《小四数学第2讲：图形计数(教师版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小四数学第2讲：图形计数(教师版).pdf（24页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献第二讲图形计数几何图形计数问题往往没有显而易见的顺序，而且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要一些智慧了实际上，图形计数问题，通常采用一种简单原始的计数方法一枚举法 具体而言，它是指把所要计数的对象一一列举出来，以保证枚举时无一重复、无一遗漏，然后计算其总和正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯一：简单图形计数的方法。二：复杂图形计数的方法和找规律的方法。例（1）数出右图中总共有多少个角中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献分析：在AOB 内有三条角分线 OC
2、1、OC2、OC3，AOB 被这三条角分线分成4 个基本角，那么 AOB 内总共有多少个角呢？首先有这4 个基本角，其次是包含有 2 个基本角组成的角有3 个（即 AOC2、C1OC3、C2OB），然后是包含有 3 个基本角组成的角有2 个（即 AOC3、C1OB），最后是包含有 4个基本角组成的角有1 个（即 AOB），所以 AOB内总共有角：432110（个）解：432110（个）答：图中总共有10 个角。例（2）数一数共有多少条线段？共有多少个三角形？分析：要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2 个分点，各分成3 条基本线段，再看BC、MN、GH这 3 条线段上各
3、有3 个分点，各分成4 条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）5+（4+3+2+1）3=30+30=60（条）.要数有多少个三角形，先看在AGH 中，在 GH上有 3 个分点，分成基本小三角形有 4 个.所以在 AGH中共有三角形4+3+2+1=10（个）.在 AMN 与 ABC中，三角形有同样的个数，所以在ABC中三角形个数总共：（4+3+2+1）3=103=30（个）解：在 ABC中共有线段是：（3+2+1）5+（4+3+2+1）3=30+30=60（条）在 ABC中共有三角形是：（4+3+2+1）3=103=30（个）答：在 ABC中共有线段60 条，共有三角形30 个。例（3
4、）数一数图中长方形的个数中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献分析：AB边上分成的线段有：5+4+3+2+1=15.BC边上分成的线段有：3+2+1=6.解：共有长方形：（5+4+3+2+1）（3+2+1）=15 6=90（个）答：共有长方形90 个。例（4）数一数图中有多少个正方形（其中每个小方格都是边长为1 个长度单位的正方形）.分析：为叙述方便，我们规定最小正方形的边长为1 个长度单位，又称为基本线段，图中共有五类正方形.以一条基本线段为边的正方形个数共有：6 5=30（个）.以二条基本线段为边的正方形个数共有：5 4=20（个）.中高考复习精品，为中高考保驾护
5、航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献以三条基本线段为边的正方形个数共有：4 3=12（个）.以四条基本线段为边的正方形个数共有：3 2=6（个）.以五条基本线段为边的正方形个数共有：2 1=2（个）.解：正方形总数为：6 5+54+43+32+21=30+20+12+6+2=70（个）例（5）数一数图中三角形的个数分析：这样的图形只能分类数，可以采用类似数正方形的方法，从边长为一条基本线段的最小三角形开始.以一条基本线段为边的三角形：尖朝上的三角形共有四层，它们的总数为：W 上=1+2+3+4=10（个）.中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献尖朝下的三角形共有三层，它
6、们的总数为：W 下=1+2+3=6（个）.以两条基本线段为边的三角形：尖朝上的三角形共有三层，它们的总数为：W 上=1+2+3=6（个）.尖朝下的三角形只有一个，记为W 下=1（个）.以三条基本线段为边的三角形：尖朝上的三角形共有二层，它们的总数为：W 上=1+2=3（个）.尖朝下的三角形零个，记为W 下=0（个）.以四条基本线段为边的三角形，只有一个，记为：W 上=1（个）.解：所以三角形的总数是10+6+6+1+3+1=27（个）.答：三角形的总数是个。例（6）数一数图中一共有多少个三角形？中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝
