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1、第五章 一元函数的导数及应用1717世纪中叶，牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分世纪中叶，牛顿和莱布尼茨各自独立地创立了微积分 牛顿偏重从物理问题出发，应用了运动学的原理，如瞬时速度中的“微分”、运动变量的“积分”等概念.莱布尼茨从几何学问题出发，用分析法引进微积分，得出运算法则，比牛顿的更为规范和严密.章前导入微积分的创立与处理四类科学问题直接相关1求物体在任意时刻的速度与加速度2求曲线的切线3求函数的最大值与最小值4求长度、面积、体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等
2、性质的基本方法.导数的本质是什么？第五章 一元函数的导数及应用5.1.1 5.1.1 变化率问题变化率问题第一课时第一课时一二三学习目标会求函数在某一点附近的平均变化率，理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念会求抛物线的切线斜率，体会数学的极限思想通过本节课的学习，培养起数学抽象、逻辑推理及数学运算的核心素养.学习目标思考变化率：一个变量相对于另一个变量的变化而变化的快慢程度叫做变化率.对比一次函数对比一次函数y=x、指数函数、指数函数y=3x、对、对数函数数函数y=log3x增长速度的差异增长速度的差异.“对数增长对数增长”是越来越慢的是越来越慢的,“指数爆炸指数爆炸”比比“直线上
3、升直线上升”快得多快得多.能否精确定量地刻画能否精确定量地刻画变化速度变化速度的快慢呢？的快慢呢？问题1 高台跳水运动员的速度探究：变化率问题探究：变化率问题 在一次高台跳水运动中,某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？请计算对应时间段的平均速度：探究：变化率问题概念 定义：平均变化率1.思维辨析(对的打“”,错的打“”)(1)在平均变化率的定义中,自变量x在x0处的变化量x可取任意实数.()(2)函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 公式中x与y同号.()提示:(1).在平均变
4、化率的定义中,自变量x在x0处的变化量x可以是正数,也可以是负数,但不能为0.(2).函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 公式中x与y可能同号,也可能异号.名师点析1.x是自变量的变化量,它可以为正,也可以为负,但不能等于零,而y是相应函数值的变化量,它可以为正,可以为负,也可以等于零.2.函数平均变化率的物理意义:如果物体的运动规律是s=s(t),那么函数s(t)在t到t+t这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速率,即平均变化率 可正、可负、可为零.探究一：求物体的平均变化率化率问题例1已知函数f(x)=-x2,求它在下列区间上的平均变化率:(1)1,3;(2)-4,-2;
5、(3)x0,x0+x.反思感悟求函数平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量y=f(x1)-f(x0);(2)再计算自变量的改变量x=x1-x0;变式训练1(1)函数f(x)=8x-6在m,n上的平均变化率为.(2)已知一物体的运动方程为y=f(t)=2t2+1,其中t的单位是秒,y的单位是米,那么物体在时间1,1+t内的平均速度为()A.4B.4tC.4+2tD.2t 答案:C【解析】由题意,y=f(1+t)-f(1)=2(1+t)2+1-3=4t+2(t)2,所以 =4+2t.探究：瞬时变化率 要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度再计算：思考1：(1)(1)运
6、动员在这段时间里是静止的吗?(2)(2)平均速度能准确反映运动员的运动状态吗?(1)(1)在这段时间内，运动员并不处于静止状态.(2)(2)用平均速度不能准确反映运动员在这段时间内里的运动状态.探究：瞬时变化率 为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度瞬时速度的概念的概念.我们把我们把物体在某一时刻的速度物体在某一时刻的速度称为称为瞬时速度瞬时速度(instantaneous velocity).).思考2 瞬时速度与平均速度有什么关系瞬时速度与平均速度有什么关系?新知探究：变化率问题问题 运动员在t=1s时的瞬时速度是多少？t是时间改变量，可以是正
7、值，也可以是负值，但不为0.归纳总结 定义：瞬时变化率概念例2某物体的运动路程s(单位:m)与时间t(单位:s)的关系可用函数s(t)=t2+t+1表示,求物体在t=1 s时的瞬时速度.探究二：求物体的瞬时变化率问题(1)求物体运求物体运动路程与路程与时间的关系的关系ss(t)；(2)求求时间改改变量量t，位移改，位移改变量量ss(t0t)s(t0)；求瞬时速度的步骤求瞬时速度的步骤方法归纳变式训练2.（1）质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位:m,时间单位:s),则质点M在t=2s时的瞬时速度是()A.2 m/s B.6 m/s C.4 m/s D.8 m/s（2）.一质点运动的方程为s=5-3t2,若该质点在t=1到t=1+t这段时间内的平均速度为-3t-6,则该质点在t=1时的瞬时速度是()A.-3B.3C.6D.-6【解析】1.选D.v=.2.选D.v=(-3t-6)=-6.1.本节课收获了哪些知识？平均速度瞬时速度瞬时速度的本质是平均速度的极限.(1)平均速度：平均速度：(2)瞬时速度：瞬时速度：2.求物体在时刻t0的瞬时速度一般步骤：课堂小结