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1、重庆市南开中学2019-2020 学年高一上学期期中考试试题数学第 I 卷（选择题共 60 分）一、选择题：本大题12 个小题，每小题5 分，共 60 分，每小题只有一个选项符合要求，答案请涂写在机读卡上.1.集合1,0,1,2,|2ABxRx，则AB（）A.0,1B.1,0,1C.1,0,1,2D.|22xx【答案】B【解析】【分析】根据集合的基本运算即可求解.【详解】由|222BxRxxx，1,0,1,2A，所以1,0,1AB，故选 B【点睛】本题主要考查集合的交运算，属于基础题.2.3a a的分数指数幂表示为（）A.2aB.12aC.1aaD.2a【答案】B【解析】【分析】根据根式与分数
2、指数幂的互化即可求解.【详解】1131333222a aa aaa.故选 B【点睛】本题主要考查根式与分数指数幂互化，属于基础题.3.函数1xfxx的定义域为（）A.0,1B.1,C.0,D.0,11,【答案】D【解析】【分析】使函数表达式有意义，即010 xx解不等式组即可求解.【详解】要使函数1xfxx有意义，则010 xx解得0 x且1x所以函数的定义域为0,11,.故选 D【点睛】本题考查函数的定义域，即使函数有意义的自变量的取值范围，属于基础题.4.小明同学从寝室出发去教室上课，出门时间尚早，他步行匀速向教室走去.当走到一半时，发现自己忘了带作业，于是又步行匀速回寝室，拿作业后发现时
3、间不多，所以以最快的速度全程跑步赶到教室，下列选项中与上述事件吻合最好的图像为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据图和题意开始他步行匀速向教室走去，距教室越来越近，走到一半时，又步行匀速回寝室，距教室的距离变远，发现时间不多，所以以最快的速度全程跑步赶到教室，距教室的距离变为零，且用的时间较短，结合图像即可得出选项.【详解】根据小明回教室的路线，走一半路程又折回教室可排除C、D 再次返回教室时，由于时间不多，小明以最快的速度跑步回教室可知，小明在从寝室回教室用的时间比较短，因此排除A.故选 B【点睛】本题主要考查函数与图像的辨析，属于基础题.5.函数2fxxx的值域为（）A.RB
4、.2,C.,2D.0,【答案】C【解析】【分析】令20tx得2()2(0)f ttt t，利用配方即可求出函数的值域.【详解】令20tx，则22xt（0t）所以2()2(0)f ttt t由2219()224f tttt又0t所以()2ft即2fxxx的值域为,2.故选 C【点睛】本题主要考查了换元法求函数的值域，解决此类问题时，在换元的过程中注意自变量取值范围的变化.6.已知1yfx是R上的偶函数，且21f，则0f（）A.-1 B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根据1yfx是R上的偶函数得1yfx关于y对称，再由函数的平移变换可得()f x 关于1x对称，根据对称性即可求解.【
5、详解】因为1yfx是R上的偶函数，所以1yfx关于y对称，把1yfx向右平移一个单位可得()f x，则()f x 关于1x对称，所以2(0)1ff故选 C【点睛】本题主要考查函数奇偶性的运用以及函数的平移变换，属于基础题.7.函数222xxy的单调递增区间为（）A.,1B.0,1C.1,2D.1,【答案】B【解析】【分析】由复合函数的单调性“同增异减”即可得出答案.【详解】使222xxy有意义，则220 xx解得02x，即函数的定义域为0,2，令2()2xx x，开口向下，对称轴1x，由二次函数的单调性，所以在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，令，则由幂函数的单调性可知，此函数为增函数，又
6、2y为增函数，由复合函数的单调性可知，函数222xxy在0,1上单调递增，在1,2上单调递减，故函数222xxy的单调递增区间为0,1.故选 B【点睛】本题考查了复合函数的单调区间，在求复合函数的单调区间时，首先求出函数的定义域，此题属于基础题.8.已知符号函数1,0sgn0,01,0 xxxx，fx是R上的增函数，g xfxf kx，其中1k，则下列结果正确的是（）A.sgnsgng xxB.sgnsgng xxC.sgnsgng xfxD.sgnsgng xfx【答案】B【解析】【分析】根据题意直接利用特殊法，设出函数()f x 以及a的值，判断选项即可.【详解】由于此题是选择题，可以采用
