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1、数学试卷一、选择题1.设集合2=1 2230MNxZ xx，,则MN()A.1,2B.(1,3)C.1D.1,22.若复数12,z z在复平面内对应的点关于y轴对称,且12zi,则复数12zz()A.1B.1C.3455iD.3455i3.纹样是中国艺术宝库的瑰宝,火纹是常见的一种传统纹样,为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为5 的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷1000 个点,已知恰有400 个点落在阴影部分,据此可估计阴影部分的面积是()A.2 B.3 C.10 D.15 4.将函数sin 2yx的图像沿x轴向左平移6个单位后,得到一个偶函数的图像,则的一个
2、可能取值为()A.3B.6C.0D.45.已知点F为双曲线22:40C xmym m的一个焦点,则点F到C的一条渐近的距离为()A.2 B.4 C.2mD.4m6.若,a b c满足223,log 5,32acb,则()A.cabB.bcaC.abcD.cba7.某综艺节目为比较甲、乙两名选手的各项能力(指标值满分为5分,分值高者为优),绘制了如图所示的六维能力雷达图,图中点A表示甲的创造力指标值为4,点B表示乙的空间能力指标值为3,则下面叙述正确的是()A.乙的记忆能力优于甲B.乙的创造力优于观察能力C.甲的六大能力整体水平优于乙D.甲的六大能力中记忆能力最差8.已知直线与圆相交于两点(为坐
3、标原点),则“”是“”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.如图所示的三视图表示的几何体的体积为323,则该几何体的外接球的表面积为()A.12B.24C.36D.4810.九章算术是我国古代一部数学名著,某数学爱好者阅读完其相关章节后编制了如图的程序框图,其中MOD,m n表示m除以r的余数,例如7,31MOD.若输入m的值为8?时,则输出i的值为()A.2 B.3 C.4 D.5 11.已知xfxe(e为自然对数的底数),ln2g xx,直线l是fx与g x的公切线,则直线l的方程为()A.1yxe或1yxB.yex或1yxC.yex或1yxD.
4、1yxe或1yx12.已知ABC中,2,4,60ABACBACo,P为线段AC上任意一点,则PB PCuuu r uuu r的范围是()A.1,4B.0,4C.2,4D.9,44二、填空题13.设函数22,1,1,1,xxxfxgx x则4ff的值为 _.14.若,P x y满足条件10,24xxyxy且32,xzy则z的最大值为 _.15.设抛物线22(0)ypx p的焦点为F,点0,2.A若线段FA的中点B在抛物线上,则B到该抛物线准线的距离为_.16.在ABC中,角,A B C的对边分别为,a b c,若2222017,abc则tantantantanCCAB的值为_.三、解答题17.已
5、知正项数列na的前n项和nS满足:11nna aSS.1.求数列na的通项公式;2.令21log4nnbna,求数列nb的前n项和nT.18.如图,在五面体ABCDEF中,四边形EDCF是正方形,90ADEo.1.证明:FCBD;2.已知四边形ABCD是等腰梯形,且60,1DABADDEo,求五面体ABCDEF的体积.19.为了缓解日益拥堵的交通状况,不少城市实施车牌竞价策略,以控制车辆数量.某地车牌竞价的基本规则是:“盲拍”,即所有参与竞拍的人都要网络报价一次,每个人不知晓其他人的报价,也不知道参与当期竞拍的总人数;竞价时间截止后,系统根据当期车牌配额,按照竞拍人的出价从高到低分配名额.某人
6、拟参加2018 年 5 月份的车牌竞拍,他为了预测最低成交价,根据竞拍网站的数据,统计了最近5 个月参与竞拍的人数(见下表):月份2017.122018.012018.022018.032018.04月份编号 t12345竞拍人数y(万人)0.50.611.41.71.由收集数据的散点图发现,可用线性回归模型拟合竞拍人数y(万人)与月份编号t之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程:?ybta,并预测2018 年 5 月份参与竞拍的人数.2.某市场调研机构从拟参加2018 年 5 月份车牌竞拍人员中,随机抽取了200 人,对他们的拟报价价格进行了调查,得到如下频数分布表和频率分布
7、直方图:报价区间(万元)1,22,33,44,55,66,77,8频数1030a60302010(i)求,a b的值及这200 位竟拍人员中报价大于5 万元的频率;(ii)若 2018 年 5 月份车牌配额数量为3000,假设竞拍报价在各区间分布是均匀的,请你根据以上抽样的数据信息,预测(需说明理由)竞拍的最低成交价.参考公式及数据:?ybxa,其中1221,?niiiniix ynxybaybxxnx;5521155,18.8iiiiitt y20.已知椭圆222210 xyCabab：的左焦点为1,0F,离心率22e.1.求椭圆C的标准方程;2.已知直线交椭圆C于,A B两点.若直线经过椭
