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1、中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献第十四讲幻方-【知识点解析】一、幻方的概念：所谓幻方是指在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等；而阶数是指每行、每列所包含的方格数。幻方题可以粗略的分为两种，一种是限制了所填入的数字，或者给出了需要填入的各个数字，或者已经填入一个或几个数字；另一种是对填入的数字没有任何限制，填对即可。幻方又称为魔方，方阵等，它最早起源于我国。宋代数学家杨辉称之为纵横图。关于幻方的起源，我国有“河图”和“洛书”之说。相传在远古时期，伏羲氏取得天下，把国家治理得井井有条，感动了上苍，于是黄河中跃出一匹龙马，背上驮
2、着一张图，作为礼物献给他，这就是“河图”了，是最早的幻方。伏羲氏凭借着“河图”而演绎出了八卦。后来大禹治洪水时，洛水中浮出一只大乌龟，它的背上有图有字，人们称之为“洛书”。“洛书”所画的图中共有黑、白圆圈45 个。把这些连在一起的小圆和数目表示出来，得到 1 至 9 这九个数，恰组成一个三阶幻方。二、幻方问题主要方法1、累加法利用累加的方法可以求出“幻和”和关键位置上的数字。通常将若干个“幻和”累加在一起，再计算每一个位置上的重数，从而求出“幻和”和关键位置上的数字。2、求出“幻和”和关键位置上的数字后，结合枚举法完成数阵图的填写，在填写数阵中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心
3、 责任 奉献图的过程中注意从特殊的数字和位置入手。3、比较法利用比较的方法可以直接填出某些位置的数字。注意观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，注意它们之间共同的部分，去比较不同的部分。4、掌握好3 阶幻方中的规律。三阶幻方的性质：1.中心位置上的数等于幻和除以3；2.角上得数等于和它不相邻的两条边上的数的平均数；3.中心数两头的数等于中心数的2 倍。例 1：我们先来一起解决三道难度相差很大的题目，目的在于总结出三阶幻方的若干重要性质。如下图，将 19 填入 33 的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？解析：首先，我们思考要填出一个三阶幻方，
4、什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。它是多少呢？哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是 3 倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于1 到 9 这九个数字都只各用了一次，所以 3 倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（请复习学过的等差数列知识）。于是最后，我们终于得到这个至关重要的“幻和”就是453=15。接下来第二步，我们来关心一下中间一格应该填哪个数字。同学们可能会说，中间一定填5，因为 1 到 9 的中间数字就是5，而幻方又是上下左右对称的。没错，同
5、学们有这样的数学直观很好，但是为了确定我们的判断，还是需要严格地说明一下。ABCDEFG H I 看上面的表格，由于我们还没有填入任何一个数字，所以就用了九个大写字母来表示。下面就需要技巧了，我们现在只考虑包含E的四条直线：因为A+E+I=15,B+E+H=15,C+E+G=15,D+E+F=15,所以如果我们把这四个式子的左右两边分别相加，就可以得到第 1 题中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3E=60,而A+B+C+D+E+F+G+H+I不就是所填数的总和吗？不论填法如何，这个数是不变的，它就是45，于是那么我们就得到E
6、=5了。答案：根据上面的分析，我们知道“幻和”=15，而 E=5。从而我们知道A+I=B+H=C+G=D+F=10，也意味着在所有经过中心的直线上，两端的数字奇偶性相同。然后我们可以通过枚举的方法确定每个位置上数字的奇偶性：（大家自己完成）偶奇偶奇5 奇偶奇偶我们可以看到，如果4 个角上的偶数被确定下来，那么其余4 个奇数也就被确定了，所以我们可以只考虑这4 个偶数的填法。利用一点简单的乘法原理，大家就可以知道本题共有 8 种填法。具体填法如下：2 9 4 2 7 6 8 3 4 8 1 6 7 5 3 9 5 1 1 5 9 3 5 7 6 1 8 4 3 8 6 7 2 4 9 2 总结：
