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1、7.1.1 7.1.1 数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念第第七七章章 复数复数7.1.1 数系的扩充与复数的概念创设情境 引入概念它它，曾是数学领域中一个飘荡了数百年的幽灵，曾是数学领域中一个飘荡了数百年的幽灵.笛笛卡卡儿儿第第一一次次提提出出了了它它的的名名字字，却却引引来来一一片片困困惑惑，很很多多大大数数学家都不承认它学家都不承认它.欧欧拉拉说说：“对对于于这这类类数数，我我们们只只能能断断言言，它它们们既既不不是是什什么么都都不不是是，也也不不比比什什么么都都不不是是多多些些什什么么，更更不不比比什什么么都都不不是是少少些些什什么么，它们纯属虚幻它们纯属虚幻”它它的名字叫的
2、名字叫虚数虚数.我们知道，在实数范围内，解方程我们知道，在实数范围内，解方程x x2 21 10 0是无能为力的，只是无能为力的，只有把实数集扩充到复数集上才能解决，可是，历史上引进虚数，把实有把实数集扩充到复数集上才能解决，可是，历史上引进虚数，把实数集扩充到复数集可不是件容易的事数集扩充到复数集可不是件容易的事 随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，随着科学和技术的进步，复数理论已越来越显出它的重要性，它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且在系统分析、它不但对于数学本身的发展有着极其重要的意义，而且在系统分析、信号分析、量子力学、电工学、应用数学、流体力学、振动理
3、论、信号分析、量子力学、电工学、应用数学、流体力学、振动理论、机翼理论等方面得到了广泛应用，并在解决堤坝渗水的问题中显示机翼理论等方面得到了广泛应用，并在解决堤坝渗水的问题中显示了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据了它的威力，也为建立巨大水电站提供了重要的理论依据 同学们，你想了解复数的初步知识吗？那就让我们步入本章同学们，你想了解复数的初步知识吗？那就让我们步入本章的学习吧！的学习吧！引引 入入数的扩充都是为了解决生产生活中的问题数的扩充都是为了解决生产生活中的问题.思思考考1 我我们们把把一一个个数数集集连连同同规规定定的的运运算算以以及及满满足足的的运运算算律律叫叫做做一一
4、个个数数系系.回回顾顾从从自自然然数数系系逐逐步步到到实实数数系系的的扩扩充充过过程程，每每一一次次数数系系扩扩充充的的主主要要原因是什么？原因是什么？自然数集自然数集整数集整数集有理数集有理数集实数集实数集刻画相刻画相反意义反意义的量的量引入了引入了负数负数解决测解决测量等分量等分问题问题引入了引入了分数分数解决度量正解决度量正方体对角线方体对角线等问题等问题引入了引入了无理数无理数计数的计数的需要需要引入了引入了自然数自然数？从社会实践来看从社会实践来看引入引入新数新数思考思考2 借助下面的方程，你能从解方程的角度说明数系扩充的原因吗？借助下面的方程，你能从解方程的角度说明数系扩充的原因吗
5、？从从数学发展的角度数学发展的角度来看来看数系的每一次扩充解决了原有数集中某种数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题运算不能解决的问题；？集有解？集有解（自然数集无解自然数集无解整数集整数集内有解内有解有理数集内有解有理数集内有解整数集整数集内无解内无解有理数集内无解有理数集内无解实数集内有解实数集内有解实数集内无解实数集内无解探究新知探究新知为了解决为了解决 这样的方程在实数系中无解的问题这样的方程在实数系中无解的问题,我们设想引入一个我们设想引入一个新新数数i,使得使得x=i是方程是方程 的解的解,即使得即使得 i2=-1.i是数学家是数学家欧拉欧拉最早引入最早引入的，它的