8、圆C的左焦点F,交y轴于点P,且满足,PAAF PBBFuuruu u r uuruuu r.求证:为定值.21.已知函数21ln2afxxaxx aR.1.当3a时,求fx的单调递减区间;2.对任意的(3,2)a,及任意的12,1,2x x恒有12ln 2fxfxta成立,求实数t的范围.22.选修 44:坐标系与参数方程已知平面直角坐标系xOy中,过点(1,2)P的直线l的参数方程为1cos452sin45xtyt(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为sintan2(0)a a,直线l与曲线C相交于不同的两点,M N.1.求曲线C和直线l的普通方
9、程;2.若PMMN,求实数a的值.23.选修 45:不等式选讲.已知函数2fxx.1.解不等式241fxx;2.已知10,0mnmn,若关于x的不等式11xafxmn恒成立,求实数a的取值范围.参考答案1.答案：D 解析：21,3230:0,1,2xxxNNxZxZ,所以1,2NN,故选D2.答案：C 解析：22,zi所以12222342555iiziizi,故选C3.答案：C 解析：根据题意,正方形的面积为5 5?25,所以阴影部分的面积40025101000S,故选C4.答案：B 解析：将函数sin 2yx的图像沿x轴向左平移6个单位后得到sin 23yx的图像,此时函数为偶函数,必有,3
10、2kkZ,当0?k时,6.故选 B 5.答案：A 解析：2240 xmym m,即221044xymm,其中2b,又,0F c到其渐近线的距离:2db,故选A.6.答案：A 解析：由题意得2222log 3log 5,log 21log,ab cacab,故选A.7.答案：C 解析：由图示易知甲的记忆能力指标值为5,乙的记忆能力指标值为4,所以甲的记忆能力优于乙,故排除A;同理,乙的观察能力优于创造力,故排除B;甲的六大能力中推理能力最差,故排除D;又甲的六大能力指标值的平均值为256,乙的六大能力指标值的平均值为4,所以甲的六大能力整体水平优于乙,故选C.8.易 知斜 边 上 的 高 为1,
11、则 由 点 到 直 线 距 离 公 式 得,解 得,所以“”是“”的充分不必要条件,故选.9.答案：C 解析：由三视图可得该几何体为底面边长为4、m,一条侧棱垂直底面的四棱锥,设高为 4,则13244,233mm,将该几何体补成一个长方体,则其外接球半径为222142432R,故这个几何体的外接球的表面积为2436R.故选C.10.答案：B 解析：模拟执行程序框图,可得:2n,0i,8m,满足条件8n,满足条件8,20MOD,1i,3n,满足条件8n,不满足条件8,30MOD,4n,满足条件8n,满足条件8,40MOD,2i,5n,*8NnQ,可得:2,4,8,共要循环 3 次,故3i.故选
12、B 11.答案：C 解析：设切点分别为1122,x yxy1,xfxegxx111111212211ln21ln2xxxxxxxeeeeexxxex整理得11110 xxe解得1211xxe或1201xx,所以切线方程为yex或1yx,故选C.12.答案：D 解析：法1:易求得2 3BC,取BC中点D,则|3CD,1sin2C2221234PB PCPDBCPDuu r uu u ruu u ruu u ruu u r2221234PDBCPDuu u ruu u ruu u r当PDAC时,min32PD,当P在A处时,max7PDuu u r所以9,44PB PCuu r uu u r,故
13、选D法 2:以B为坐标原点,BC为x轴、BA为y轴建系,则2 3,0,0,2CA,:122 3xyAC设224,0,2 3433xP x yxyx所以222410 39,2 3,2 34,4334PB PCxyx yxyxxxuu r uu u r,故选D.13.答案：-1 解析：由22,1lg,1,xxxfxx x得410,101ff14.答案：7 解析：由题1024xxyxy,画出可行域为如图ABC区域,32zxy且0y,当P在A处时,max7Z.15.答案：3 24解析：如图,由已知得B点的纵坐标为1,横坐标为4p,即B的坐标为,14p,将其代入22ypx得124pp,解得2,p则B点到
14、准线的距离为33 22444ppp.16.答案：11008解析：在ABC中,tantantantanCCABsincossincoscossincossinCACBCACB2sincossincossinsinsinsincossinsincossinsincossinsinCABBACABCCABCABCAB由正弦定理得22sinsinsinsincossins,incosABCCcCCbABaacb由余弦定理得2222cos,cababC2222cos,abCabc2222017,abc22cos2016,abCc2222221cos2cos20161008cccabCabCctantan