7、特殊法，符号函数1,0sgn0,01,0 xxxx，fx是R上的增函数，g xfxf kx，其中1k，不妨令,2fxx k，则g xfxf kxx所以sgnsgng xx，所以 A不正确，B正确；sgnsgnfxx，所以 C不正确，D正确；对于 D，令1,2fxxk则g xfxf kxx1,1sgnsgn10,01,1xfxxxx1,0sgnsgn0,01,0 xg xxxx1,1sgnsgn10,11,1xfxxxx所以 D不正确；故选 B【点睛】本题是函数的创新题，考查函数的单调性，解题的关键需理解题干中的新定义.9.定义在R上的fx满足：11fxfx，且对任意两个不相等的实数12,1,x
8、 x，都有12120fxfxxx，20f，则01fxx的解集为（）A.,01,2B.,02,C.0,11,2D.0,12,【答案】D【解析】【分析】由条件11fxfx，可知函数()fx 关于1x对称，由12120fxfxxx，可知函数在1x时单调递增，根据函数的单调性和对称性即可解不等式01fxx.【详解】11fxfx，函数()f x 关于1x对称，2(0)0ff对任意两个不相等的实数12,1,x x，有12120fxfxxx函数()f x 在1x时单调递增，由对称性可知函数()f x 在1x时单调递减，由01fxx，则()010f xx或()010f xx解得2x或01x故不等式的解集为0,
9、12,.故选 D【点睛】本题主要考查函数的单调性和对称性，利用函数的性质解不等式，属于中档题.10.已知函数2158xxfxaa（0a且1a）在2,上单调递减,则实数a的取值范围为（）A.50,1,2B.4,11,5C.50,11,2D.51,2【答案】A【解析】【分析】化简函数2158xxfxaa（0a且1a），得2158xxfxaaa（0a且1a）；令xta，分类讨论当01a时，根据复合函数的单调性，函数2158xxfxaa在2,上单调递减，显然成立；当1a时，只需252aa成立即可.【详解】由函数2158xxfxaa（0a且1a），即2158xxfxaaa（0a且1a）令xta，则215
10、8ytta，开口向下，对称轴为52ta当01a时，由因为2,x，则20ta，且252aa根据复合函数的单调性可知函数2158xxfxaa在2,上单调递减，所以01a满足；当1a时，由因为2,x，则2ta若要使函数2158xxfxaa2,上单调递减，则252aa解得52a综上所述，实数a的取值范围为50,1,2.故选 A【点睛】本题主要考查含有指数函数的复合函数的单调性，解题注意分类讨论思想的运用，同时复合函数的单调性法则为“同增异减”，此题属于中档题.11.已知集合123,AAA满足:*123|19AAAxNx,且每个集合恰有3 个元素,记1,2,3iA i中元素的最大值与最小值之和为1,2,
11、3iMi,则123MMM的最小值为（）A.21 B.24 C.27 D.30【答案】C【解析】【分析】求出*123|191,2,3,4,5,6,7,8,9AAAxNx，由题意列举出集合123,AAA，由此能求出123MMM的最小值.【详解】由题意可知，*123|191,2,3,4,5,6,7,8,9AAAxNx123,A AA各有3个元素且不重复，当13,4,5A，22,6,7A，31,8,9A时，123MMM取得最小值，此时最小值为12357927，故选 C【点睛】本题主要考查集合中的元素运算，解题的关键是理解题中满足的条件，属于中档题.第 II卷(非选择题共 90 分)二、填空题：本大题
12、4 个小题，每小题 5 分，共 20 分.各题答案必须填写在答题卡上相应位置（只填结果，不写过程）.12.函数21101xxfxxx，则12ff_.【答案】4【解析】【分析】将12x代入1()f xx可得122f，然后把2代入2()f xx即可求解.【详解】由21101xxfxxx，所以122f，21(2)242fff故答案为：4【点睛】本题主要考查分段函数求函数值，属于基础题.13.函数fx为定义在R上的奇函数，若0 x时，11fxxx，则当0 x时，fx_.【答案】11xx【解析】【分析】不妨设0 x，则0 x，所以1111fxxxxx，根据函数fx为定义在R上的奇函数即可求解.【详解】设