7、您金榜提名！爱心 责任 奉献分析：分析这是个对称图形，我们可按如下三步顺序来数：第一步：大矩形ABCD 可分为四个相同的小矩形：AEOH、EBFO、OFCG、HOGD，每个小矩形内所包含的三角形个数是相同的.第二步：每两个小矩形组合成的图形共有四个，如：ABFH、EBCG、HFCD、AEGD，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.第三步：每三个小矩形占据的部分图形共有四个：如ABD、ADC、ABC、DBC，每一个这样的图形中所包含的三角形个数是相同的.最后把每一步中每个图形所包含三角形个数求出相加再乘以4 就是整个图形中所包含的三角形的个数.解：.在小矩形AEOH 中：由一个三角形构成
8、的有8 个.由两个三角形构成的三角形有5 个.由三个或三个以上三角形构成的三角形有5个.这样在一个小矩形内有17 个三角形.在由两个小矩形组合成的图形中，如矩形AEGD，共有 5 个三角形.由三个小矩形占据的部分图形中，如ABC，共有 2 个三角形.所以整个图形共有三角形个数是：中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献（8+5+5+5+2）=254=100（个）答：图中一共有100 个三角形。A 一、填空题:1.右图一共有()个长方形?答案：一共有 321 个.解:上横大长方形内有长方形:(8+7+6+5+4+3+2+1)(1+2)=108(个);下横大长方形内有长方形
9、:(762)(322)=63(个);竖大长方形内有长方形:(542)(762)=210(个);中间重复的长方形共有:(542)(322)2=60(个).图中共有长方形:108+63+210-60=321(个).2.右图一共有()个长方形?答案：一共有 64 个.3.右图一共有()个长方形？答案：一共有 107 个.解:(1+2+3+4)(1+2+3)=60(个);(1+2+3)(1+2+3)=36(个);1+2=3(个);(1+2)4+2=14(个);图中共有长方形:60+36-3+14=107(个).中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献(7)4.右图一共有()个正
10、方形？答案：一共有 18 个.解:分 三 类 计 算,边 长 是1 的 正 方 形 有2+4=13(个),边长为 2 的正方形有 4(个),边长为 3 的正方形有 1 个.因此,图中共有正方形 13+4+1=18(个).5.右图一共有()个长方形？答案：一共有 79 个.解:在大长方形中共有长方形:(3+2+1)(3+2+1)=36(个).在小长方形中共有长方形:(3+2+1)(3+2+1)=36(个).在两个长方形中增加的长方形有:8(个).在大长方形和小长方形中重复计算了的长方形个数为1 个.所以,这个图中长方形的个数为:36+36+8-1=79(个).6.右图一共有()个平行四边形?答案
11、：右图一共有(150)个平行四边形.(542)(652)=150(个).点金术:与算平行四边形的方法一样.7.右图一共有()个梯形？答案：一共有(90)个.(652)(432)=90(个).(6)中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献8.右图一共有()个正方形？答案：一共有(55)个.解:分类进行统计,得边长为 1 的正方形有 55=25(个);边长为 2 的正方形有 44=16(个);边长为 3 的正方形有 33=9(个);边长为 4 的正方形有 22=4(个);边长为 5 的正方形有 11=1(个).图中共有正方形:25+16+9+4+1=55(个).9.右图一共
12、有()个正方形?答案：一共有 60 个.解:分类进行统计,得边长为 1 的正方形有 47=28(个);边长为 2 的正方形有 36=18(个);边长为 3 的正方形有 25=10(个);边长为 4 的正方形有 14=4(个).图中共有正方形:47+36+2 5+14=60(个).10.右图一共有()个正方形?答案：右图一共有(110)个正方形.解:图中 ABCD是一个 410 方格,其中正方形的个数是:410+39+2 8+17=90(个);图中 CEPN是一个 46 方格,其中正方形的个数是:46+35+2 4+13=50(个);在上面的两项统计中,CDMN 内的正方形被重复计算了一次,应该
