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1、数学试卷一、选择题1.已知全集UR，集合31,1MxxNx x，则阴影部分表示的集合是()A1,1B3,1C,31,D3,12.已知复数2i1iiab，其中,R,ia b是虚数单位，则iab()A12iB 1 C5 D53.已知3121mxx的展开式中的常数项为8，则实数m()A2 B2C3D3 4.已知函数log21afxxaaaa，且，则“3fx 在，”上是单调函数”是“01a”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5.已知定义在R 上的函数fx的周期为4，当2,2x时，143xfxx，则33log 6log 54ff()A32B33log 22C12D
2、32log 236.如图所示，在ABC中，点 O 是 BC 的中点，过点O 的直线分别交直线,AB AC于不同的两点,M N，若,ABmAMACnANu uu ruuuu r u uu ru uu r，则mn()A1 B32C2 D3 7.现有一个封闭的棱长为2 的正方体容器，当水平放置时，如图，水面的高度正好为棱长的一半若将该正方体绕下底面(底面与水平面平行)的某条棱任意旋转，则容器里水面的最大高度为()A1 B2C3D2 28.抛物线220ypx p的焦点为F，准线为,l A B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB设线段AB的中点M 在 l 上的投影为N，则MNAB的最大值是（）A3B
3、32C33D34二、填空题9.已知3312,sinsin,cos=454134，则_10.一个房间的地面是由12 个正方形所组成，如右图所示今想用长方形瓷砖铺满地面，已知每一块长方形瓷砖可以覆盖两块相邻的正方形，即，则用6块瓷砖铺满房间地面的方法有_种11.易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_12.过点,00Mmm的直线l 与直线 330 xy垂直，直线l 与双曲线2222:10,0 xyCabab的两条渐近线分别交于点A
4、B,，若点,0P m满足 PAPB，则双曲线C 的渐近线方程为_，离心率为 _三、多项选择题13.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（）注：90 后指 1990年及以后出生，80后指 1980 1989 年之间出生。80 前指 1979年及以前出生A互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上B互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20C互联网行业中从事运营岗位的人数90 后比 80前多D互联网行业中从事技术岗位的人数90 后比 80 后多14.下列说法正确的是()A.“5
5、c”是“点(2)1，到直线 340 xyc的距离为3”的充要条件B直线sin10 xy的倾斜角的取值范围为30,44C直线25yx与直线 210 xy平行，且与圆225xy相切D离心率为3 的双曲线的渐近线方程为2yx15.已知,是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是()A若,/mn mn，则B若,/mnmn，则C若/,/mm，则D若/,/mnm，则与所成的角和n与所成的角相等16.已知函sinxfxex，则下列结论正确的是()Afx 是周期为2的奇函数B 344fx 在，上为增函数C10 10fx 在，内有 21 个极值点D04fxax在，上恒成立的充要条件是1
6、a四、解答题17.在53AB，221114aaB，535B这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答已知等差数列na的公差为0d d，等差数列nb的公差为 2d 设,nnA B分别是数列,nnab的前n项和，且123,3bA，_(1)求数列,nnab的通项公式；(2)设132nannncb b，求数列nc的前n项和nS注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分18.在ABC中，内角,A B C的对边分别为,a b c，且28cos2cos232BCA(1)求 A；(2)若2a，且ABC面积的最大值为3，求ABC周长的取值范围19.在四边形ABCP 中，2,23ABBCPPAPC；如图，
7、将PAC 沿 AC 边折起，连结PB，使PBPA，求证：(1)平面ABC平面 PAC；(2)若 F 为棱AB上一点，且AP与平面 PCF 所成角的正弦值为34，求二面角FPCA的大小20.为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月(30 天)的快递件数记录结果中随机抽取10 天的数据，整理如下：甲公司员工A：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350 乙公司员工B：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420 每名快递员完成一件货物投递可获得
8、的劳务费情况如下：甲公司规定每件0.65 元，乙公司规定每天350 件以内(含 350 件)的部分每件0.6 元。超出350件的部分每件0.9 元(1)根据题中数据写出甲公司员工A在这 10 天投递的快件个数的平均数和众数；(2)为了解乙公司员工B 每天所得劳务费的情况，从这10 天中随机抽取1 天，他所得的劳务费记为(单位：元)，求的分布列和数学期望；(3)根据题中数据估算两公司被抽取员工在该月所得的劳务费21.已知椭圆2222:10 xyCabab的左，右焦点分别为12FF，直线:lykxm与椭圆C 相交于,P Q 两点；当直线l 经过椭圆C 的下顶点A和右焦点2F 时，1F PQ的周长为
9、4 2，且 l 与椭圆 C 的另一个交点的横坐标为43(1)求椭圆C 的方程；(2)点 M 为POQ内一点，O 为坐标原点，满足0MPMOMQuuu ruuu u ruuuu r，若点M恰好在圆MO:2249xy，求实数m的取值范围22.已知函数ln,Rxxaxfxae(1)若函数00ln 2ln3yfxxxx在处取得极值1，证明：1123ln 2ln3a；(2)若1xfxxe恒成立，求实数a的取值范围参考答案1.答案：D解析：阴影部分对应的集合为()UMNe，31,|11MxxNxxQ剟，1 1UNxxx或e，(|1)3UNMxxe，故选：D2.答案：D 解析：由2i1iiab，得：2ii
10、1iiabb，所以12ab，则i12iab，所以22i12(5)i12ab故选 D.3.答案：A 解析：4.答案：B 解析：5.答案：A 解析：6.答案：C 解析：因为O 是BC的中点,所以12AOABACuuu ruu u ruuu r.又因为,ABmAMACnANuuu ruuuu r uuu ru uu r,所以22mnAOAMANu uu ruu uu ruu ur.因为M、O、N 三点共线,所以122mn,则2mn.7.答案：C 解析：正方体的对角线长为23，故当正方体旋转的新位置最大高度为2 3，又水的体积是正方体体积的一半容器里水面的最大高度为对角线的一半，即最大液面高度为38.