13、0 x，则0 x，所以1111fxxxxx又因为函数fx为定义在R上的奇函数，所以1()()1fxfxxx所以1()1fxxx故答案为：11xx【点睛】本题主要考查用函数的奇偶性求函数解析式，属于基础题.14.函数20fxaxbxc a在1x处取得最小值，且122fafa，则实数a的取值范围是 _.【答案】0,13,【解析】【分析】根据函数20fxaxbxc a在1x处取得最小值，得0a；再由122fafa可知1a距对称轴的距离较近，可得11221aa解不等式即可.【详解】由函数20fxaxbxc a在1x处取得最小值，则0a，又因为122fafa，所以11221aa即224123aaa，解得
14、3a或01a所以实数a的取值范围是0,13,故答案为:0,13,【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，属于中档题.15.函数22,036,0axx xfxxx，若关于x的不等式fxx的解集为3,1，则当0 x时满足ffxfx的x的取值范围为_.【答案】0,3【解析】【分析】首先根据关于x的不等式fxx的解集为3,1，求出1a，得出22,036,0 xx xfxxx；由当0 x时，满足ffxfx，即2222fxxxx，讨论22xx的正负，代入解析式即可求解.【详解】由关于x的不等式fxx的解集为3,1，当0 x时，36xx，解得30 x当0 x时，22axxx，由不等式的解集可得11a，即1a故
15、不等式为22,036,0 xx xfxxx由当0 x时，满足ffxfx即2222fxxxx当220 xx，即2x时，则223(2)62xxxx，解得23x当220 xx，即02x时，则2222(2)2(2)2xxxxxx，解得02x所以02x综上所述，不等式中x的取值范围为0,3.故答案为0,3【点睛】本题主要考查分段函数解不等式，解题的关键是先求出解析式，对于分段函数解不等式，需分类讨论代入对应解析式，此题属于中档题.三、解答题：本大题6 个小题，共70 分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.16.已知集合|10Axxax，集合21|02xBxx.（1）
16、当3a时，求AB；（2）若RAC BA，求实数a的取值范围.【答案】(1)11,2,32AB(2)2a【解析】【分析】（1）当3a时，求出集合13Axx，2Bx x或12x，由集合的交集运算即可求解.（2）求出122RC Bxx，再由RAC BA，根据集合的包含关系即可求出.【详解】解：（1）当3a时，|310Axxx，解得13Axx，而21|02xBxx，2Bx x或12x，故11,2,32AB；（2）由2Bx x或12x，所以1,22RC B，若RAC BA，所以RC BA，由|10Axxax，当1a时，|1Ax ax，显然RC BA不成立，当1a时，A，显然RC BA不成立，当1a时，1
17、Axxa，由RC BA，所以2a.【点睛】本题主要考查集合的交集运算以及根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.17.已知函数22112fxaxa x.（1）若fx的定义域为2,13，求实数a的值；（2）若fx的定义域为R，求实数a的取值范围.【答案】(1)2a(2)7,19a【解析】【分析】（1）根据题意定义域为2,13，可知不等式221120axa x的解集为2,13，根据一元二次不等式解集与一元二次方程根的关系即可求解.（2）fx的定义域为R，可知不等式221120axa x恒成立，然后讨论二次项系数，借助二次函数的性质即可求解.【详解】解：（1）fx的定义域为2,13，即221
18、120axa x的解集为2,13，故22210221120931120aaaaa，解得2a；（2）fx的定义域为R，即221120axa x恒成立，当210a时，1a，经检验只有1a满足条件；当210a时，2221018 10aaa，解得7,19a，综上，7,19a.【点睛】本题主要考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、一元二次不等式与二次函数的关系，综合性比较强.18.已知函数fx满足：对任意0 x，有123fxfxx.（1）求fx的解析式；（2）求fx在区间1,a上的最大值.【答案】(1)2fxxx(2)max3222afxaaa【解析】【分析】（1）用1x替换x，得方程组123132f
