2023年教师资格证数学学科知识与教学能力高中数学.docx

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1、第一章 课程知识1. 高中数学课程的地位和作用： 高中数学课程是义务教育后普通高级中学的一门重要课程，它包含了数学中最基本的内容，是培养公民素质的基础课程。 高中数学对于结识数学与自然界、数学与人类社会的关系，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。 高中数学课程有助于学生结识数学的应用价值，增强应用意识。 高中数学是学习高中物理、化学等其他课程的基础。2. 高中数学课程的基本理念： 高中数学课程的定位：面向全体学生；不是培养数学专门人才的基础课。 高中数学增长了选择性（整个高中课程的基本理念）：为学生发展、培养自己的爱好、专长提供空间。 让学生成

2、为学习的主人：提倡自主学习、合作学习；帮助学生养成良好的学习习惯。 提高学生数学应用意识：是数学科学发展的规定；是培养创新能力的需要；是培养学习爱好的需要；是培养自信心的需要；数学应用的广泛性需要学生具有应用意识。 强调培养学生的创新意识：强调发现和提出问题；强调归纳、演绎并重；强调数学探究、数学建模。 重视“双基”的发展（数学基础知识和基本能力）：理解基本的数学概念和结论的本质；强调概念、结论产生的背景；强调体会其中所蕴含的数学思想方法。 强调数学的文化价值：数学是人类文化的重要组成部分；新课标强调了数学文化的重要作用。 全面地结识评价：学习结果和学习过程；学习的水平和情感态度的变化；终结性

3、评价和过程性评价。3. 高中数学课程的目的： 总目的：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。 三维目的：知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观 把“过程与方法”作为课程目的是本次课程改革最大的变化之一。 五大基本能力：计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力、抽象概括能力、数据解决能力4. 高中数学课程的内容结构： 必修课程（每模块2学分，36学时）：数学1（集合、函数）、数学2（几何）、数学3（算法、记录和概率）、数学4（三角函数、向量）、数学5（解三角形、数列、不等式） 选修课程（每模块2学分，36学时；每专题1学分，1

4、8学时）： 选修系列1（文科系列，2模块）：1-1（“或且非”、圆锥曲线、导数）、1-2（记录、推理与证明、复数、框图） 选修系列2（理科系列，3模块）：2-1（“或且非”、圆锥曲线、向量与立体几何）、2-2（导数、推理与证明、复数）、2-3（技术原理、记录案例、概率） 选修系列3（6个专题） 选修系列4（10个专题）5. 高中数学课程的主线：函数主线、运算主线、几何主线、算法主线、记录概率主线、应用主线。6. 教学建议： 以学生发展为本，指导学生合理选择课程、制定学习计划 帮助学生打好基础，发展能力： 强调对基本概念和基本思想的理解和掌握 重视基本技能的训练 与时俱进地审阅基础知识与基本能力

5、 注重联系，提高对数学整体的认知 注重数学知识与实际的联系，发展学生的应用意识和能力 关注数学的文化价值，促进学生科学观的形成 改善教与学的方式，使学生积极地学习 恰当运用现代信息技术，提高教学质量7. 评价建议： 重视对学生数学学习过程的评价 对的评价学生的数学基础知识和基本能力 重视对学生能力的评价（问题意识、独立思考、交流与合作、自评与互评） 实行促进学生发展的多元化评价（尊重被评价对象） 根据学生的不同选择进行评价第二章 教学知识8. 教学原则抽象与具体相结合、严谨性与量力性相结合原则（“循序渐进”）、理论与实际相结合原则（“学以致用”）、巩固与发展相结合原则（“温故而知新”）9. 教

6、学过程备课（备教材、备学生、备教法）、课堂教学（组织教学、复习提问、讲授新课、巩固新课、布置作业）、课外工作（作业批改、课外辅导、数学补课活动）、成绩的考核与评价（口头考察、书面考察）、教学评价（导向作用、鉴定作用、诊断作用、信息反馈与决策调控作用）10. 教学方法 讲授法：科学性、系统性（循序渐进）、启发性、量力性（因材施教）、艺术性（教学语言） 讨论法：体现“学生是学习的主体”的特点。 自学辅导法：卢仲衡专家提出，规定学生肯自学、能自学、会自学、爱自学 发现法：又称问题教学法（布鲁纳），环节是创设问题情境；寻找问题答案，探讨问题解法；完善问题解答，总结思绪方法；知识综合，充实改善学生的知识