13、扣除.因 CDMN 是 4 4 方格,其中正方形的个数是:44+3 3+22+11=30(个).所以,图中正方形的个数是:90+50-30=110(个).中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献二、解答题:11.下图共有几个正方形?答案：一共有 95 个.解:中间部分的正方形有:52+42+32+22+12=55(个);上、下部分的正方形有:(4+2+1)2=14(个);左、右部分的正方形有:(9+2+2)2=26(个).共有正方形:55+14+26=95(个).12.下图共有几个正方形?答案：共有 46 个.解:正摆着的正方形有:43+32+2 1=20(个);斜摆着
14、的正方形有:a.最小的正方形有 17 个;b.由 4 个小正方形组成的正方形有8 个,c.由 9 个小正方形组成的正方形有1 个.图中共有正方形:20+17+8+1=46(个).13.在一个图案中有 100 个矩形、100 个菱形和 40 个正方形,这个图案中至少有多少个平行四边形?答案：至少有 160 个.解:因为矩形、菱形、正方形都是平行四边形,且正方形既是矩形也是菱形,所以,至少有平行四边形:100+100-40=160(个).中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献14.三个同样的正方形框架,摆放在适当的位置,最多可以数出多少个正方形来?答案：最多有 7 个.解
15、:最多有 7 个正方形.摆法如右图.B 一、填空题 1.下图中长方形（包括正方形）总个数是_.答案：90 利用例 1 和例 4 公式可直接计算:(5+4+3+2+1)(3+2+1)=156=90(个)注 注意,由长方形、正方形的意义可知，正方形一定是长方形，但反之不然.故求长方形个数时,不必把正方形分开考虑.2.下图中有正方形 _个,三角形 _个,平行四边形 _个,梯形_个.答案：3 个正方形;18 个三角形;6 个平行四边形;8个梯形.3.下图中共出现了 _个长方形.中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献答案：18 根据这个图形的特点,我们先数出下图(1)中长方形的
16、个数为(2+1)(2+1)=9 个；然后在图(1)的内部添上一个长方形得到图(2).这时新产生的长方形有(2+1)(2+1)=9 个.至此已将图(1)还原为题图,同时题图中的长方形已全部数完.因此,原图中共有长方形.(2+1)(2+1)+(2+1)(2+1)=18(个).(1)(2)4.先把正方形平均分成8 个三角形.再数一数,它一共有 _个大小不同的三角形.答案：16 具体分法如下图所示.基中小三角形有 8 个,由两个小三角形组成的三角形有 4 个,由四个小三角形组成的三角形有4 个,所以共有三角形 8+4+4=16(个).5.图形中有 _个三角形.答案：72 把图中最小三角形作为基数,然后
17、按含有几个基数的三角形分类进行解答.含一个基数的三角形,共有 16 个；含两个基数的三角形，共有24 个；含四个基数的三角形，共有20 个；含八个基数的三角形，共有8 个；含十六个基数的三角形，共有 4 个.因此,整个图形中共有中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献16+24+20+8+4=72(个)三角形.6 如下图,一个三角形分成 36 个小三角形.把每个小三角形涂上红色或蓝色,两个有公共边的小三角形要涂上不同的颜色,已知涂成红色的三角形比涂成蓝色的三角形多,那么多_个.答案：6 图中的三角形可分成两种,一种是尖头向上的,一种是尖头向下的.从图上可以看出,每种三角
18、形必须涂成同一颜色.为了使涂红色的三角形比涂蓝色的三角形多,尖头向上的三角形要涂红色.每一横排,尖头向上的三角形要比尖头向下的三角形多一个,共有 6 排,因此,涂红色的比涂蓝色的三角形多6 个.7.把一条长 15cm 的线段截为三段，使每条线段的长度是整数，用这三条线段可以组成多少个不同的三角形？（当且仅当两三角形的三条边可以对应相等时，我们称这两个三角形是相同的.）答案：最大边为 7 时,另两边之和为 8,可构成 4 个(1+7,2+6,3+5,4+4)不同的三角形；最大边为6 时，另两边之和为9，可构成 2 个（3+6，4+5）不同的三角形;最大边为 5时,可构成 1 个(5+5)不同的三
