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1、7.17.1数系的扩充数系的扩充和复数的概念和复数的概念自然数自然数集集N整数集整数集Z有理数有理数集集Q实数集实数集R引入负引入负整数整数引入分引入分数数引入无引入无理数理数能解能解x+4=1可实施加、可实施加、减、乘减、乘能解能解3x-2=0可实施加、可实施加、减、乘、除减、乘、除能解能解x2-2=0可实施加、减、可实施加、减、乘、除、开方乘、除、开方 NZQR1.1.虚数单位虚数单位在实数集合在实数集合R中添加新数中添加新数i,得到一个新数集，其中得到一个新数集，其中i叫叫做做虚数单位虚数单位，并且规定：，并且规定：它的平分等于它的平分等于-1，即，即i2= - 1.实数可以与它进行四则
2、运算，在进行四则运算时，实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律足分配律.虚数单位虚数单位i是瑞士数学家欧拉于是瑞士数学家欧拉于1777年最早引年最早引用的，它取自用的，它取自imaginary一词的首字母一词的首字母.探究活动：复数的一般形式探究活动：复数的一般形式 请同学们用请同学们用2，3，i这三个数中的若干个进行四则运算，看这三个数中的若干个进行四则运算，看谁写的式子最丰富！谁写的式子最丰富！（1）2，3，i；（2）2+i，2-i，3+i，3-i；（3）2i，3i，2i，3i；（
3、4）2+3i，2-3i，3+2i，3-2i. .实数实数+实数实数i a+bi复数通常用字母复数通常用字母z来表示，复数的代数形式来表示，复数的代数形式z=a+bi(a,bR).全体复数所成的集合叫做全体复数所成的集合叫做复数集，用复数集，用C表示。表示。即即C=a+bi|a,b Rbiaz+ += =实实部部2.2.复数的概念复数的概念虚虚部部虚数单位虚数单位 2.2.复数的概念复数的概念形如形如a+bi(a,b R)的数叫做复数，这一表示形式叫做的数叫做复数，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中实数复数的代数形式，其中实数a叫做复数的实部，实数叫做复数的实部，实数b叫叫做复数的虚部。做复数
4、的虚部。全体复数所成的集合叫做复数集，用全体复数所成的集合叫做复数集，用C表示。即表示。即C=a+bi|a,b RdbcaRbadicbia= = = + += =+ +且且）（, 3.3.两个复数相等两个复数相等4.4.复数的分类复数的分类复数集复数集虚数集虚数集纯虚数集纯虚数集实数集实数集复数复数复数复数(b 0)(b 0)实数实数(b=0)(b=0) )00(ba，纯虚数)00(ba，非纯虚数题型一题型一 复数的概念复数的概念例例1 已知下列命题：已知下列命题：复数复数abi不是实数；不是实数；两个复数不能比较大小；两个复数不能比较大小；若若(x24)(x23x2)i是纯虚数，则实数是纯
5、虚数，则实数x2；若复数若复数zabi，则当且仅当，则当且仅当b0时，时，z为虚数；为虚数；若若abicdi，则，则ac且且bd.其中真命题的是其中真命题的是_.iiiiii2)6(1 )5(5 . 0)4(43)3(-21)2(3)1(.,?,2.22+ + +虚虚部部分分别别说说出出它它们们的的实实部部与与若若非非实实数数纯纯虚虚数数哪哪些些是是哪哪些些是是虚虚数数哪哪些些是是实实数数下下列列复复数数1.说出下列复数的实部和虚部：说出下列复数的实部和虚部：. 0)6( ;)5( ;3-)4( ;22)3( ;2)2( ;312-)1(iiii+ + +题型二题型二 复数相等复数相等题型三题
6、型三 复数的分类复数的分类例例 实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数 是是（1）实数？）实数？ （2）虚数？）虚数？ （3）纯虚数？）纯虚数？immz)1(1 解解：（：（1）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是实数是实数01 m1 m（2）当当 ，即，即 时，复数时，复数z 是虚数是虚数01 m1 m（3）当当 ，且，且 ，即，即 时，复时，复 01 m01 m数数 z 是是纯虚数纯虚数01 m01 m01 m例例 已知已知x是实数，是实数，y是纯虚数且满足是纯虚数且满足(2x1)(3y)iyi，求求x和和y的值的值练习：练习：1.如果如果(x+y)+(y-1)i=(2x+3y)+(
7、2y+1)i，求实数，求实数x，y的值的值.2.实数实数m取什么值时，复数取什么值时，复数z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i是：是：（1）实数；（）实数；（2）虚数；（）虚数；（3）纯虚数）纯虚数;（4）z 0 3.1.23.1.2复数的几何意义复数的几何意义 （2）填空：）填空： 复数复数 的代数形式是的代数形式是_；当；当_时，时， 为为实数；当实数；当_时，时， 为虚数；当为虚数；当_时，时， 为纯虚为纯虚数；数； 的实部为的实部为_；虚部为；虚部为_ 知识回顾知识回顾（1）虚数单位）虚数单位 的两个规定的内容是什么？的两个规定的内容是什么？ i （3）任意一个复数）任意一个复数
8、与一个有序实数对与一个有序实数对 之间有什么对应关系？之间有什么对应关系？ biaz ),(bazzzzz1.1.复平面复平面思考思考：有些同学说：有些同学说：实轴上的点表示实数，虚实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句轴上的点表示虚数，这句话对吗？话对吗？不正确实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚不正确实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是它所确定的复数是z00i0，表示的是实数，表示的是实数xOyZ(a,b).实轴实轴虚轴虚轴复平面复平面2.2.复数的几何意义复数的几何意
9、义复数集复数集C和复平面内所有的点所成的集合建立了一和复平面内所有的点所成的集合建立了一一对应关系。一对应关系。设复平面内的点设复平面内的点Z表示复数表示复数z=a+bi,连接连接OZ，则向量，则向量与复数与复数z就建立了一一对应关系。就建立了一一对应关系。OZ3.3.复数的模复数的模xOyZ(a,b).2、在复平面内，描出下列各复数对应的点，找到所对应、在复平面内，描出下列各复数对应的点，找到所对应的向量和模：的向量和模：(1)5;(2)-3i;(3)2+5i;(4)-3+2i;(5)-3-i;(6)2-4i.xyO11题型一题型一 复数的几何意义复数的几何意义例例1 当实数当实数m为何值时，复数为何值时，复数zm28m15(m23m28)i在复平面内的对应点：在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；位于第四象限；(2)位于位于x轴负半轴上；轴负半轴上；(3)在上半平面在上半平面(含实轴含实轴)题型二题型二 复数与平面向量的对应关系复数与平面向量的对应关系题型三题型三 复数的模复数的模TA N K SH