7、结构。11. 概念教学 概念的内涵与外延：当概念的内涵扩大时，则概念的外延就缩小；当概念的内涵缩小时，则概念的外延就扩大。内涵和外延之间的这种关系，称为反变关系。 概念间的逻辑关系：相容关系（同一关系如“等边三角形”和“正三角形”、交叉关系如“等腰三角形”和“直角三角形”、包含关系如“菱形”和“四边形”）、不相容关系（对立关系如“正数”和“负数”、矛盾关系如“负数”和“非负数”） 概念下定义的常见方式：属加种差定义法（被定义的概念=最邻近的属概念+种差，如“有一个角是直角的平行四边形是矩形”）、解释外延定义法（不易揭示其内涵，如“有理数和无理数统称实数”）、描述性定义法（用简明清楚的语言描述，

8、如“fx=x”） 数学概念获得的重要方式：概念形成（由学生发现）、概念同化（教师直接展示定义）12. 命题教学：整体性策略（旨在加强命题知识的横、纵向联系）、准备性策略（教学实行之 前）、问题性策略（激发学生的积极性）、情境化教学、过程性策略（暴露命题产生于证明的“所以然”过程）、产生式策略（变式练习）13. 推理教学 推理的结构：任何推理都是由前提和结论两部分组成的 推理的形式：演绎推理（由一般到特殊；前提真，结论真；三段论：大前提、小前提，得推理）、归纳推理（由特殊到一般）、类比推理（由特殊到特殊）14. 问题解决教学 数学问题的设计原则：可行性原则、渐进性原则、应用性原则 纯粹数学问题解

9、决：波利亚如何解题表（分析题意；拟定计划；执行计划；验算所得到的解） 非常规问题解决：建模分析（分析问题背景，寻找数学联系；建立数学模型；求解数学模型；检查；交流和评价；推广）15. 学习方式：自主学习、探究学习、合作学习第三章 教学技能16. 教学设计 课堂教学设计就是在课堂教学工作进行之前，以现代教育理论为基础，应用系统科学方法分析研究课堂教学的问题，拟定解决问题的方法和环节，并对课堂教学活动进行系统安排的过程。 教学设计与教案的关系： 内容不同：教学设计的基本组成既涉及教学过程，也涉及指导思想与理论依据、教学背景分析、对学生需要的分析、学习内容分析、教学方法与策略的选定、教学资源的设计与

10、使用以及学习效果评价等。侧重运用现代教学理论进行分析，不仅说明教什么、如何教，并且说明为什么这样教；教案的基本组成是教学过程，侧重教什么、如何教。 核心目的不同：教学设计不仅重视教师的教，更重视学生的学，以及如何使学生学得更好。达成更好的教学效果是教学设计的核心目的；教案的核心目的就是教师如何讲好教学内容。 范围不同：从研究范围上讲，教案只是教学设计的一个重要内容。 数学课堂教学设计的意义： 使课堂教学更规范、操作性更强 使课堂教学更科学 使课堂教学过程更优化 数学课堂教学设计的基本规定： 充足体现数学课程标准的基本理念，努力体现以学生发展为本 适应学生的学习心理和年龄特性 重视课程资源的开发

11、和运用 注重预设与生成的辩证统一 辩证结识和解决教学中的多种关系 整体把握教学活动的结构 数学教学设计的准备： 认真学习新课标，了解当前我国数学课程的目的规定 全面关注学生需求 认真研读数学教材和参考书，领悟编写意图 广泛涉猎数学教育的其他优秀资源，吸取别人精华，丰富自己的教学设计 制定学期教学计划、单元教学计划 教材分析 分析和解决教材是教学设计的基本环节和核心任务 整体系统的观念用教材 理解教材的编排意图 突出教材的重点和难点 学情分析 分析学生原有的认知基础 分析学生的个体差异 了解学生的生理、心理 了解学生对本学科学习方法的掌握情况 分析学习知识时也许要碰到的困难 制定合理教学目的的规