19、角形.所以一共可组成 7个不同的三角形.C 1.右图是由小立方体码放起来的,其中有一些小方体看不见.图中共有_个小立方体.中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献答案：38 将原立体图形从左至右分类计算,共有 16+9+5+7+1=38个.2.下图中共有 _个正方形.答案：105 单独的一个 44的方格中有 12+22+32+42=30个正方形,两个 44的方格如原图重叠后,重叠部分有 5个正方形.所以原图中一共有 304-53=105个正方形.3.有九张同样大小的圆形纸片,其中标有数码“1”的有 1 张；标有数码“2”的有 2 张；标有数码“3”的有 3 张，标有数码
20、“4”的也有 3 张。把这九张圆形纸片如下图所示放置在一起，但标有相同数码的纸片不许靠在一起，问：如果 M 位上放置标有数码“3”的纸片，一共有 _种不同的放置方法.答案：6 根据标有相同数码的纸片不许靠在一起的条件，当 M 位置上放标有数码“3”的纸片时，其余两个标有数码“3”的纸片，只能放置在下面左右两边两个圆圈内.如下图所示.这样圆圈绕 M 圆紧接着 M 的六个圈旋转一周,回到初始状态,可知共有六种不同的放置方法.4.如下图,在 22方格中,画一条直线最多可穿过3个方格,在 33方格中,M 4 1 M 2 4 4 2 3 3 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉
21、献画一条直线最多可穿过5 个方格.那么 1010 方格中,画一条直线最多可穿过_个方格.答案：19 如果直线与大正方形的两横边都有交点,则与所有的横边产生11 个交点,与竖边至多 9 个交点,共 20 个交点.如果直线与大正方形的一横边和一竖边有交点,则与横边至多产生10 个交点,与竖边至多产生 10 个交点,共 20 个交点.20个交点,将直线分成 21 部分,其中在大正方形有内有19 部分,故至多穿过19 个方格.注 穿过一个方格,在直线上截出一条线段,线段由直线上的交点决定,关键是求交点个数.对小学生来说,通常总是从简单情况入手,即由 11 方格,2 2 方格,3 3 方格等的情况,归纳
22、出一般的规律,从而得出1010 方格的结果.请同学们用归纳法试一试!5.有一批长度分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10和 11 厘米的细木条,它们的数量都足够多,从中适当选取 3 根木条作为三条边.可围成一个三角形,如果规定底边是 11 厘米长,你能围成多少个不同的三角形?答案：由三角形的一边为 11 厘米,及其他边长必为 1,2,.，11 厘米，根据三角形两边之和大于第三边的性质，可知两边之和应介于12 厘米和 22 厘米之间（包含 12 厘米和 22 厘米）.这样,共可围成 36 个不同的三角形.12:(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7),(6,6)；1
23、3:(2,11),(3,10),(4,9),(5,8),(6,7)；14:(3,11),(4,10),(5,9),(6,8),(7,7)；15:(4,11),(5,10),(6,9),(7,8)；16:(5,11),(6,10),(7,9),(8,8)；17:(6,11),(7,10),(8,9)；18:(7,11),(8,10),(9,9)；19:(8,11),(9,10)；20:(9,11),(10,10)；21:(10,11)；22:(11,11)所以，一共可以围成36 个不同的三角形.中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献6.下图中的正方形被分成9 个相同的小
24、正方形,它们一共有 16 个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3 个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?答案：为方便起见,不妨设原正方形的边长为3,则小正方形的边长是1,阴影三角形的面积是2123=3.所求的三角形可分两种情形:(1)三角形的一边长为2,这边上的高是 3.这时,长为 2 的边只能在原正方形的边上,这样的三角形有 244=32(个)；(2)三角形的一边长为 3,这边上的高是 2.这时长为 3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线.其中与(1)重复的三角形不再算入,这样的三角形有 82=16(个).因此,所求的三角形共 3