15、1tantan1008CCAB17.答案：1.由已知11nna aSS,可得当1n时,2111aaa,可解得10a,或12a,由na是正项数列,故12a.当2n时,由已知可得1122,22nnnnaSaS,两式相减得,12nnnaaa.化简得12nnaa,数列na是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,故2nna.数列na的通项公式为2nna.2.21log4nnbna,代入2nna化简得1111222nbn nnn其前n项和11111111123243521111323122124212nTnnnnnnnL解析：18.答案：1.证明:由已知的,ADDE DCDE AD CD平面ABCD,且A
16、DCDD,所以DE平面ABCD又DB平面ABCD,所以FCBD又因为DEFCP,所以FCBD2.解:连结,AC AF,则ABCDEFA CDEFFACBVVV过A作AGCD交CD于G,又因为DE平面ABCD,所以DEAG,且DECDD,所以AG平面CDEF,则AG是四棱锥ACDEF的高.因为四边形ABCD是底角为60o的等腰梯形,1ADDE,所以32AG,132,36A CDEFCDEFABVAG S,因为DE平面ABCD,DEFCP,所以FC平面ABCD,则FC是三棱锥FACB的高.所以1336FACBACBVFC S所以33ABCDEFA CDEFFACBVVV.解析：19.答案：1.易知
17、123450.50.61 1.41.73,1.04,55ty5152221518.853 1.040.3255535iiiiit ytybtt$1.040.?3230.0?8aybt则y关于t的线性回归方程为0.3208?.0yt,当6t时,200y$,即 2018 年 5 月份参与竞拍的人数估计为2 万人.2.(i)由0.20200a解得40a;由频率和为1,得0.05 20.1020.200.3011c,解得0.15b200 位竞拍人员报价大于5 万元得人数为0.050.100.1520060人;(ii)2018年 5 月份实际发放车牌数量为3000,根据竞价规则,报价在最低成交价以上人数
18、占总人数比例为3000100%15%20000;又由频率分布直方图知竞拍报价大于6 万元的频率为0.050.100.15;所以,根据统计思想(样本估计总体)可预测 2018 年 5 月份竞拍的最低成交价为6 万元.解析：20.答案：1.由题设知,2,12cca,所以222,1,1acb椭圆C的标准方程为22121xy2.由题设知直线l斜率存在,设直线l方程为1yk x则0,Pk.设1122,A x yB xy,直线l代入椭圆22121xy得2222124220kxk xk22121222422,1212kkxxx xkk由,PAAF PBBFuuruuu r uuruuu r,知1212,11
19、xxxx2222121222121222444212124422111212kkxxxxkkkkxxx xkk当直线,OA OB分别与坐标轴重合时,易知22VAOBS当直线,OA OB斜率存在且不为0 时,设1:,:OAykx OByxk设1122,A x yB xy,直线ykx代入椭圆C得到222220 xk x222112222,1212kxykk同理222222222,1222kxykk222212122VAOBkOA OBSkk令21,1,tkt,2222212211122VAOBkOA OBtSttkk2211,112112tStttt,令1,0,1uut则2122,321924VA
20、OBSu,1,0,1ut2122,232SSuu综上所述,VAOBS面积的取值范围22,32.解析：21.答案：1.212113ln,23xxfxxxx fxxxxfx的递减区间10,1,22.21111111xaxaxaxfxaxaxxx由(3,2)a知11,112afx在1,2上递减312ln 2,ln 2ln 2,21322afftatata,3122ta对(3,2)a恒成立,0t解析：22.答案：1.1cos452sin45xtyt(t为参数),直线l的普通方程:10 xy,曲线C的极坐标方程为sintan2(0)a a,22sin2cos(0)aa,曲线C的普通方程:22yax;2.
21、22yax;0 x,设直线l上点M、N对应的参数分别为1212,0,0t ttt,则12,PMtPNt,PMMN,12PMPN,212tt,将1cos452sin 45xtyt,代人22yax得22 22420tata,122 22tta,1 242tta,212tt,14a.解析：23.答案：1.不等式241fxx等价于2214xx,即分三种情况讨论:22214xxx或212214xxx或12214xxx,解得713x;所以不等式的解集为713xx.2.因为222xaxxaxa,所以xafx的最大值是2a.又10,.0mnmn,于是111124nmmnmnmnmn,当且仅当nmmn,即12mn时等号成立,所以11mn的最小值为4 要使xafx11mn恒成立,则24a,解得62a,所以a的取值范围6,2解析：