231xx化简可得281030 xx即21430 xx解得1324x,即1 3,2 4x故选 D【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性的综合应用,根据函数性质解不等式,属于基础题.12.已知函数222,0()2ln,0 xxxfxx x，若存在四个不同实数a，b，c，d.使得()()()()f af bf cf d，其中 abcd，则abcd eabcd的取值范围是（）（e是自然对数的底数，其值约为2.7）A.2 22,1B.22 22,2e
12、eC.21,2eeD.2 22,1【答案】B【解析】【分析】根 据 题 意，画 出 函 数 的 图 像，根 据 图 像 得 出a b的 值，设()()()()f af bf cf dk，将abcd eabcd内的各项用k表示出来，结合k的取值范围，构造含有k的函数，求解函数的值域，即abcd eabcd的取值范围。【详解】根据题意，结合函数()f x 的图像，可知2()22f xxx的对称轴为1x，即,a b关于1x对称，2ab，设()()()()f af bf cf dk，易知(1,2)k，即222xxk，可得2abk又()2ln2ln,()2ln2lnf cxck f dcdk可得22,k
13、kcede221kkcdee(2)2222(2)22abkkkkkcd eabcdeeeee设22()22kkeg ke令2 kte，(1,2),(1,)kte，则2()2g ttt又因为“2tt”符合对号函数的形式，所以()g t在(1,2)上单调递减，在(2,)e上单调递增，且2(1)1,(2)2 22,()21ggg eee所以()g t在(1,)e上的值域为22 22,2ee，即22()22kkeg ke在(1,2)上的值域为22 32,2ee。故选：B。【点睛】本题主要考查与函数有关的图像变换及应用问题。二、填空题（本大题共4 小题，每小题5分，共 20 分。把答案填写在答题卡相应位
14、置上）13.已知幂函数ayx的图象经过点3,27，则_【答案】3【解析】【分析】根据题意，将点3,27代入解析式，即可求得。【详解】由题意得，将点3,27代入解析式，得327解得3。故答案为：3.【点睛】本题主要考查幂函数解析式的求解。14.若函数2123fxxx，则函数fx的解析式为 _.【答案】22fxx【解析】【分析】通过配凑的方式，将223xx配凑成与1x相关的形式，整体将1x用x替换即可得到fx解析式。【详解】222312xxx，即2112fxx22fxx本题正确结果：22fxx【点睛】已知fg x解析式求解fx的问题，主要有两种方法：1.配凑法：将fg x的解析式配凑成用g x表示
15、的形式，然后整体替换；2.换元法：设g xt，用t表示x，得到f t的解析式，即为fx解析式。15.已知1ab.若5loglog2abba，baab，则ab_【答案】6【解析】【分析】根据题意，设logbta，根据1ab得出t的范围，代入5loglog2abba求出t的值，得到a与b的关系式，与baab联立方程组，即可求出a、b的值。【详解】由题意得，设logbta，由1ab可得1t，代入5loglog2abba，得152tt解得2t，即2log2baab又baab，可得2babb即22abb解得2,4ba所以6ab。故答案为：6。【点睛】本题主要考查对数的运算性质。16.已知实数,0lg,0
16、 xexfxxx，若关于x的方程20fxfxt有三个不同的实根，则t的取值范围为 _【答案】,2【解析】试题分析：原问题等价于2fxfxt有三个不同的实根，即yt与2yfxfx有三个不同的交点，当0 x时，22 xxyfxfxee为增函数，在0 x处取得最小值为2，与yt只有一个交点.当0 x时，22lg()lg()yfxfxxx，根据复合函数的单调性，其在,0上先减后增.所以，要有三个不同交点，则需2t，解得2t.考点：函数与方程零点.【思路点晴】本题主要考查复合函数零点与单调性的问题.函数fx是一个分段函数，先对含有t的方程进行分离常数2fxfxt，变为探究两个函数图像3个交点的问题来研究
17、.分离常数后，由于fx是一个分段函数，故分成两个部分来研究，当0 x时，函数22xxyfxfxee为增函数，在0 x时有最小值为2，由此在y轴右边仅有一个交点.利用复合函数单调性可知函数在y轴左边先减后增，故要使两个函数有3个交点，则需2t，解得2t.三、解答题（本大题共6 小题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步照，把解答写在答题卡相应位置上)17.（1）计算012021943401920.064223233（2）计算4925342lg 2lg 5log loglog【答案】（1）-1.6（2）5232log【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算法则以及平方差公式，先对每个小式