12、定 反映学科特点，体现内容本质 要有计划性，可评价性 格式要规范，用词要考究 要全面，不能“重知轻思”、“重知轻情”等 注意教学目的的层次性（记忆、理解、探究） 要实在具体，不浮华 教学反思 教学反思的内容：对教学设计、教学过程、教学效果、个人经验的反思 教学反思的环节：截取课堂教学片段及其相关的教学设计；提炼反思的问题；个人撰写反思材料；集体讨论；个人再反思，并撰写反思论文 教学设计的撰写： 教学目的：知识与技能（了解、掌握、应用）；过程与方法（提高能力）；情感态度与价值观（体验规律、培养看问题的方法） 学情分析 教材分析：本节课的作用和地位；本节课的重要内容；重难点分析 教学理念 教学策略

13、 教学环境 教学过程 教学反思17. 教学实行 课堂导入：直接导入法、复习导入法、事例导入法（情境导入法）、趣味导入法、悬念导入法 课堂提问的原则：目的性原则、启发性原则、适度性原则、爱好性原则、循序渐进性原则、全面性原则、充足思考性原则、及时评价性原则 课堂提问的类型：复习回忆提问、理解提问、应用提问、归纳提问、比较提问、分析综合提问、评价提问 学生活动： 学生活动体现了学生在学习中的主体地位 作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分 学生活动的目的是促进学生的理解 从总体上说，学生活动必须是思维活动 课堂结束技能的实行方法：练习法、比较法与归纳法、提问法和答疑法、呈上法和启下法、

14、发散法和拓展法 结束技能实行时应注意的问题：自然贴切，水到渠成；语言精练，紧扣中心；内外沟通，立疑开拓18. 教学评价 数学教育评价的要素：教学目的、教学内容、教学方法、教学心理环境、教师行为、学生行为、教学效果 数学教育评价的功能：管理功能、导向功能、调控功能、激发功能、诊断功能第四章 常用数学公式一、 函数、导数1. 函数的单调性 设x1、x2a,b且x1x2。那么fx1-fx20fx在a,b上是减函数。 设函数y=fx在某个区间内可导，若fx0，则在该区间内fx为增函数；若fx0，则在该区间内fx为减函数2. 函数的奇偶性（该函数的定义域关于原点对称）对于定义域内任意的x，都有f-x=f

15、x，则fx是偶函数；对于定义域内任意的x，都有f-x=-fx，则fx是奇函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y轴对称。3. 函数在点x0处的导数的几何意义函数y=fx在点x0处的导数fx0是曲线y=fx在Px0,fx0处的切线的斜率，相应的切线方程是y-fx0=fx0x-x0。4. 几种常见函数的导数C=0（C为常数）；ax=axlna；xn=nxn-1（nQ）；ex=ex；sinx=cosx；cosx=-sinx；arc sinx=-arc cosx=11-x2；arc tanx=-arc cotx=11+x2；lnx=1x；logax=1xlna； 5. 导数的运算法则uv=

16、uv；uv=uv+uv；u=fx，v=gu，v=guu6. 幂函数fx=x（R，1）=pq001性质p为奇数，q为奇数奇函数p为奇数，q为偶数p为偶数，q为奇数偶函数第一象限图像减函数增函数增函数过定点1,17. 求函数y=fx的极值的方法:解方程fx=0。当fx0=0时： 假如在x0附近的左侧fx00，右侧fx00，则fx0是极大值； 假如在x0附近的左侧fx00，则fx0是极小值；8. 凹凸函数：设fx在开区间I上存在二阶导数： 若对任意xI，有f“x0，则fx在I上为下凸函数； 若对任意xI，有f“x0）的周期T=2；函数y=Atan+，xk+2，kZ（A，为常数，且A0，0）的周期T=

