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1、数学试卷一、选择题1.设集合230log2,3|18|AxxBx yxx,则AB=()A.1,3B.6,9C.3,9D.3,62.已知复数552izii,则z=()A.5B.5 2C.3 2D.2 53.设11231313,log2,3abc,则()A.bacB.cbaC.bcaD.cab4.函数2cos3fxx的最小正周期为()A.4B.2C.2D.5.“lnlnmn”是“22mn”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知抛物线2:12Cyx的焦点为,F A为 C 上一点且在第一象限,以 F 为圆心,FA为半径的圆交C的准线于,B D两点,且,A
2、 F B三点共线,则 AF=（）A.16 B.10 C.12 D.8 7.已知函数fx 是偶函数,当0 x时,ln1fxxx,则曲线yfx在1x处的切线方程为（）A.yxB.2yxC.yxD.2yx8.在四面体ABCD 中,且,ABAC ACCD AB CD所成的角为30,5,4,3ABACCD,则四面体ABCD 的体积为（）A.5 B.6 C.7 D.8 二、填空题9.已知向量4,3,1,2,aba b的夹角为,则 sin=_.10.382()1xx的展开式中的常数项为_.11.左手掷一粒骰子,右手掷一枚硬币,则事件“骰子向上为6 点且硬币向上为正面”的概率为_.12.已知抛物线24yx的准
3、线与x 轴的交点为H,点 F 为抛物线的焦点,点 P 在抛物线上且PHk PF,当 k 最大时,点 P 恰好在以,H F为焦点的双曲线上,则 k 的最大值为 _,此时该双曲线的离心率为_.三、多项选择题13.一组数据12321,21,21,21nxxxx的平均值为7,方差为 4,记12332,32,32,32nxxxx的平均值为a,方差为 b,则（）A.7aB.11aC.12bD.9b14.设,m n l为三条不同的直线,为两个不同的平面,则下面结论不正确的是（）A.若,/mn，则/mnB.若/,/,mnmn，则C.若,mn则 mnD.若/,/,mnlm ln，则 l15.在三棱锥DABC中,
4、1ABBCCDDA,且,ABBC CDDA M N分别是棱,BC CD的中点,下面结论正确的是()A.ACBDB./MN平面ABDC.三棱锥 ACMN 的体积的最大值为212D.AD与 BC 一定不垂直16.定义:若函数F x 在区间,a b上的值域为,a b,则称区间,a b是函数F x的“完美区间”.另外,定义区间,a b的“复区间长度”为2 ba,已知函数21|fxx,则（）A.0,1 是fx的一个“完美区间”.B.15 15,22是fx的一个“完美区间”.C.fx 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为35.D.fx 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为32 5.四、解答题17.
5、在 cos23sin20BB,2 cos2bCac,cos13sinbBaA三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并加以解答.已知ABC 的内角,A B C所对的边分别是,a b c,若_,且,a b c成等差数列,则ABC 是否为等边三角形?若是,写出证明;若不是,说明理由.18.已知数列na满足12122525253nnnaaaL.(1)求数列na的通项公式;(2)设数列11nna a的前 n 项和为nT,证明:11226nT.19.如图,在四棱锥 SABCD 中,ABCD 是边长为4 的正方形,SD平面,ABCD E F分别为,AB SC的中点.(1)证明:/EF平面 SAD.(2)若8
6、SD,求二面角 DEFS的正弦值.20.生男生女都一样,女儿也是传后人.由于某些地区仍然存在封建传统思想,头胎的男女情况可能会影响生二孩的意愿,现随机抽取某地200户家庭进行调查统计.这 200 户家庭中,头胎为女孩的频率为0.5,生二孩的频率为0.525,其中头胎生女孩且生二孩的家庭数为60.(1)完成下列22列联表,并判断能否有95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关;生二孩不生二孩合计头胎为女孩60 头胎为男孩合计200(2)在抽取的200 户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7 户,进一步了解情况,在抽取的7户中再随机抽取4 户,求抽到的头胎是女孩的家庭户数X
7、的分布列及数学期望.附:2P Kk0.15 0.05 0.01 0.001 k2.072 3.841 6.635 10.828 22n adbcKabcdacbd(其中 nabcd).21.已知12,F F分别为椭圆22:143xyC的左、右焦点,MN 为该椭圆的一条垂直于x 轴的动弦,直线:4m x与 x 轴交于点A,直线2MF与直线 AN 的交点为B.(1)证明:点 B恒在椭圆C 上.(2)设直线 n 与椭圆 C 只有一个公共点P,直线 n 与直线 m 相交于点Q,在平面内是否存在定点T,使得2PTQ恒成立?若存在,求出该点坐标;若不存在,说明理由.22.已知函数2ln1,2fxxxg x