19、xfxxffxxx消去1fx即可求解.（2）根据对勾函数2fxxx在0,2上单调递减，2,上单调递增，讨论a的取值范围即可求解.【详解】解：（1）由123132fxfxxffxxx可得2fxxx；（2）2fxxx在0,2上单调递减，2,上单调递增，当12a时，max13fxf；当22a时，max13fxf；当2a时，max2fxfaaa，综上，max3222afxaaa【点睛】本题主要考查方程组法求解析式、根据函数的最值求参数的取值范围，属于中档题.19.设函数fx对于任意,x yR，都有fxyfxfy，且0 x时，0,11fxf.（1）判断fx的单调性，并用定义法证明；（2）若关于x的方程2
20、21fxafax在0,2内有两个不同的实数根，求实数a的取值范围.【答案】(1)函数fx在R上单调递增.证明见解析；(2)15,12a【解析】【分析】（1）利用函数的单调性定义，采用赋值法即可证出.（2）根据题意知221212fxafaxfxafax，由（1）知函数fx在R上单调递增，可推出212xaax在0,2内有两个不同的实数根，由二次函数根的分布即可求出参数的取值范围.【详解】解：（1）任取13,x xR且12xx，由题意可知210fxx，21211211fxfxxxfxfxxfx，即当21xx时，21fxfx，故函数fx在R上单调递增；（2）由题意知221212fxafaxfxafax
21、，由（1）知函数fx在R上单调递增，故212xaax在0,2内有两个不同的实数根，即2210 xaxa在0,2内有两个不同的实数根.244 1002104410aaaaaa，解得15,12a.【点睛】本题主要考查抽象函数的单调性、一元二次方程与二次函数的关系，属于中档题.20.已知函数1xxfxaka（0a且1a）是定义在R上的奇函数.（1）求实数k的值；（2）若1514f，且关于x的不等式222422xxaamfxfxm对任意0 x都成立，求实数m的最小值.【答案】（1）2k（2）1【解析】【分析】（1）函数是定义在R上的奇函数，根据奇函数的性质00f即可求解.（2）首先解出4a，利用换元法
22、令44xxt，则0t，不等式化为221260tmtm在0,上恒成立，根据二次函数根的分布即可求解.【详解】解：（1）由00f，得2k；（2）由1514f解得4a，则不等式224424442 442xxxxxxmm对任意0 x都成立.令44xxt，则0t，不等式化为221260tmtm在0,上恒成立，则0或者010260mm，解得15m或5m，即1m，m的最小值为1.【点睛】本题考查奇函数的性质、不等式恒成立求参数的取值范围，在求参数取值范围时，可采用分离参数法.21.已知函数1fxxxa，21g xx.（1）当2a时，解不等式()5f x；（2）若对任意1xR，都存在21,3x，使得12fxg
23、 x成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）,32,（2）,20,【解析】【分析】（1）将2a代入()f x，通过讨论x的范围求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可.（2）问题转化为()()y yfxy yg x，分别求出()f x、()g x的范围，得出关于a的不等式组，解出即可.【详解】（1）当2a时，函数21,2123,2121,1xxfxxxxxx由()5f x，即2215xx或2135x或1215xx3x或2x不等式()5f x的解集为,32,（2）对任意1xR，都存在21,3x，使得12fxg x成立，()()y yf xy yg x1(1)()1fxxxaxxaa当且仅当(1)()0 xxa时等号成立，21 1g xx所以11a，1 1a或11a+0a或2a，实数a的取值范围为,20,【点睛】本题主要考查分段函数解不等式以及恒成立求参数的取值范围，解决本题第二问的关键是找到两个函数值域之间的包含关系，此题属于中档题.