17、。14. 三角函数的图像变换： 函数y=Asin+，xR即y=sinx横坐标伸长（01）到本来的1倍，再向左（0）或向右（1）或缩短（0A0）或向右（0）平移个单位，再横坐标伸长（01）到本来的1倍，再，最后纵坐标伸长（A1）或缩短（0A1）到本来的A倍。15. 正弦定理asinA=bsinB=csinC=2R（R是ABC外接圆的半径）16. 余弦定理a2=b2+c2-2bccosA; b2=a2+c2-2accosB; c=a2+b2-2abcosC17. 三角形面积公式S=12absinC=12bcsinA=12acsinB18. a与b的数量积（或内积）ab=abcos（是向量a，b的夹

18、角）19. 向量的坐标运算 设Ax1,y1,z1，Bx2,y2,z2,则AB=OB-OA=x2-x1，y2-y1，z1-z2； 设ax1,y1,z1，bx2,y2,z2,则ab=x1x2+y1y2+z1z2； 设ax,y,z，则a=x2+y2+z2。20. 两向量的夹角公式设ax1,y1,z1，bx2,y2,z2,且b0，则cos=abab=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22。21. 向量的平行与垂直abb=ax1x2=y1y2=z1z2；aba0ab=0x1x2+y1y2+z1z2=0三、 数列、集合与命题22. 数列的通项公式与前n项的和的关系an=S

19、1Sn-Sn-1 n=1n2（数列an的前n项的和为Sn=a1+a2+an）23. 等差数列的通项公式和前n项和公式an=a1+n-1d；Sn=na1+an2=na1+nn-12d24. 等比数列的通项公式和前n项和公式an=a1qn-1；Sn=na1，q=1a11-qn1-q=a1-anq1-q，q1 25. 数列求和常见结论：1pq=1q-p1p-1q（pba0,b0fxlgalgb五、 解析几何与立体几何34. 直线的五种方程 点斜式：y-y0=kx-x0（直线过点x0,y0，且斜率为） 斜截式：y=kx+b（b为直线在y轴上的截距） 两点式：y-y1y2-y1=x-x1x2-x1（直线

20、过点x1,y1x2,y2，且x1x2，y1y2） 截距式：xa+yb=0（a、b分别为直线的横、纵截距，a,b0） 一般式：Ax+By+C=0（其中A、B不同时为0）35. 两条直线的平行和垂直若l1：y=k1x+b1，l2：y=k2x+b2 l1l2k1=k2，b1b2； l1l2k1k2=-136. 点x0,y0到直线l：Ax+By+C=0（的距离d=Ax0+By0+CA2+B237. 角平分线所在直线的方程tan=k-k11+kk1=k2-k1+kk2，其中k1、k2分别为角的边所在直线的斜率，2为原角的大小38. 圆的三种方程 圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4

21、F0 圆的标准方程：x-a2+y-b2=r2 圆的参数方程：x=a+rcosy=b+rsin39. 两个圆的公共弦所在方程x2+y2+D1x+E1y+F1-x2+y2+D2x+E2y+F2=040. 直线与圆的位置关系直线l：Ax+By+C=0与圆x-a2+y-b2=r2的位置关系有三种：dr相离0；d=r相切=0；d0，弦长=2r2-d2;其中d=Aa+Bb+CA2+B241. 椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质椭圆：x2a2+y2b2=1ab0，a2-c2=b2，离心率e=cab0，c2-a2=b2，离心率e=ca1，准线x=a2c，渐近线方程是x2a2=y2b2，椭圆上

22、的点与两个定点F1c,0、F2-c,0的距离之差等于常数（2a）。抛物线：y2=2px，焦点p2,0，准线x=-p2，焦半径PF=x0+p2，过抛物线焦点的弦长AB=x1+x2+p，抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离。42. 双曲线的方程与渐近线方程的关系 若双曲线方程为x2a2-y2b2=1x2a2-y2b2=0y=bax。 若渐近线方程为y=baxxayb=0双曲线可设为x2a2-y2b2=。 若双曲线与x2a2-y2b2=1有公共渐近线，可设为x2a2-y2b2=（0，焦点x在轴上；0，焦点y在轴上）43. 若斜率为k的直线与圆锥曲线相交于Ax1,y1、Bx2,y2两点，则弦长公

