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1、数学试卷一、选择题1.设集合21,2,|230MNxZ xx,则MN()A.1,2B.(1,3)C.1D.1,22.若复数12,z z在复平面内对应的点关于y轴对称,且12zi,则复数12zz()A.1?B.1C.3455iD.3455i3.已知直线1:sin10lxy,直线2:3 cos10lxy,若12ll,则sin2()A.23B.35C.35D.354.三世纪中期,魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术,为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法.所谓割圆术,就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法.如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图,现向圆中随机投掷一个点,则该点落在正六边
2、形内的概率为()A.3 32B.3 32C.3 22D.325.若双曲线22131xymm的一条渐近线方程为230 xy,则m的值为()A.313B.2313C.35D.756.已知2:,20;:28apxR xxaq.若“pq”是真命题,则实数a的取值范围是()A.1,B.(,3)C.1,3D.(,1)(3,)7.某数学爱好者编制了如图的程序框图,其中mod,m n表示m除以n的余数,例如mod 7,31.若输入m的值为 8,则输出i的值为()A.2 B.3 C.4 D.5 8.已知ABC中,2,4,60,ABACBACPo为线段AC上任意一点,则PB PCuu u r uuu r的范围是(
3、)A.1,4B.0,4C.2,4D.9,449.已知数列na中,11a,且对任意的*,m nN,都有m nmnaaamn,则201811iia()A.20172018B.20171009C.20182019D.4036201910.某单位实行职工值夜班制度,已知,A B C D E,5 名职工每星期一到星期五都要值一次夜班,且没有两人同时值夜班,星期六和星期日不值夜班,若A昨天值夜班,从今天起,B C至少连续4天不值夜班,D星期四值夜班,则今天是星期几()A.二B.三C.四D.五11.已知抛物线2:4Cyx的焦点为F,过F的直线交C于,?A B两点,点A在第一象限,(0,6),PO为坐标原点,
4、则四边形OPAB面积的最小值为()A.74B.134C.3?D.412.如图,虚线小方格是边长为1的正方形,粗实(虚)线画出的是某几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为()A.36B.32C.9D.8二、填空题13.已知向量1,0,2,2abababrrrrrr,则实数_.14.若,x y满足条件124xxy,且32xzy,则z的最大值为 _.15.已知10210012101111xaaxaxax，,则8a_.16.若存在实常数k和b,使得函数F x和G x对其公共定义域上的任意实数x都满足:F xkxb和G xkxb恒成立,则称此直线ykxb 为F x和G x的“隔离直线”,已知函数21
5、,0,2 lnfxxxRgxxh xexx(e为自然对数的底数),有下列命题:m xf xg x在31,02x内单调递增;f x和g x之间存在“隔离直线”,且b的最小值为4;f x和g x之间存在“隔离直线”,且k的取值范围是4,1;f x和g x之间存在唯一的“隔离直线”2yex e.其中真命题的序号为_.(请填写正确命题的序号)三、解答题17.已知,a b c分别为ABC三个内角,A B C,的对边,且3cos2sinaAcC.1.求角A的大小;2.若5bc,且ABC的面积为3,求a的值.18.已知三棱锥PABC(如图 1)的平面展开图(如图 2)中,四边形ABCD为边长为2的正方形,A
6、BE和BCF均为正三角形,在三棱锥PABC中:1.证明:平面PAC平面ABC;2.求二面角APCB的余弦值.19.在创建“全国文明卫生城”过程中,某市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况,进行了一次创城知识问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样,得到参加问卷调查的100 人的得分(满分 100 分)统计结果如下表所示:组别30,4040,5050,6060,70)70,8080,90)90,100频数2 15 20 25 24 10 4 1.由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分Z服从正态分布,198,N近似为这100?人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表
7、),利用该正态分布,求(3779)PZ;2.在 1 的条件下,“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案:得分不低于的可以获赠2 次随机话费,得分低于的可以获赠1 次随机话费;每次获赠的随机话费和对应的概率为:赠送话费的金额(单位:元)20 40 概率3414现有市民甲参加此次问卷调查,记(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求的分布列与数学期望.附:参考数据与公式:19814.若2,XN,则()0.6826PX,(22)0.9544PX,(33)0.9974PX.20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为2 3,以椭圆C的右顶点A为圆心的圆与直线byxa相交于,?P
8、Q两点,且0,3AP AQOPOQuu u r u uu ru uu ru uu r.1.求椭圆C的标准方程和圆的方程;2.不过原点的直线l与椭圆C交于,M N两点,已知直线,OM l ON的斜率12,k k k成等比数列,记以线段OM,线段为ON直径的圆的面积分别为1212,S SSS的值是否为定值?若是,求出此值;若不是,说明理由.21.已知函数ln2axfxex(e为自然对数的底数).1.若,axaR F xefx，,讨论F x的单调性;2.若12a,函数1g xfxx在1,内存在零点,求实数a的范围.22.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知