7、这里要强调一点：奇偶性分析并不是解决幻方题的典型方法，只在某些特殊的题目中会被用到。在上面这个解题过程中，我们用到了一点技巧，希望同学们加以领会。本题中，我们看到所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于中间这个E。那么我们来问一个深入一点的问题：你认为这是在这道题中才产生的特殊性质，还是所有的三阶幻方都应该具有类似的性质？还有，就是上面我们曾经得出的那个“幻和”的3 倍就等于这九个数之和的这条性质，它能不能推广到所有的三阶幻方？【巩固】.请你将 311 这 9 个数字填入下面的方格中，使横、竖、斜行三个数的和相等。解析：首先将这列数中的中间数放在中间的格子里可知幻和是73=21；其次；将最
8、小的数和最大的数分别放在这个数的横向或竖向的两边；第三，中间数前面的第2 和第 4 个数分别填在最大数的两侧，这时就可以轻松的确定剩下的几个空了。例 2：下图是一个三阶幻方，请说明幻和等于 3 倍的 E 且 D+F=2 E。4 9 2 4 3 8 6 7 2 6 1 8 3 5 7 9 5 1 1 5 9 7 5 3 8 1 6 2 7 6 8 3 4 2 9 4 8 9 4 3 7 11 10 5 6 4 3 7 11 6 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献解析：有了第 1 题的基础，大家应该对本题感到不是那么陌生了，只要把第1 题的一部分解题过程搬过来就行。这
9、道题也是让大家看一看如何把一个特殊的解题过程变成一条普遍的规律或性质。答案：首先把题目中的空白格子标上不同的字母，以便表述。A B C D E F G H I 首先，只考虑包含E的四条直线，得到 A+E+I=“幻和”，B+E+H=“幻和”，C+E+G=“幻和”，D+E+F=“幻和”。然后，把这四个式子的左右两边分别相加，得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3E=4倍的“幻和”,而另一方面，如果我们只考虑幻方的三行，则有A+B+C=D+E+F=G+H+I=“幻和”，因此 A+B+C+D+E+F+G+H+I=3 倍的“幻和”。所以，3E=“幻和”，而“幻和”=D+E+F，于是 D+F=2
10、E。总结：同样的分析办法，还可以得到A+I=B+H=C+G=D+F=2 E(请大家自己说明)。本题回答了例1 评议中提出的两个问题，从而我们得到三阶幻方的两条重要性质。性质 1：“幻和”的3 倍等于这九个数之和；性质 2：所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于正中间的数字。例 3：上 图是一个三阶幻方，请说明A+B=2 C。解析：这是一道难题，它之所以难，就在于条件太少，只有三阶幻方的概念可以用。于是我们就想到利用性质1 和 2，看看能不能解决问题。当然，只利用题目中的A、B、C三个位置上的数字是不可能做出来的，至少还要利用一个其它位置上的数字作为过渡，比如我们可以选择左上角的数字，并用
11、x 来表示它：x B A*C 下面我们要用到比较法，其实也就是性质1。答案：现在考虑*处的数字。如果我们只看上面第一行和右边第一列，可以知道*+C=B+x，也就是*=B+x-C；而如果我们只看中间第二行和左上到右下的对角线，可以知道x+C=A+*，也就是*=x+C-A。所以 B+x-C=x+C-A，两边可以都去掉x，就得到A+B=2 C。总结：这就是幻方的性质3，也被形象的称为“T”字型性质。当然，类似本题中这样A+B=2 CD E F 第 2 题B A C 第 3 题中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献的性质还有另外3 种不同方向的表达形式，大家应该自己可以总结出
12、来。“T”字型性质是非常重要，而且神奇的性质，它神奇就神奇在三阶幻方有无穷多个，看起来好像数字怎么填都可以。但是这条性质却告诉我们在离得这么远的三个位置上的数字之间却有着这样简单的关系，三阶幻方中的数字不是随便怎么填都可以的，中间还潜藏着一些更深层次的特殊性质。这正是数学的魅力所在。例 4：那么究竟我们总结出来的3 条性质有什么用呢，请完成下面的三阶幻方：解析：本题需要综合利用上面的3 条性质以及比较法来解决，目的主要是求出“幻和”，一旦“幻和”求出来了，一切就都没问题了。但是不同人的解题顺序和利用性质的方式可能很不一样，所以下面我只是提供一种可行的解题顺序和方法，大家应该有自己的解题顺序和方