18、子进行化简，再进行四则运算；（2）利用lg 2lg51以及换底公式进行化简计算即可。【详解】（1）012021943401920.0642232331201933(0.4)1232320.4 1211.6（2）492534245343252522lg 2lg 5log loglog12loglogloglg 4 lg 31+2loglg 3 lg24log23【点睛】本题主要考查指数幂与对数的运算法则。18.已知集合31Axx，1284xBx，2(1)0Cx xaxa（1)求AB，AB；（2)若CAB，求实数a的取值范围.【答案】（1）21,33ABxxABxx (2)3,11,3【解析】【分
19、析】（1）根据题意，结合指数函数的性质，求解出集合B，再对集合A、B进行交并集运算即可。（2）根据题意CAB，对集合C是否为空集进行分类讨论，分别求出满足两种情况时实数a的取值范围，最后取并集。【详解】（1）根据题意，已知集合31Axx，集合2312822234xBxxxxx21,33ABxxABxx（2）根据（1）可知33ABxx，若满足CAB，则可分两种情况：当集合 C为空集时，应满足2(1)40aa，无解 当集合C不为空集时，集合2(1)0()10Cx xaxax xax（）若1a，则集合1Cxxa，若满足CAB，可得13a；若1a，则集合1Cax，若满足CAB，可得31a；综上所述，满
20、足CAB，实数a的取值范围为3,11,3。【点睛】本题主要考查集合的交并集运算和已知集合之间的包含关系求参数范围，解题时注意对集合是否为空集进行讨论。19.已知fx是定义在R上的偶函数，当0 x时，21,02()515,2xxf xxx（1）在给定的坐标系中画出函数fx在R上的图像（不用列表）；并直接写出fx的单调区间；（2）当0 x时，求fx的解析式.【答案】(1)图见详解，()f x 的单调递增区间为(,2)和(0,2)；单调递减区间为(2,0)和(2,)。（2）21,20()515,-2xxf xxx【解析】【分析】（1）根据题意，利用偶函数的图像关于y 轴对称，先根据函数解析式画出0
21、x时的图像，再补全函数fx在R上的图像；（2）设20 x，则02x，将x代入2()1f xx，根据偶函数的性质()()f xfx，即可得到20 x时的解析式，再设2x，同理即可得到2x的解析式，将得到的解析式用分段函数的形式表示出来即可得到0 x时，求fx的解析式。【详解】（1）如图所示，()f x 的单调递增区间为(,2)和(0,2)；单调递减区间为(2,0)和(2,)。（3）设20 x，则02x，将x代入2()1fxx，得22()()11fxxx又因()f x 为偶函数满足()()fxf x当20 x时，2()1fxx设2x，则2x，将x代入()515f xx，得()5-)15515()f
22、xxxf x（当2x时，()515f xx；综上所述，当0 x时，求fx的解析式为21,20()515,-2xxf xxx。【点睛】本题主要考查根据偶函数图像、单调性的对称性以及根据函数的奇偶性求函数的解析式。20.已知函数()xxfxaa，共中1a（1）判断，fx的奇偶性并证明：（2）证明，函数()xxf xaa在R上单调递增；（3）若不等式10fxfxk对任成,3x恒成立，求k的取值范围.【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）1,【解析】【分析】（1）根据题意先求出函数的定义域，判断是否关于原点对称，再表达出()fx，找出()f x 与()fx的关系，即可判断并证明出fx的奇偶性；（2
23、）根据单调性的定义，在定义域内任取12,xx，设12xx，证明12()()0f xf x即可。（3）根据函数的奇偶性，将不等式转化成1+fxfx k，再根据（2），再将不等式转化为1xxk，利用分离参数法得到1xxk，构造新函数令()1g xxx，求出()g x在,3的最大值即可求出k的取值范围。【详解】（1）由题意得，函数fx的定义域为R，关于原点对称，且()()xxfxaaf x，满足奇函数的定义，故函数fx为奇函数。（2）证：任取12,x xR,设12xx,可得，将12,x x代入函数式作差得，1211221212()()()xxxxxxxxaaf xf xaaaaa a12121212
24、1,0,0()()0 xxxxaxxaaa af xf x即当12xx 时，12()()f xf x，所以，函数()xxf xaa在R上单调递增。（3）不等式10fxfxk对任意,3x恒成立，即1fxfxk对任意,3x恒成立，()f x为 R上的奇函数，1fxfxk对任意,3x恒成立，由（2）知函数()xxfxaa在R上单调递增，1xxk对任意,3x恒成立即1xxk对任意,3x恒成立，即1kxx的最大值即可，令()1g xxx，,3x再令1tx，可得2,t，且21xt()1g xxx，,3x可变为2()1g ttt，2,t易知()g t在2,上单调递减，max()(2)1g tg即()1g x