23、式为AB=1+k2x1+x22-4x1x2=1+1k2y1+y22-4y1y2（k0）44. 柱体、锥体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式圆柱侧面积=2rl，表面积=2rl+2r2，体积= Sh（S是柱体的底面积，h是柱体的高）；圆锥侧面积=rl，表面积=rl+r2，体积= 13Sh（S是锥体的底面积，h是锥体的高）；球的半径是 R，则其体积V=43R3，其表面积S=4R2六、 空间几何45. 平面方程： 点法式：Ax-x0+By-y0+Cz-z0=0，n=A,B,C是平面的法向量 一般式：Ax+By+Cz+D=0（A,B,C不全为0） 参数式：已知平面上一点Mx0,y0,z0以及平行于平面

24、的两不共线向量1=X1,Y1,Z1和2=X2,Y2,Z2，则有x=X1t1+X2t2+x0y=Y1t1+Y2t2+y0z=Z1t1+Z2t2+z046. 两平面间的关系: 12A1A2=B1B2=C1C2D1D2；（法向量共线但两平面不重合） 12A1A2+B1B2+C1C2=0 1与2的夹角（2）：cos=n1n2n1n2=A1A2+B1B2+C1C2A12+B12+C12A22+B22+C2247. 直线方程： 一般式（交面式）：A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 参数式：x=x0+tly=y0+tmz=z0+tn 对称式（标准式）：x-x0l=y-y0m=z

25、-z0n48. 直线与平面的关系： lAl+Bm+Cn=0且Ax0+By0+Cz0+D0； lAl=Bm=Cn l与的夹角（0） 双叶双曲面：x2a2+y2b2-z2c2=-1（a,b,c0） 椭圆抛物面：x2p+y2q=2z（p,q0），当p=q时，曲面为旋转抛物面 双曲抛物面：x2p-y2q=2z（p,q0）七、 概率记录50. 平均数、方差、标准差、盼望的计算平均数：x=x1+x2+xnn方差：s2=1nx1-x2+x2-x2+xn-x2标准差：s=1nx1-x2+x2-x2+xn-x2盼望51. 回归线方程y=a+bx，其中b=i=1nxi-xyi-yi=1nxi-x2=i=1nxiy

26、i-nxyi=1nxi2-nx2，a=y-bx52. 独立性检查：K2=nac-bd2a+bc+dc+ab+d53. 排列数、组合数排列数公式：Anm=nn-1n-m+1=n!n-m!，其中Ann=n!，An0=1；组合数公式：Cnm=AnmAmm=n!m!n-m!，其中Cnn=Cn0=154. 二项式定理： a+bn=Cn0anb0+Cn1an-1b1+Cnran-rbr+Cnna0bn 第r+1项：Tr+1=Cnran-rbr（0rn，rZ） 系数和：Cn0+Cn1+Cnn=2n，Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+Cn5+=2n-1 当a的绝对值与1相比很小且n不大时，有1+an1

27、+na，1-an1-na55. 相对独立事件同时发生的概率PAB=PAPB56. 正态分布记为N,2，其中盼望E=，方差D=2，曲线关于直线x=对称并在x=时取最大值。57. 离散型随机变量的盼望与方差的性质： 盼望反映了离散型随机变量取值的平均水平；方差与标准差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的限度。 E=x1p1+x2p2+xnpn；EC=C（C为常数） D=x1-E2p1+x2-E2p2+xn-E2pn；DC=0（C为常数） 设=a+b，则E=aE+b，D=a2D，D=E2-E2 若Bn,p，则E=np，D=np1-p；若服从几何分布，且P=k=gk,p，则E=1p，D=

28、1-pp2。八、 复数58. 复数的除法运算：a+bic+di=a+bic-dic+dic-di=ac+bd+bc-adic2+d259. 复数z=a+bi的模：z=a+bi=a2+b260. 复数之间不能进行大小比较61. 设一元三次方程ax3+bx2+cx+d=0（a0）的三个根分别是x1,x2,x3，则有： x1+x2+x3=-ba，x1x2+x2x3+x1x3=ca，x1x2x3=-da 令=q22+p33，其中p=3ac-b23a2，q=27a2d-9abc+2b327a3当0时，方程有一个实根，一对共轭复根；当=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根；当0，存在整数N0，使 得当n