13、法。这类题是简单的。答案：（1）根据性质2，A=100 2-19=181，B=1002-95=105；“幻和”=1003=300。下面就只要根据幻方的概念填就可以了。答案如下：24 171 105 181 100 19 95 29 176（2）17 A 29 C 19 B 根据比较法，A=19+29-17=31；根据性质3，B=(17+29)2=23；根据性质2，C=(19+31)2=25，“幻和”=253=75。下面也就只要根据幻方的概念填就可以了。答案如下：27 17 31 222B A 100 19 95 100 19 95 第 4 题（1）17 29 19 第 4 题（2）中高考复习精
14、品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献9 5 1 19 33 23 总结：最后重申几点注意事项：I.这些性质只适用于三阶幻方，对于四阶和四阶以上的幻方，有些性质可能就不成立了，而有些需要修改，请同学们慎重，具体问题具体处理。II.这几条性质适合于所有的三阶幻方，并没有局限性。例 5：下图是一个三阶幻方，请说明幻和等于3 倍的 E 且 D+F=2 E。解析 有了第 1 题的基础，大家应该对本题感到不是那么陌生了，只要把第 1 题的一部分解题过程搬过来就行。这道题也是让大家看一看如何把一个特殊的解题过程变成一条普遍的规律或性质。答案 首先把题目中的空白格子标上不同的字母，以便表述。C
15、FI首先，只考虑包含E的四条直线，得到A+E+I=“幻和”，B+E+H=“幻和”，C+E+G=“幻和”，D+E+F=“幻和”。然后，把这四个式子的左右两边分别相加，得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3E=4倍的“幻和”,而另一方面，如果我们只考虑幻方的三行，则有A+B+C=D+E+F=G+H+I=“幻和”，因此 A+B+C+D+E+F+G+H+I=3 倍的“幻和”。所以，3E=“幻和”，而“幻和”=D+E+F，于是 D+F=2 E。说明完毕。总结 同样的分析办法，还可以得到A+I=B+H=C+G=D+F=2 E(请大家自己说明)。本题回答了第1 题评议中提出的两个问题，从而我们得到三
16、阶幻方的两条重要性质。性质 1：“幻和”的3 倍等于这九个数之和；性质 2：所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于正中间的数字。请大家牢记。那么，三阶幻方还有什么别的更奇妙更有趣的性质吗？例 6：下图是一个三阶幻方，请说明A+B=2C。解析这是一道难题，它之所以难，就在于条件太少，只有三阶幻方的概念可以用。D E F 第 2 题B A C 第 3 题中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献于是我们就想到利用性质1 和 2，看看能不能解决问题。当然，只利用题目中的A、B、C三个位置上的数字是不可能做出来的，至少还要利用一个其它位置上的数字作为过渡，比如我们可以选择左
17、上角的数字，并用x 来表示它：xA*C 下面我们要用到比较法，其实也就是性质1。答案现在考虑*处的数字。如果我们只看上面第一行和右边第一列，可以知道*+C=B+x，也就是*=B+x-C；而如果我们只看中间第二行和左上到右下的对角线，可以知道x+C=A+*，也就是*=x+C-A。所以 B+x-C=x+C-A，两边可以都去掉x，就得到A+B=2 C。说明完毕。总结 这就是幻方的性质3，也被形象的称为“T”字型性质。当然，类似本题中这样A+B=2 C的性质还有另外3 种不同方向的表达形式，大家应该自己可以总结出来。“T”字型性质是非常重要，而且神奇的性质，它神奇就神奇在三阶幻方有无穷多个，看起来好像
18、数字怎么填都可以。但是这条性质却告诉我们在离得这么远的三个位置上的数字之间却有着这样简单的关系，三阶幻方中的数字不是随便怎么填都可以的，中间还潜藏着一些更深层次的特殊性质。这正是数学的魅力所在。A档1、请完成下面的三阶幻方：分析本题需要综合利用上面的3 条性质以及比较法来解决，目的主要是求出“幻和”，一旦“幻和”求出来了，一切就都没问题了。但是不同人的解题顺序和利用性质的方式可能很不一样，所以下面我只是提供一种可行的解题顺序和方法，大家应该有自己的解题顺序和方法。这类题是简单的。详解（1）根据性质2，A=1002-19=181，B=1002-95=105；“幻和”=1003=300。下面就只要
