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1、5.1.1变化率问题 第五章 一元函数的导数及其应用问题引入在高台跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h(t)4.9t24.8t11 如何描述运动员从起跳到入水过程中运动的快慢程度呢？新知探索高台跳水运动员的速度新知探索问题1如何求运动员从起跳到0.5秒，起跳后1秒到2秒这两段时间的平均速度？高台跳水运动员的速度新知探索问题2如何求运动员起跳后t1秒到t2秒这段时间的平均速度？高台跳水运动员的速度新知探索高台跳水运动员的速度新知探索答案 运动员的平均速度，只关注了从初始到终止这个时间段的情况，忽略了中间运动过程，因此不能准确刻画运动员
2、的运动状态.瞬时速度高台跳水运动员的速度新知探索问题5 瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系，求运动员在t1s时的瞬时速度吗？平均速度平均速度缩短时间段长度瞬时瞬时速度速度v(t0)高台跳水运动员的速度答案 新知探索 在t1之后或之前，任意取一个时刻1t.当t0时，1t在1之后，在1，1t这段时间，有高台跳水运动员的速度 在t1之后或之前，任意取一个时刻1t.当t0时，1t在1之前，在1t，1这段时间，有新知探索高台跳水运动员的速度t0时，1，1tt0时，1t，1 当t趋近于0时，平均速度趋近于5.新知探索高台跳水运动员的速度答案 无论t的正负，只要无限趋近于0，也就是时间间隔不断变
3、小，平均速度都无限趋近于5.新知探索高台跳水运动员的速度问题7 你认为上述通过列表计算瞬时速度的过程可靠吗？答案 计算是有限的，不能断定平均速度是否永远具有这种特征，需要从更加理性的角度加以说明.新知探索高台跳水运动员的速度 因为h(t)4.9t24.8t11，所以运动员在时间段1，1t（或1t，1）的平均速度为新知探索高台跳水运动员的速度 当t无限趋近于0时，4.9t也无限趋近于0，所以 无限趋近于5.我们把5叫做“当t无限趋近于0时，的极限”，记为新知探索高台跳水运动员的速度梳理瞬时速度(1)物体在 的速度称为瞬时速度.(2)一般地，设物体的运动规律是ss(t)，则物体在t0到t0t这段时
4、间内某一时刻极限新知探索问题8 如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？答案 不一定！xyOf(x)x2112234P0新知探索抛物线的切线斜率问题9 如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？答案 不一定！xyOf(x)sinx11新知探索抛物线的切线斜率问题10 对于抛物线f(x)x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线呢？xyOf(x)x2112234P0过点(1，h(1)和点(t1，h(t1)的直线斜率新知探索答案 抛物线的切线斜率xO112234P0P将点P逐渐靠近点P0，观察割线P0P的位置变化情况.f(x)x2y新知探索抛物线
5、的切线斜率1234P0Pf(x)x2yTxO12当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置P0T，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)x2在点P0(1，1)处的切线.新知探索抛物线的切线斜率问题11 如何求抛物线f(x)x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率呢？切线位置割线位置无限逼近切线斜率割线斜率无限逼近 取极限新知探索抛物线的切线斜率答案 记点P的横坐标x1x，则点P的坐标即为(1x，(1x)2).于是割线P0P的斜率让横坐标变化量x趋近于0，观察割线斜率的变化.x0时，斜率k2.新知探索抛物线的切线斜率当x无限趋近于0时，割线斜率k无限趋近于2.新知探索抛物线的切线斜率 我们把2叫做“当x无限趋近于0时，的极限”，记为新知探索抛物线的切线斜率xyOf(x)x2112234P0PT 当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于点P0处的切线P0T割线P0P的斜率k无限趋近于点P0处的切线P0T的斜率k0因此，切线P0T的斜率k02新知探索抛物线的切线斜率跟踪练习1一物体的运动方程为s7t213t8，且在tt0时的瞬时速度为1，则t0_.1跟踪练习2已知曲线y2x2上一点A(2,8)，则在点A处的切线斜率为()A4 B16 C8 D2课堂小结变化率问题跳水问题平均速度瞬时速度抛物线的切线问题割线切线本课结束