29、，mN时，有an-am0，存在正数，当0x-x0时，有fx-A。64. 当x0时，有ex-1xsinxln1+x，1-cosxx22，则有limx0sinxx=limx0ln1+xx=1，limx01+1xx=limx01+x1x=e65. 函数极限的计算： limxx0fxn=limxx0fxn（nN+）其中各函数极限均存在 洛必达法则：若函数和满足下列条件： limxafx=limxagx=a ，其中a=0或a=； 在点a的某去心邻域内两者均可导，且gx0；则有limxafxgx=limxafxgx66. 拉格朗日中值定理：假如函数fx满足在闭区间a,b上连续；在开区间a,b内可导；那 么

30、在开区间a,b内至少有一点（ab）使等式fb-fa=fb-a成立。67. 正项级数敛散性判断： 比较判别法：大收敛推出小收敛，小发散推出大发散 比值与根值判别法：若limnun+1un=1，级数n=1un发散，且limnun=+=1，此判别法失效；若limnnun=1，级数n=1un发散，且limnun=+=1，此判别法失效； 与p级数比较：设n=1un=n=11np0，当p1时收敛，当p1时发散。68. 交错级数的敛散性（莱布尼茨判别法）：设交错级数n=1-1n-1un满足unun+1，nN1；limnunu1=0，则n=1-1n-1un收敛，且其和0n=1-1n-1unu1，余项rnun+

31、1。69. 幂级数收敛半径及收敛域：设幂级数n=0anx-x0n，则有 若limnan+1an=l，则其收敛半径为R=1t，0l+0，l=+，l=0； 判断n=0anx-x0n在x-x0=R处的敛散性； 若该级数在x-x0=R处收敛，则其收敛域为-R+x0,R+x0；若该级数在x-x0=-R处收敛，则其收敛域为-R+x0,R+x0；若该级数在x-x0=R处都收敛，则其收敛域为-R+x0,R+x0。十、 矩阵、线性空间与线性变换70. 矩阵的转置： 对于n阶实矩阵A，若满足AAT=E或ATA=E（为单位矩阵），则矩阵A称为正交矩阵，其中AT为A的转置； 若n阶方阵A满足AT=A，则称A为对称矩阵

32、；若n阶方阵A满足AT=-A，则称A为反对称矩阵，反对称矩阵对角线上的元素必为0； 转置的运算规律：ABT=BTAT71. 齐次线性方程组的解空间的维数=方程组系数矩阵的列数-系数矩阵的秩72. 特性值和特性向量： 给定矩阵M，若存在一个非零向量和实数，满足M=，则称为矩阵M的特性值，为矩阵M的属于特性值的特性向量。 任意矩阵所有特性值的和等于该矩阵对角线元素之和；所有特性值的乘积等于该矩阵的行列式的值。 若同阶矩阵A和B的特性值相同，则有A等价于B。73. 非异矩阵：若n阶矩阵A的行列式不为零，即A0，则称A为非奇异矩阵或满秩矩阵， 否则称A为奇异矩阵或降秩矩阵。74. 相似、协议： 相似：

33、非异矩阵P，使得PAP-1=B，则有A相似于B。 相似的判断：相同的特性值、迹（自左上到右下的主对角线的和）、行列式的值相同 协议：非异矩阵P，使得PAPT=B，则有A与B协议。 协议的判断：正、负特性值的个数相等75. 线性空间： 柯西布涅科夫斯基不等式：设V是欧式空间，、R，则,2,，当且仅当、线性相关时，等号才成立 V自身与0都是V的子空间，称之为V的平凡子空间，而V的其他子空间称为非平凡子空间。 设W1与W2是线性空间V的两个子空间，则dimW1+dimW2=dimW1+W2+dimW1W276. 施密特正交化法：对n维欧式空间V的任一组基1，2，3，n，令1=1，2=2-2,11,11，3=3-3,11,11-3,22,22，n=n-n,11,11-n,22,22-n,n-1n-1,n-1n-1，i=1ii，i=1，2，ni即为V的一组标准正交基。