9、曲线C的极坐标方程为4cos3,直线l过点0,3P且倾斜角为3.1.求曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程;2.设直线l与曲线C交于,?A B两点,求PAPB的值.23.已知函数12fxxx的最大值为t.1.求t的值以及此时x的取值集合;2.若实数,?a b满足222abt,证明:22124ab参考答案1.答案：D 解析：2.答案：C 解析：3.答案：D 解析：4.答案：A 解析：5.答案：A 解析：6.答案：C 解析：7.答案：B 解析：8.答案：D 解析：9.答案：D 解析：10.答案：C 解析：11.答案：B 解析：12.答案：B 解析：13.答案：12解析：14.答案：7?解析：15
10、.答案：180解析：16.答案：解析：17.答案：1.由正弦定理得,3sincos2sinsinAACC0sin C3sincos2AA,即sin16A.0A,5666A,62A23A2.由:3ABCS可得1sin32SbcA.4bc,5bc,由余弦定理得:22222cos21abcbcAbcbc,21a.解析：18.答案：1.设AC的中点为O,连接,BO PO.由题意得,2,1,1PAPBPCPOAOBOCO,因为在POB中,PAPC O为AC的中点,所以POAC,因为在POB中,1,1,2POOBPB,所以POOB,因为,ACOBO AC OB平面ABC,所以PO平面ABC,因为PO平面P
11、AC,所以平面PAC平面ABC.2.由PO平面,ABC OBAC,如图建立空间直角坐标系,则(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(1,0,0),(0,0,1)OCBAP.由OB平面APC,故平面APC的法向量为0,1,0OBuuu r,由(1,1,0),(1,0,1)BCPCuuu ruuu r,设平面PBC的法向量为(,)nx y zr,则由0,0,n BCn PCuuu ruuu r得:0,0.xyxz令1?x,得1,1yz,即(1,1,1)nr,13cos,3|3 1n OBn OBnOBr uu u rr uuu rruuu r.由二面角APCB是锐二面角,所以二面角APC
12、B的余弦值为33解析：19.答案：1.350.02450.1555 0.265 0.2575 0.2485 0.1 950.0465EZ故65,19814(65146514)(5179)0.6826PZPZ,(652 14652 14)(3793)0.9544PZPZ.(3793)(5179)(3751)0.13592PZPZPZ综上,(3779)(3751)(5179)0.13590.68260.8185PZPZPZ2.易知1()2P ZP Z获赠话费的可能取值为20,40,60,80.13320248P;1113313402424432P;13111336024424416P;111180
13、24432P.的分布列为:20?40?60。80P381332316132313312040608037.58321632E.解析：20.答案：1.如图,设T为PQ、的中点,连接AT,则ATPQ,因为0AP AQuuu r uuu r,即APAQ,所以12ATPQ,又3OPOQuuu ruuu r,所以OTPQ,所以12ATOT,所以12ba.由已知得3c,所以224,1ab=椭圆C的方程为2214xy,2244ATAT+=所以2244ATAT+=,所以2 55AT=,所以2 105rAP=,所以圆A的方程为228(2)5xy.2.设直线l的方程为1122(0),(,),(,),ykxm mM
14、 xyN xy由22,1,4ykxmxy,得222(14)84(1)0kxkmxm,所以212122284(1),1+41+4kmmxxx xkk,由题设知21212121212()()y ykxmkxmkk kx xx x221212(),km xxmkx x22221228()0,01+4k mkm xxmmk，210,4mk，则22222222221212112212()()(11)44444xxSSOMONxyxyxx=+=22212121233=(+)=(+)2162162xxxxx x222222223648(1)3544(1)16(1+4)1+421624k mmmmkk故12S
15、S为定值,该定值为54.解析：21.答案：1.定义域为2x x11e ln2eeln222axaxaxfxaxaxxx故1eln22axFxfxaxx则22121222aaxaFxxxx(1)若0a,则0,FxF x在2,上单调递减;(2)若0a,令102Fxxa.当0a时,则122xa,因此在2,上恒有0Fx,即F x在2,上单调递减;当0a时,122xa,因而在12,2a上有0Fx,在12,a上有0Fx;因此F x在12,2a上单调递减,在12,a单调递增.综上,(1)当0a时,F x在2,上单调递减;(2)当0a时,F x在12,2a上单调递减,在12,a单调递增.2.设1ln21,1,
16、axg xfxxexxx,11ln2112axaxgxfxeaxe Fxx,(1)若=0,1ln21,1,ag xfxxxxx,1110,1,22xgxxxxg x在1,x单调递减,10g xg故此时函数g x无零点,=0a不合题意.(2)若0a,当10 x时,111 0ln2020,agega,因此当10 x时gx必有零点,记第一个零点为0 x,当01,xx时0gx,g x单调递增,0(1)0g xg又001ln210,gf所以,当0a时,g x在0,0 xx必存在零点.(3)当102a,由于ln 2 100g,令()1,()(1)axaxxeaxxa e,则()x在(1,0)x单调递减,在
17、0,x单调递增.()(0)0 x即1,axeax注意到1axeaxaxa,因此ln21(1)ln21(1)ln21axg xexxa xxxxax,令10axe时,则有11110(1)ln21(1)ln10aaaag xeaeeae,由零点存在定理可知函数yg x在0(0,)x上存在零点,符合题意.综上可知,a的取值范围是1,00,2.解析：22.答案：1.曲线:4cos4cos cos4sin sin333C,所以22 cos2 3 sin,即2222 3xyxy,得曲线C的直角坐标方程为22134xy,直线l的参数方程为12(332xttyt为参数).2.将12(332xttyt为参数)代入圆的方程,得221312 3422tt,整理得2790tt,得121 27,9ttt t,所以120,0tt所以127PAPBtt解析：23.答案：1.依题意得,当1?x时,()1(2)3f xxx;当12x时,()(1)(2)21f xxxx,此时()(1,3)f x;当2x时,()(1)(2)3f xxx,所以f()x的最大值为3,即3t,此时2,)x2.由222abt,得,221ab,所以2120ab,所以12b,所以22221242(2)24abbbb解析：