19、根据幻方的概念填就可以了。答案如下：24 171 105 181 100 19 95 29 176（2）100 19 95 第 4 题（1）17 29 19 第 4 题（2）中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献17 A 29 C 19 B 根据比较法，A=19+29-17=31；根据性质3，B=(17+29)2=23；根据性质2，C=(19+31)2=25，“幻和”=253=75。下面也就只要根据幻方的概念填就可以了。答案如下：27 17 31 29 25 21 19 33 23 评议 至此，本讲对于三阶幻方的深入研究告一段落，最后重申几点注意事项：I.这些性质只适
20、用于三阶幻方，对于四阶和四阶以上的幻方，有些性质可能就不成立了，而有些需要修改，请同学们慎重，具体问题具体处理。II.这几条性质适合于所有的三阶幻方，并没有局限性。2、求任一列、任一行以及两条对角线上的三个数之和都等于267 的三阶质数幻方。详解：由例 4 知中间方格中的数为2673 89。由于在两条对角线、中间一行及中间一列这四组数中，每组的三个数中都有89，所以每组的其余两数之和必为267-89 178。两个质数之和为178 的共有六组：5+17311167291494113747+13171+107。经试验，可得右图所示的三阶质数幻方。3、将 112 填入图中的12 个区域内，使得每个圆
21、圈内的4个数字之和都相等。分析 原则上我们是可以通过分析每个数所属于的圆圈个数（“重数”）来分析每个圆圈内4 个数字之和的范围，确定其最小值和最大值，再一一筛选。具体方法大家可以参考三年级下学期的内容。但是这种方法在一些特殊的数阵图题目中显得非常不实用。当然，由于同学们做题时只需要找出一种可能的填法，所以上面说的这种方法在很多情况下也是可行的，只是繁琐些。10 2 5 4 7 8 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献详解 如右图，首先，我们把注意力放在下面的和右面的圆圈中，可以得到：A+B+2+5=B+C+7+8，则 A-C=8。因此要么 A=9，C=1或者 A=1
22、1，C=3（因为 12 和 10 已经有了）。如果 A=11，C=3，那么仿照以上的步骤，就可以知道D=E-10（为什么？大家自己思考），所以不可能。因此 A=9，C=1，那还剩下4 个数字需要填：3，6，11，12。由于 10+D+A(9)=E+4+7，于是 D+8=E。所以就有D=3而 E=11。剩下的数就很简单了。答案如下：评议 还是那句话，特殊而巧妙的方法是因题而异的，这需要经验和积累。也就是说，大家不能做完题就算了，而是需要牢牢记住这些好方法，久而久之才能融会贯通。4、将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 分别填入图中的9 个圆圈内，使图中每条直线上圆圈内所填数之和都相等，那么这个
23、相等的和为 _；（图中有 7 条直线，请填出）分析 我们仔细看看上面这张图，就会发现有些圆圈处于三条直线上，而另一些圆圈处于两条直线上，还有一个圆圈只处于一条直线上。要想利用所谓“重数”的分析方法，有很大的困难。当然也不是说这种方法就失灵了，我们综合分析一下，就不难发现某些位置上的数字应该偏大，而另一些数字显然偏小。如果去猜一猜的话，也不难填出一种来。那么我们就可以去考虑一下是否有更好或更直接的方法来做本题。我们发现有一个圆圈很特殊，从它出发，就很容易找到答案。详解 除去位置A处的数字，剩下的 8 个数字恰好组成三行，也就是说1+2+3+4+5+6+7+8+9-A=3“每条直线上圆圈内所填数之
24、和”。因此，A一定是 3 的倍数，也就是说A=3，6或 9，而相应的“每条直线上圆圈内所填数之和”就等于14，13 或 12。但是，如果A=9的话，那么右下角的圆圈内只能填1 或者 2了，此时就要求左下角的数字至少为10，显然不可能。如果 A=6，则每条直线上圆圈内所填数之和等于13，而在下图中我们知道B=C+6（比较法），因此就要 D+6+B=C+D+12=13，是不可能的。所以 A=3，而相应的“每条直线上圆圈内所填数之和”就等于 14，且有 C+D=8。（为什么？请大家自己思考）然后我们就可以找到一种填数的方法，使得每条直线上圆圈内所填数之和就等于14。答案如下图：10 2 5 4 7
25、8 A B C D E 10 2 5 4 7 8 9 1 3 11 6 12 3 2 9 5 6 1 8 4 7 6 D B C A 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献评议 大家可以去思考一下，虽然每条直线上圆圈内所填数之和只可能等于14，但是除了上面给出的填法，是否还有其它的填数方式？如果有，请找出来；如果没有，说明理由。5、如下图，将19 填入 33 的方格表中，使得每行每列以及两条对角线上的三个数字之和都相等，你一共可以得到多少种填法？分析 首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，那个所谓的“幻和”，即每行、每列、每条对角线