25、xx在,3上的最大值为-1，k的取值范围为1,【点睛】本题主要考查函数奇偶性、单调性的判断与证明以及函数恒成立问题。21.设2105()1xxf xx，22()21g xxaxa（1)求fx在区间1,3上的值域；（2）求g x在区间0,1上的值域：（3）已知1a，若对于任意11,3x，总存在20,1x，使得12fxg x成立，求a的取值范围.【答案】（1）8,11（2）见详解（3）2 34a【解析】【分析】（1）根据题意，判断出fx在1,3上的单调性，即可求出fx在区间1,3上的值域；（2）根据题意，先求出g x的对称轴，再根据区间0,1与对称轴的位置关系进行分类讨论，即可求出g x在区间0,
26、1上的值域；（3）根据题意，只需满足fx在区间1,3上的值域是g x在区间0,1上的值域的子集，根据集合之间的包含关系即可求得a的取值范围。【详解】（1）根据题意，可得2210518(1)44()18111xxxxfxxxxx（）易知fx在1,3上是单调递增的，maxmin()(3)11,()8f xff xfx在区间1,3上的值域为8,11.(2)由题意得，22()21g xxaxa的对称轴为xa，则当0a时，()g x在区间0,1上单调递增，22minmax()(0)1,()(1)2g xgag xgaa，()g x在区间0,1上的值域为221,2aaa；当1a时，()g x在区间0,1上
27、单调递减，22minmax()(1)2,()(0)1g xgaa g xga，()g x在区间0,1上的值域为222,1aa a；当01a时，()g x在区间0,1上先减后增，22min()()1,(0)1,(1)2g xg agagaa若102a，则2max()(1)2g xgaa，()g x在区间0,1上的值域为21,2aa；若112a，则2max()(0)1g xga，()g x在区间0,1上的值域为21,1a；若12a，则2max3()(0)(1)14g xgga，()g x在区间0,1上的值域为31,4；（3）根据（1）（2）可知，fx在区间1,3上的值域为8,11，当1a时，()g
28、 x在区间0,1上的值域为222,1aa a；若对于任意11,3x，总存在20,1x，使得12fxg x成立，只需满足fx在区间1,3上的值域是g x在区间0,1上的值域的子集，即22281111aaaa解得2 34a【点睛】本题主要考查函数值域的求解以及函数恒成立中任意存在问题。22.已知函数fxx xab.（1）求函数fx的零点；（2）令g xfx,在1b时，求函数g x的单调区间：（3）在（2）条件下，存在实数1,2a，使得函数()()h xg xta有三个零点，求t取值范围.【答案】（1）见详解（2）见详解（3）10t【解析】【分析】（1）根据题意，对,a b进行分类讨论，即可得到函数
29、fx的零点；（2）根据（1）中的结论与图像，即可得出()g x的单调区间（3）根据所给条件，结合分段函数的图像，将题意所满足条件转化为2114ata有解，即可求出t的范围。【详解】（1）由题意得，对a进行分类讨论，若0a，22,0(),0 xb xf xx xbxb x当0b时，xb；当0b时，xb；若0a，22,(),xaxb xaf xx xabxaxb xa，如图所示，当0b时，20 xaxb，解得242aabx；当0b时，0 x或a；当204ab时，解得221,2344,22aabaabxx当24ab时，解得12(21),22aaxx;当24ab时，解得242aabx;若0a，22,(
30、),xaxb xaf xx xabxaxb xa，如图所示，当0b时，解得242aabx；当0b时，0 x或a；当204ab时，解得2212,344,22aabaabxx当24ab时，解得12(12),22aaxx;当24ab时，解得2+42aabx；（2）由题意得，=1xxgxa，即22+1-+1xaxxag xxaxxa，根据（1）中的讨论，可得，当0a时，22+10-+10 xxg xxx，()g x在,上单调递增；当0a时，()g x在,2a和,a上单调递增，在,2aa上单调递减；当0a，()g x在,a和,2a上单调递增，在,2aa上单调递减；（3）根据题意，1,2a，结合图像，若要满足题意，则2114ata有解，即minmax11()()4ataa又111,2a，所以min1()1a14aya是单调递增的，所以max112()0424aa综上所述，10t。【点睛】本题主要考查了分段函数以及二次函数的综合应用，考查学生的分类讨论思想。