25、2+16=48(个)(包括图中开始给的三角形.)7.有同样大小的立方体27 个,把它们竖 3 个,横 3个,高 3个,紧密地没有缝隙地搭成一个大的立方体(见图).如果用 1 根很直的细铁丝扎进这个大立方体的话,最多可以穿透几个小立方体?答案：最多可以穿透 7 个小立方体.1：数一数右图中总共有多少个角？中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献答案:总共有角：10+9+8+4+3+2+1=55（个）2：共有多少个三角形？答案:183：数一数图中长方形的个数答案:90 4：下图共有几个正方形?答案:10 5：数一数图中三角形的个数CDABa中高考复习精品，为中高考保驾护航！
26、祝您金榜提名！爱心 责任 奉献答案：24 6：数一数图中一共有多答案：35 个一、填空题（每小题 5 分）1、.下列图形各有几条线段()条()条()条答案：a有 10 条,b 有 15 条,c有 21条.2、一条直线上共有50 个点,可以数出()条线段.答案：50 492=1225(条).3、数一数下图共有()条线段.中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献 ()条.()条.答案：36;27.4、下图中各有（）个三角形.答案：33;5、数一数下图有（）个长方形.答案：5、30 个.图中 AB 边上共有线段 4+3+2+1=10条.BC 边上共有线段:2+1=3(条),把
27、 AB 上的每一条线段作为长,BC 边上每一条线段作为宽,每一个长配一个宽,就组成一个长方形,所以图中共有长方形为:(4+3+2+1)(2+1)=103=30(个).6、右图一共有()个长方形?答案：一共有 64 个.7、右图一共有()个正方形？BACD中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献答案：一共有 18 个.解:分三类计算,边长是 1的正方形有 2+4=13(个),边长为 2 的正方形有4(个),边长为 3 的正方形有 1 个.因此,图中共有正方形 13+4+1=18(个).8、下图共有()个平行四边形.答案：315个3151521)256()267(个)9、一
28、共有()个梯形.答案：45 个最好的办法是先数出长方形和梯形的总数,再减去长方形的个数.长方形和梯形的总数为:(1+2+3+4+5+6)(1+2)=63(个)长方形的个数为:(1+2+3)(1+2)=18(个)梯形的总数为:63-18=45(个)10、下图共有()个三角形.答案：126 个.尖朝上的三角形有五种:(1)W上=8+7+6+5+4=30(2)W上=7+6+5+4=22(3)W上=6+5+4=15(4)W上=5+4=9(5)W上=4 中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献尖朝上的三角形共有:30+22+15+9+4=80(个).尖朝下的三角形有四种:(1)W
29、下=3+4+5+6+7=25(2)W下=2+3+4+5=14(3)W下=1+2+3=6(4)W下=1 尖朝下的三角形共有25+14+6+1=46(个)80+46=126个.二、简答题(每小题 10 分)1、右图的图形中一共有多少个三角形?答案：解：单个三角形有6 个.两个图形组成的有4 个.三个图形组成的有1 个.四个图形组成的有2 个.八个图形组成的有1 个.答：一共有:6+4+1+2+1=14 个.2、下图共有几个正方形?答案：解：一共有正方形52+42+32+22+12 =25+16+9+4+1=55(个).答：一共有正方形55 个。中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心
30、责任 奉献3、下图共有多少个长方形?答案：解：在大长方形中共有长方形:(4+3+2+1)(3+2+1)=60(个);在小长方形中共有长方形:(4+3+2+1)(3+2+1)=60(个);在与中重复的长方形有:1+2=3(个);两个长方形共同组成的长方形有:(1+2)(2+2)+1(2+2)=16(个).图中共有长方形:60+60-3+16=133(个).答：共有长方形有133 个。4、下图中一共有多少个三角形?答案：解：基本的三角形有:49=36(个).由两个基本的三角形组成的三角形有:49=36(个).由四个基本的三角形组成的三角形:432=24(个).由九个基本的三角形组成的三角形:42=8(个).由八个基本的三角形组成的三角形:44=16(个).由十八个基本的三角形组成的三角形:4(个).中高考复习精品，为中高考保驾护航！祝您金榜提名！爱心 责任 奉献答：共有三角形:36+36+24+8+16+4=124(个).5、下图共有几个三角形?.答案：解：一个三角形构成的有12 个.两个三角形构成的有12 个.三个三角形构成的有6 个.四个三角形构成的有6 个.六个三角形构成的有1 个.答：一共有:12+12+6+6+1=37(个)