8、axax.(1)设函数Hxfxg x,讨论Hx 的单调性;(2)设函数2G xg xax,若fx 的图象与G x的图象有1122,A xyB xy两个不同的交点,证明:1 2ln2ln2x x.参考答案1.答案：B 解析：因为|19,6|AxxBx x或3x,所以|69ABxx.2.答案：B 解析：52551725iiiziii,故22175 2z.3.答案：C 解析：因为11231313,log 20,013abc,所以 bca.4.答案：D 解析：因为22cos 211213coscos 232232xfxxx,所以最小正周期为.5.答案：A 解析：若 lnlnmn,则 0mn,从而22m
9、n;若22mn,则mn，推不出 lnlnmn.6.答案：C 解析：因为,A F B三点共线,所以AB为圆 F 的直径,ADBD.由抛物线定义知12ADAFAB,所以30ABD.因为 F 到准线的距离为6,所以2612AFBF.7.答案：A 解析：因为0,ln1,11,ln1,11xfxfxxxffxxf,所以曲线yfx在1x处的切线方程为yx.8.答案：A 解析：由题意,如图所示,ACAB ACCD,过点 A 作 CD 的平行线AE,则 AC平面ABE,且EAB为 30 或 150,从 B 点向AE作垂线,垂足为 E,易证BE平面 ACD.点 B 到平面 ACD 的距离15sin522BEAB
10、EAB,162ACDSAC CDV,则四面体ABCD的体积为153ACDVSBEV.9.答案：55解析：102 5cos555a ba b,5sin5.10.答案：112 解析：382()1xx的展开式的通项为83824 4188221rrrrrrrTCxCx,令6r,得8 666368 62248748221112TCxCx.11.答案：12解析：112骰子向上为6 点的概率为16,硬币向上为正面的概率为12,故所求事件的概率为12.12.答案：2;21解析：过 P 作准线的垂线交准线于M(图略),则 PMPF,由 PHk PF,可得PHPHkPFPM.设200,4yPy,则22200201
11、414yyPHkyPM,令2014yt,则224111422ttPHkPMtt,当2t时,k 取得最大值2,即当20124yt时,k 取得最大值2,此时02y.不妨设1,2P,又因为双曲线的焦点坐标为1,0,所以可设双曲线的方程为222211xyaa,将1,2P代入上式,求得232 2a,所以该双曲线的离心率21e.13.答案：BD 解析：设123,nx xxx的平均值为x,方差为2s,则12321,21,21,21nxxxx的平均值为217x，方差为2224s,所以3x,21s,故12332,32,32,32nxxxx的平均值3211ax,方差2319b.14.答案：ABD 解析：A 选项中
12、,m n可能异面;B 选项中,也可能平行或相交;D 选项中,只有,m n相交才可推出l.15.答案：ABD 解析：设 AC 的中点为O,连接,OB OD(图略),则,ACOB ACOD,又 OBODO,所以 AC平面 OBD,所以 ACBD,故 A 正确;因为/MNBD,所以/MN平面ABD,故 B 正确;当平面 DAC 与平面 ABC 垂直时,ACMNV最大,最大值为112234448A CMNNACMVV,故 C 错误;若AD与 BC 垂直,又因为 ABBC，所以 BC平面ABD，所以 BCBD,又 BDAC,所以BD平面 ABC,所以 BDOB,因为 OBOD,所以显然BD与 OB 不可
13、能垂直,故D正确.16.答案：AC 解析：设fx的“完美区间”为,a b,易知0ba.当 01b时,由fx的图象知fx在,a b上单调递减,所以2211faabf bba解得01ab,此时22ba.当1b时,若0a,则211f bbb,解得152b,此时 215ba;若 01a,则最小值为10fa,不合题意;若1a,则由图象知fx在,a b上单调递增,所以2211faaaf bbb解得152152ab(舍去).综上,函数fx的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为 21535.17.答案：选2cos212sinBB,22sin3sin30BB,即()(2sin3 si0)n3BB,解得sin3
14、B(舍去)或3sin2B.0B,3B或23,又,a b c成等差数列,2bac,b 不是三角形中最大的边,即3B,由2222cosbacacB,得2220acac,即ac,故ABC 是等边三角形.选由正弦定理可得2sin cos2sinsinBCAC,故2sin cos2sinsinBCBCC,整理得 2cos sinsin0BCC.0C,sin0C,即1cos2B.0B,3B,又,a b c成等差数列,2bac,由余弦定理2222cosbacacB,可得2220acac,即ac,故ABC 是等边三角形.选由正弦定理得sincos1sin3sinBBAA,sin0A,3sincos1BB,即1