11、答案：C 解析：画出示意图.设 AFa BFb，连接 AFBF、.由抛物线定义，得AFAQ，BFBP.在梯形 ABPQ 中，2 MNAQBPab.由余弦定理得222222cos120ABabababab，配方得，22ABabab.又2()42ababQ，22221344ababababab，得到32ABab.所以132332abMNABab，即MN AB 的最大值为33.故选 C.9.答案：5665解析：10.答案：11 解析：11.答案：314解析：从八卦中任取两卦共28C 种情况，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线有6 种，包括震和垦、震和坎、垦和坎、兑和坤、离和坤、巽和坤，所以这两卦
12、的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为286314C.12.答案：15,22yx解析：13.答案：ABC 解析：14.答案：BC 解析：15.答案：BCD 解析：16.答案：BD 解析：17.答案：解：（1）,nnabQ 数列都是等差数列，且2533,AAB，112351096adadd，解得111ad111,1 221.nnaandnbbndn综上，,21nnan bn.（2）由 1得：331122212322123nnncnnnn，23111111222235572123nnSnn2 123 11,122323nn132223nnn解析：18.答案：解：（1）28cos2cos232BC
13、AQ4 1cos2cos23BCA整理得24cos4cos30AA解得13coscos22AA或（舍去）又0,A3A（2）由题意知13sin324ABCSbcAbc4bc又2222cos,2bcabcA a，224bcbc，24316bcbc又2bc2446bcabcABC周长的取值范围是4,6解析：19.答案：（1）在2,3PACPAPCP中，PAC为正三角形，且2AC在2ABCABBC中，ABC为等腰直角三角形，且ABBC取 AC 的中点O，连接,OB OP,1,3,2OBAC OPACOBOPPBPAQOPOB,OPACO AC OP平面 PACOB平面 PACOBQ平面 ABCABC平
14、面平面 PAC（2）以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则0,1,0,1,0,0,0,1,0,0,0,3ABCP，1,1,0,0,1,3ABAPu uu ruu u r，0,1,3,0,2,0CPCAu uu ruu u r，设01AFmABmuuu ruu u r，则,2,0CFCAAFm mu uu ruu u ruuu r设平面 PFC 的一个法向量为,nx y z，则00n CFn CPu uu ru uu r2030mxy myz令2331mxymz，解得23,3,1mnmQAP与平面 PFC 所成角的正弦值为34，2222 3342331n APnAPmmuu
15、u ruu uu r整理得2440mm3解得223mm或（舍去）2 3,3,1n又OBuu u r为平面 PAC 的一个法向量3cos,2,6n OBn OBn OBn OBuuu ruu u ruuuu ruuu r二面角FPAC的大小为6解析：20.答案：解：（1）由题意知甲公司员工A 在这 10 天投递的快递件数的平均数为141039033036032040033034037035036010，众数为 330.（2）设乙公司员工B 1天的投递件数为X，则当340X时，13400.6204,20410P，当360X时，33500.63603500.9219,21910P，当370X时，13
16、500.63703500.9228,2285P，当420X时，33500.64203500.9273,27310P，当440X时，13500.64403500.9291,29110P，的分布列为204 219 228 273 291 P1103101531011013131204219228273291242.7101051010E（3）由 1估计甲公司被抽取员工在该月所得的劳务费为36030 0.65=7020（元）由 2 估计乙公司被抽取员工在该月所得的劳务费为242.730=7281（元）解析：21.答案：解：（1）由题意知44 2a，2a，直线2AF 的方程为byxcc，Q直线2AF
17、与椭圆C 的另一个交点的横坐标为43，222434312byccyb，解得1c或2c（舍去）21b，椭圆 C 的方程为2212xy（2）设1122,P xyQ xy0MPMOMQuu uruu u u ru uu u rQ,点 M 为POQ 的重心，1212,33xxyyM，Q点 M 在224:9O xy上，2212124xxyy，由2222212422012ykxmkxkmxmxy得2121222422,1212kmmxxx xkk，222212122244241212kmkmxxyykmkk，即22222222216 116441212kk mk mmkk22221241kmk，由2201
18、2km得，2222121241kkk，解得0k，224222241244111414141kkmkkkk，1mm或解析：22.答案：解：（1）1lnxaxaxxfxe.Q函数 yfx 在0 xx 处取得极值1，0000000001lnln01xxaxaxxxaxfxfxee，且，00001lnxaxaxex，001xaex，令21100 xxrxexrxexx，则，rx 为增函数，00ln 2ln 3ln 2ln 3,xrarQ即1123lnln3a.（2）不等式1xfxxe恒成立，即不等式ln1xxexax恒成立，即ln1xxaexx恒成立.令22222ln11ln1lnxxxxx exg
19、xegxexxxxx，则.令221ln2xxh xx exxxx ex，则 h.0 xQ，0hx.0h x 在，上单调递增，且110,ln 2024eheh.h x 有唯一零点11112xx，且.当10,0,0,xxh xgxg x时，单调递减；当1,0,0,xxh xgxg x时，单调递增.1ming xg x.1111ln1xxaexx.由10h x整理得1111lnxxx ex，1111,ln02xxQ令0 xk xxex，则方程1111lnxxx ex等价于11lnk xkx，而1xkxxe 在 0,上恒大于零，k x 在 0,上单调递增，11lnk xkxQ，11ln,xx111,xex111111111ln1111.xxxg xexxxxx1.a实数a的取值范围为,1.解析：