26、三个数的和是最重要的量。它是多少呢？哦，如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和不就是 3 倍的“幻和”吗？而另一方面，我们也知道，由于1 到 9 这九个数字都只各用了一次，所以3 倍的的“幻和”就等于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（请复习学过的等差数列知识）。于是最后，我们终于得到这个至关重要的“幻和”就是453=15。接下来第二步，我们来关心一下中间一格应该填哪个数字。同学们可能会说，中间一定填5，因为 1 到 9 的中间数字就是5，而幻方又是上下左右对称的。没错，同学们有这样的数学直观很好，但是为了确定我们的判断，还是需要严格地说明一下。ABCDEF
27、GHI看上面的表格，由于我们还没有填入任何一个数字，所以就用了九个大写字母来表示。下面就需要技巧了，我们现在只考虑包含E的四条直线：因为A+E+I=15,B+E+H=15,C+E+G=15,D+E+F=15,所以如果我们把这四个式子的左右两边分别相加，就可以得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3E=60,而A+B+C+D+E+F+G+H+I不就是所填数的总和吗？不论填法如何，这个数是不变的，它就是45，于是那么我们就得到E=5了。详解根据上面的分析，我们知道“幻和”=15，而 E=5。从而我们知道A+I=B+H=C+G=D+F=10，也意味着在所有经过中心的直线上，两端的数字奇偶性相同
28、。然后我们可以通过枚举的方法确定每个位置上数字的奇偶性：（大家自己完成）偶奇偶奇5 奇偶奇偶我们可以看到，如果 4 个角上的偶数被确定下来，那么其余4 个奇数也就被确定了，所以我们可以只考虑这4 个偶数的填法。利用一点简单的乘法原理，大家就可以知道本题共有8 种填法。具体填法如下：第 1 题中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献评议 这里要强调一点：奇偶性分析并不是解决幻方题的典型方法，只在某些特殊的题目中会被用到。在上面这个解题过程中，我们用到了一点技巧，希望同学们加以领会。本题中，我们看到所有经过中心的直线上，两端数字的平均数就等于中间这个E。那么我们来问一个深入
29、一点的问题：你认为这是在这道题中才产生的特殊性质，还是所有的三阶幻方都应该具有类似的性质？还有，就是上面我们曾经得出的那个“幻和”的3 倍就等于这九个数之和的这条性质，它能不能推广到所有的三阶幻方？6、请完成下面的三阶幻方：分析本题需要综合利用上面的3 条性质以及比较法来解决，目的主要是求出“幻和”，一旦“幻和”求出来了，一切就都没问题了。但是不同人的解题顺序和利用性质的方式可能很不一样，所以下面我只是提供一种可行的解题顺序和方法，大家应该有自己的解题顺序和方法。这类题是简单的。详解（1）根据性质2，A=1002-19=181，B=1002-95=105；“幻和”=1003=300。下面就只要
30、根据幻方的概念填就可以了。答案如下：24 171 105 181 100 19 95 29 176（2）17 A B A 100 19 95 100 19 95 第 4 题（1）17 29 19 第 4 题（2）中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献29 C 19 B 根据比较法，A=19+29-17=31；根据性质3，B=(17+29)2=23；根据性质2，C=(19+31)2=25，“幻和”=253=75。下面也就只要根据幻方的概念填就可以了。答案如下：27 17 31 29 25 21 19 33 23 B档1.将 112 填入图中的12 个区域内，使得每个圆圈
31、内的4 个数字之和都相等。分析 原则上我们是可以通过分析每个数所属于的圆圈个数（“重数”）来分析每个圆圈内4 个数字之和的范围，确定其最小值和最大值，再一一筛选。具体方法大家可以参考三年级下学期的内容。但是这种方法在一些特殊的数阵图题目中显得非常不实用。当然，由于同学们做题时只需要找出一种可能的填法，所以上面说的这种方法在很多情况下也是可行的，只是繁琐些。不过，如果我们可以找到一种好的方法快速的解决问题，何乐而不为呢？详解 如右图，首先，我们把注意力放在下面的和右面的圆圈中，可以得到：A+B+2+5=B+C+7+8，则 A-C=8。因此要么 A=9，C=1或者 A=11，C=3（因为 12 和