15、sin62B,0B,5666B,即=66B,可得=3B,由余弦定理2222cosbacacB,可得2220acac,即ac,故ABC 是等边三角形.解析：18.答案：(1)解:12122525253nnnaaaL当1n时,14a.当2n时,12112112525253nnnaaaL,由-,得3522nnan,因为14a符合上式,所以352nna.(2)证明:114411=35383 3538nna annnn.12231111nnna aa aTa aL4113838n因为1103811n,所以11226nT.解析：19.答案：(1)记 SD 的中点为G,连接,GF GA.因为,E F别为,A
16、B SC的中点,则/GFCD,且12GFCD.因为/AECD,且12AECD,所以/GFAE且 GFAE,所以四边形GFEA 为平行四边形,则/EFAG.又 EF平面,SAD AG平面 SAD,所以/EF平面 SAD.(2)以 D 为原点,分别以,DA DC DSu uu r uu ur u uu r为,x y z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则0,0,8,0,0,0,4,2,0,0,2,4SDEF,4,2,0,0,2,4,4,0,4,4,2,8DEDFEFESu uu ruuu ru uu ruu u r,设平面DEF的法向量为111,mx yz,则1111420240D
17、EmxyDFmyzuuu ruuu r令12x,得2,4,2m.设平面 SEF 的法向量为222,nxyz,则222224204280EF nxzES nxyzuuu ruu u r令22x,得2,4,2n.1cos,3m nm nm n,设二面角 DEFS为 ,则2 2sin3,即二面角 DEFS的正弦值为2 23.解析：20.答案：(1)因为头胎为女孩的频率为0.5,所以头胎为女孩的总户数为2000.5100.因为生二孩的概率为0.525,所以生二孩的总户数为2000.525105.2 2列联表如下:生二孩不生二孩合计头胎为女孩60 40 100 头胎为男孩45 55 100 合计105
18、95 200 22200 605545406003.84110595100 100133K,故有 95%的把握认为是否生二孩与头胎的男女情况有关.(2)在抽取的200 户家庭的样本中,按照分层抽样的方法在生二孩的家庭中抽取了7 户,则这 7 户家庭中,头胎生女孩的户数为4,头胎生男孩的户数为3,则 X 的可能取值为1,2,3,4.1343474135CCP XC;22434718235CCP XC;31434712335CCP XC;44471435CP XC.X的分布列为X 1 2 3 4 P 43518351235135418121161234353535357EX.解析：21.答案：(1
19、)由题意知21,0,4,0FA,设,Ms tN st,则22143st.直线2MF的方程为11tyxs,直线AN的方程为44tyxs联立可得538,2525BBstxyss,即 B 的坐标为583,25 25stss.因为22222583691434 25BBssxys,所以 B 点恒在椭圆 C 上.(2)当直线 n 的斜率不存在时,不符合题意.不妨设直线 n 的方程为ykxb,由对称性可知,若平面内存在定点T,使得2PTQ恒成立,则 T一定在 x轴上,故设0,0Tx,由22143ykxbxy可得2224384120kxkbxb.因为直线 n 与椭圆 C 只有一个公共点,所以222222644
20、 4341248 430k bkbkb,所以43,6PPpkxykxbb.又因为4,4,2QkbPTQ,所以0043,4,40kTP TQxxkbbbu uruuu r,即003 3440kbkxxbb.所以200043440kxxxb对于任意的满足22430kb的,k b恒成立,所以0200440430 xxx解得01x.故在平面内存在定点1,0T,使得2PTQ恒成立.解析：22.答案：(1)2ln21Hxfxg xxaxax,22121122axaxxaxHxaxaxx.当0a时,Hx在10,2上单调递增,Hx在1,2上单调递减.当20a时,令0Hx,得11,0,2()()xa,所以Hx在
21、()1,a,(10,2)上单调递增;令0Hx,得1(,1)2xa,所以Hx 在1(,)21a上单调递减.当2a时,0Hx,Hx在0,上单调递增.当2a时,令0Hx,得()(11,2)0,xa,所以Hx在(),110,2()a上单调递增;令0Hx,得1 1,2xa,所以Hx 在1 1,2a上单调递减.(2)22G xg xaxax,因为函数fx的图象与G x的图象有两个不同交点,所以关于 x 的方程2ln1axxx,即1lnaxxx有两个不同的根.由题知1111lnxaxx,2221lnxaxx,+得12121212lnxxx xa xxx x,-得22121112lnxxxa xxxx x.由,得2112212122112lnlnxxxxxx xx xxxx,不妨设120 xx,记211xtx.令21ln11tF tttt,则2101tFtt t,所以F t在1,上单调递增,所以10F tF,所以12121 22ln2xxx xx x.所以121242ln2x xx x,即12122ln1x xx x.令2lnxxx,则x 在0,上单调递增.又212ln2ln 21122eee,所以121222ln1ln22x xex xe,即122x xe,所以2122x xe.两边同时取对数可得12ln2ln2x x,得证.解析：