6、，它取自取自imaginary(想象的，假设的想象的，假设的)一词的一词的词头，词头，i2=ii.思考思考3 数系扩充后，要遵循了什么规则？数系扩充后，要遵循了什么规则？如果没有运算，数只是孤立的符号！数系扩充规则数系扩充规则：数集扩充后，新数集中规定的加法和乘法运算，与原数集扩充后，新数集中规定的加法和乘法运算，与原数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换数集中规定的加法和乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律律和结合律，乘法对加法满足分配律依此规则，我们依此规则，我们把实数把实数b与与i相乘，结果记作相乘，结果记作bi把实数把实数a与
7、与bi相加，结果记作相加，结果记作a+bi所有所有实数实数以及以及i都可写成都可写成a+bi(a,bR)的形式，从而这些的形式，从而这些数数都在都在扩充后的新数集中，我们把形如扩充后的新数集中，我们把形如a+bi(a,bR)的的数叫做数叫做复数复数.1.复数的概念复数的概念形如形如a+bi(a,bR)的数叫做的数叫做复数复数.i 叫做叫做虚数单位虚数单位.全体复数所构成的集合全体复数所构成的集合C=a+bi|a,bR叫做叫做复数集复数集.复数通常用字母复数通常用字母z表示，即表示，即z=a+bi(a,bR)2.复数的代数形式复数的代数形式a叫做复数的叫做复数的实部实部b叫做复数的叫做复数的虚部
8、虚部注意注意：复数：复数z的实部和虚部都是的实部和虚部都是 数数.-3实实1复数i2的虚部是()Ai B 2C1D2C课堂练习课堂练习这这些都叫复数，些都叫复数，课本课本P70第第1题题有些有些是是实实数，数，有些有些还还能叫虚数，有些能叫虚数，有些还还能叫能叫纯纯虚数虚数z=a+bi(a,bR)当且仅当当且仅当 b=0 时，它叫做时，它叫做当且仅当当且仅当 b0 时，它叫做时，它叫做当且仅当当且仅当a=b=0时，它是实数时，它是实数0;z=az=0z=a+bi(b0)z=bi(b0)虚数虚数实数实数当且仅当当且仅当 时，它叫做时，它叫做 a=0b0纯虚数纯虚数3.复数的分类复数的分类复数复数
9、实数：实数：虚数：虚数：纯虚数：纯虚数：非非纯虚数：纯虚数：思考思考4 复数集复数集C与实数集与实数集R之间有什么关系？之间有什么关系？复复数数集集C虚数集虚数集实数集实数集R纯虚数集纯虚数集虚数虚数纯虚数纯虚数实数实数课本课本P70第第2题题课堂练习课堂练习探究新知探究新知例例1解：解：当当m-1=0时，即时，即m=1时，复数时，复数z 是实数；是实数；当当m-10时，即时，即m1时，复数时，复数z 是虚数；是虚数；当当m+1=0,且且m-10时，即时，即m=-1时，复数时，复数z 是纯虚数是纯虚数.课堂练习课堂练习4.复数相等复数复数相等复数 如果两个复数的如果两个复数的实部和虚部分别相等
10、实部和虚部分别相等，那么我们就说这，那么我们就说这两个复数相等两个复数相等即如果即如果 ，那么，那么例例2 求适合下列方程的实数求适合下列方程的实数x与与y的值的值:（1）（2）课堂练习课堂练习例题讲解例题讲解例例3 解：解：练习6.若复数z=(m+1)+(m2-9)i2能否推出能否推出3十十i2+i？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较？两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？大小吗？由由32不能推出不能推出3十十i2+i，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小当两个复数不全是实数时，不能比较大小.m=3课堂练习课堂练习7.下列命题：若aR，则(a1)i是纯虚数若a，bR，且ab，则aibi若(x24)(x23x2)i是纯虚数，则实数x2实数集是复数集的真子集其中正确的是()A.B.C.D.D课堂小结课堂小结1.虚数单位虚数单位i的引入；的引入；2.复数有关概念：复数有关概念：复数的代数形式复数的代数形式:复数的实部复数的实部 、虚部、虚部复数相等复数相等虚数、纯虚数虚数、纯虚数THANKS