32、 10 已经有了）。如果 A=11，C=3，那么仿照以上的步骤，就可以知道D=E-10（为什么？大家自己思考），所以不可能。因此 A=9，C=1，那还剩下4 个数字需要填：3，6，11，12。由于 10+D+A(9)=E+4+7，于是 D+8=E。所以就有D=3而 E=11。剩下的数就很简单了。答案如下：评议还是那句话，特殊而巧妙的方法是因题而异的，这需要经验和积累。也就是说，大家不能做完题就算了，而是需要牢牢记住这些好方法，久而久之才能融会贯通。10 2 5 4 7 8 10 2 5 4 7 8 A B C D E 10 2 5 4 7 8 9 1 3 11 6 12 中高考复习精品，为中高
33、考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献2.将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 分别填入图中的9 个圆圈内，使图中每条直线上圆圈内所填数之和都相等，那么这个相等的和为_；（图中有 7 条直线，请填出）分析 我们仔细看看上面这张图，就会发现有些圆圈处于三条直线上，而另一些圆圈处于两条直线上，还有一个圆圈只处于一条直线上。要想利用所谓“重数”的分析方法，有很大的困难。当然也不是说这种方法就失灵了，我们综合分析一下，就不难发现某些位置上的数字应该偏大，而另一些数字显然偏小。如果去猜一猜的话，也不难填出一种来。那么我们就可以去考虑一下是否有更好或更直接的方法来做本题。我们发现有一个圆圈很特殊，从
34、它出发，就很容易找到答案。详解 除去位置A处的数字，剩下的8 个数字恰好组成三行，也就是说1+2+3+4+5+6+7+8+9-A=3“每条直线上圆圈内所填数之和”。因此，A一定是 3 的倍数，也就是说A=3，6 或 9，而相应的“每条直线上圆圈内所填数之和”就等于14，13 或 12。但是，如果 A=9的话，那么右下角的圆圈内只能填1 或者 2 了，此时就要求左下角的数字至少为 10，显然不可能。如果 A=6，则每条直线上圆圈内所填数之和等于13，而在下图中我们知道B=C+6（比较法），因此就要D+6+B=C+D+12=13，是不可能的。所以 A=3，而相应的“每条直线上圆圈内所填数之和”就等
35、于14，且有 C+D=8。（为什么？请大家自己思考）然后我们就可以找到一种填数的方法，使得每条直线上圆圈内所填数之和就等于14。答案如下图：评议 大家可以去思考一下，虽然每条直线上圆圈内所填数之和只可能等于14，但3 2 9 5 6 1 8 4 7 6 D B C A 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献是除了上面给出的填法，是否还有其它的填数方式？如果有，请找出来；如果没有，说明理由。3.用 19 这九个数编排一个三阶幻方。abcdefghi图 1 图 2解析：我们先用a、b、c、d、e、f、g、h、i 分别填入九个空格内以代表应填的数。看图（2）：（1）通过审题
36、，我们知道幻和是多少才好进行填数。同时可以看到图（2）中，e是一个中间数，也是关键数。因为它分别要与第二行、第二列以及两条对角线上的另外两个数进行求和运算，结果都等于幻和；其次是三阶幻方中四个角上的数：a、c、g、i它们各自都要参加一行，一列及一条对角线的求和运算。如果 e 以及四个角上的数被确定之后，其它的数字便可以根据幻和是多少填写出来了。（2）求幻和：幻和()123456789345315（3）选择突破口，显然是e，看图 2。因为：aeibehcegdef15所以：()()()()aeibehcegdef1515151560也就是：()abcdefghie360又因为：abcdefghi
37、45所以45360e36045ee5也就是说，图1 中的中心方格中应填5，请注意，这个数正好是19 这九个数中正中间的数。（4）四个角上的数，a、c、g、i 的特点。我们先从a 开始：想：a 是奇数还是偶数。如果a 为奇数，因为ai10，所以i也是奇数。因为奇奇偶。又因为adg15，所以 d 与 g 同是奇数或同是偶数。分两种情况：当 d、g 都是奇数时，因为def15，ghi15，其中e，i都是奇数，中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献所以 f、h 也只能是奇数。这样在图1 中应填的数有a、d、e、f、g、h、i 这七个奇数，而19 中九个数只有五个奇数，所以矛盾
38、，说明d、g 不可能为奇数。当 d、g 为偶数时，因为dfghi1015，cg10，因为 i 为奇数，所以 f、h、c 只能是偶数，这样就有c、d、f、g、h 五个偶数，而1 9 这九个数中只有四个偶数，矛盾。说明d、g 都是偶数也不行。所以 a 不能是奇数，那么只能是偶数，于是由ai10知 i 也是偶数。用同样的方法可以得到c、g 也只能是偶数。也就是说图1 中四个角上的数都应填偶数。（5）试验填数排出幻方。因为eacgi5，、是偶数，所以a的范围有2、4、6、8 四个数，根据幻和等于15 进行试验。当a2时，ic84，或 6，若c4，则有g6bdfh9731，若c6，则有g4bdfh791
39、3，这样可填出两个幻方。当a468、时，请同学们自己练习填写。用 19 这九个数编排的三阶幻方有八个：答案：294753618276951438492357816438951276672159834618753294834159672816357492图 3说明：在上面图形中给出的用1 9 这九个数字编排的八个三阶幻方中的任何一个，都可以对它上面的数字进行适当的对调与旋转。从而得到其它七个图形。4.请编出一个三阶幻方，使其幻和为24。中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献分析：根据题意，要使三阶幻方的幻和为24，所以中心数必为2438，那么与8在一条直线上的各个组的其
40、余两个数的和为16。因为：11516412167916，21416511163131661016，答案;761112845109 5.在下面图中的A、B、C、D处填上适当的数，使其成为一个三阶幻方。分析：从第一行和对角线可得：ADA7106716DD9这样幻和915630从第一行中可求出：A307914()从第二行中可求出：B3010155()从第三行中可求出：C3011613()6.在下面各图形的里填上适当的数，使每条线上三个数的和都等于21。中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献219 108分析：这道题只要我们求出一个顶点上的数，其它数就容易求出来了。我们先想右
41、下角的数。（1）2181321 1011，想：“13”左右两个数的填法，“11”上下两个数的填法。1312345671211109876/111234561098765/当 8 右边的数和10 下面的数出现同一个数时，就是右下角要填的数，即右下角要填6。（2）填写左下角内的数：21867()，左下角为7。（3）填写下面内的数：216105()，上面数应填5。（4）左边线上三个数相加：59721，说明符合条件。答案：219 107586C档1.用 19 这九个数补全图1 中的幻方，并求幻和。中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献526图 1答案：4389512762.用
42、 311 这九个数补全图2 中的幻方，并求幻和。答案：3.在图 3 的空格中填入不大于15 且互不相同的自然数使每一横行、竖行和对角线上的三个数之和都等于30。9答案：4、用 116这十六个数编排一个四阶幻方（四行四列）。【解析】用 1 至 16 编排一个四阶幻方，就是把116 这十六个数填入四行四列的方格内，使每行、每列、两条对角线上的四个数的和都相等。先计算这个相等的和是多少？也就是前面学过的幻和：（123 1516）434。再想办法将这十六个数排列成幻和是34 的四阶幻方。先把 116 按顺序填入 44 的方格中（如下图A）；我们把图 A称为四485图 2 498117365107121
43、1141069813中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献阶自然方阵。这时可以发现，两条对角线上的四个数的和都恰好是34，其它每行、每列上四个数的和都不是34，因此，这两条对角线上的八个数都不动，作为四阶幻方两条对角线上的数。观察自然方阵（图A）中的第一列和第四列。第一列上四个数的和是1591328，比 34 少 6；第四列上四个数的和是 48121640，比 34 多 6。为了使第一列和第四列上四个数的和分别是34，只要把这两列中对角线以外的相应的数（即5 和 8，9 与 12）相互交换就可以了（图 B）。同样地，为使第二、三列上的四个数的和也是34，只要把这两列中
44、对角线以外的相应的数（即2 与 3，14 与 15）相互交换就可以了（图C）。再观察上图 C的第一、第四行。第一行上四个数的和是132410，比 34 少 24；第四行上四个数的和是 1315141658，比 34 多 24。为了使第一行和第四行上四个数的和分别是 34，只要把这两行中对角线以外的相应的数（即2 和 14，3 与 15）相互交换就可以了。同样地，为使第二、三行上的四个数的和也是34，只要把这两行中对角线以外的相应的数（即 8 与 12，5 与 9）相互交换就可以了。交换后的结果见图D，这就是一个四阶幻方。这样编排太复杂了！能不能由四阶自然方阵直接得到四阶幻方？对比图 A 与图
45、D可以发现：只要把图A 中的 2 与 15，3 与 14，5 与 12，8与 9 互相交换，就可以直接得到图D（见下图）。答案：那么，2 与 15，3 与 14，5 与 12，8 与 9 是什么关系呢？不难看出，它们的位置是“对称”的。例如2 在从上往下、从左往右数的第一行第二列，而15 在从下往上、从右往左数的第一行第二列。又如，9 在从上往下、从左往右数的第三行第一列，而8 在从下往上、从右往左数的第三行第一列。我们把这样的两个数叫“中心对称数”，也就是说只要把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换就可以直接得到四阶幻方，把这种编排双偶数阶幻方的办法叫“中心对称交换法”。由例 1 可以
46、看到，用“中心对称交换法”编排四阶幻方的主要步骤归纳如下：把 116 按顺序排成四阶自然方阵；中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献 四阶自然方阵中对角线上的八个数不动，作为四阶幻方两条对角线上的数；把四阶自然方阵中对角线以外的数作中心对称交换。运用“中心对称交换法”不仅可以编排四阶幻方，而且可以编排任意的双偶数阶幻方。5、用 1 64 这六十四个数编排一个八阶幻方（八行八列）。【分析与解答】编排步骤如下:把 1 至 64 按顺序填入88 的方格子中,排成八阶自然方阵；（见左下图）把八阶自然方阵分成四个四阶自然方阵（左下图粗线条），每个四阶自然方阵分别画出对角线（图中
47、有颜色的数字）；每个四阶自然方阵中对角线的数字都不动，把对角线以外的数字在八阶自然方阵中进行中心对称交换。这样就得到一个八阶幻方（见右下图）。答案1、下图是一个三阶幻方，请说明幻和等于3 倍的 E 且 D+F=2 E。分析首先，我们思考要填出一个三阶幻方，什么量的求出是最重要的？立刻我们就知道，是“幻和”，即每行、每列、每条对角线三个数的和是最重要的量。它是多少呢？如果我们按照行（按照列也一样）把幻方中的九个数加起来，那么它们的总和就是3 倍的“幻和”。详解 首先把题目中的空白格子标上不同的字母，以便表述。A B C D E F G H I 首先，只考虑包含E的四条直线，得到A+E+I=“幻和
48、”，B+E+H=“幻和”，C+E+G=“幻和”，中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献D+E+F=“幻和”。然后，把这四个式子的左右两边分别相加，得到（A+B+C+D+E+F+G+H+I）+3E=4 倍的“幻和”,而另一方面，如果我们只考虑幻方的三行，则有A+B+C=D+E+F=G+H+I=“幻和”，因此A+B+C+D+E+F+G+H+I=3 倍的“幻和”。所以，3E=“幻和”，而“幻和”=D+E+F，于是 D+F=2 E。2、请完成下面的三阶幻方：分析 本题需要综合利用上面的性质以及比较法来解决，目的主要是求出“幻和”，一旦“幻和”求出来了，一切就都没问题了。详解（
49、1）根据性质，A=100 2-19=181，B=100 2-95=105；“幻和”=1003=300。下面就只要根据幻方的概念填就可以了。答案如下：24 171 105 181 100 19 95 29 176 3、从 1 至 13 这十三个数中挑出十二个数，填到图 3 的小方格中，使每一横行四个数之和相等，使每一竖列三个数之和又相等。分析 据题意，所选的十二个数之和必须既能被 3 整除，又能被 4 整除，（三行四列）。所以，能被12 整除。十三个数之和为91，91 除以 12，商 7 余 7，因此，应去掉7。每列为（917）4=21 而 1 至 13 中，除 7 之外，共有六个奇数，它们的分
50、布如图4 所示。三个奇数和为21 的有两种：21=19+11=35+13。经检验，三个奇数为3、5、13 的不合要求，故不难得出答案，如图5 所示。4、把 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等。答案：幻和的 3 倍正好等于这九个数的和，所以幻和为（1 2345 6789）345 315 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献九个数在这八条线上反复出现构成幻和时，每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出现在中行、中列、和两条对角线这四条线上），四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次。