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1、 6.2.3 组合组合6.2.4 组合数组合数复习回顾2.排列数公式3.全排列1.排列数的定义问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？甲乙，甲丙，乙丙问题引入 从已知的3 个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.从已知的3个不同元素中每次取出2个元素合成一组有顺序无顺序排列组合甲乙，乙甲，甲丙，丙甲，乙丙，丙乙探究新知 一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组
2、合(combination).注意：(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.(2)组合的特性：元素的无序性.取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求.组合定义:思考：如何区分排列问题还是组合问题？排列问题排列问题若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.组合问题组合问题若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.练习：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆。下面的问题：(1)从中选3辆，有多少种不同的方法？(2)从中选3辆给
3、3位同学，有多少种不同的方法？没有顺序，是组合问题有顺序，是排列问题 例题例题 判断下列各事件是排列问题还是组合问题判断下列各事件是排列问题还是组合问题(1)从从1，2，3，9这这九九个个数数字字中中任任取取3个个，组组成成一一个个三三位位数数，这这样样的的三位数共有多少个？三位数共有多少个？(2)从从1，2，3，9这这九九个个数数字字中中任任取取3个个,组组成成一一个个集集合合，这这样样的的集集合合有多少个？有多少个？(3)10支球队进行单循环赛支球队进行单循环赛(每两队比赛一次每两队比赛一次),共需进行多少场次的比赛？共需进行多少场次的比赛？(4)10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共
4、有多少种？支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？解解：(1)是是排排列列问问题题，因因为为取取出出3个个数数字字后后，如如果果改改变变这这3个个数数字字的的顺顺序序，便便会会得得到不同的三位数到不同的三位数(2)是是组组合合问问题题，因因为为取取出出3个个数数字字后后，无无论论怎怎样样改改变变这这3个个数数字字的的顺顺序序，其其构构成成的集合都不变的集合都不变 例题例题 判断下列各事件是排列问题还是组合问题判断下列各事件是排列问题还是组合问题(1)从从1，2，3，9这这九九个个数数字字中中任任取取3个个，组组成成一一个个三三位位数数，这这样样的的三位数共有多少个？三位数共有多少个？(
5、2)从从1，2，3，9这这九九个个数数字字中中任任取取3个个,组组成成一一个个集集合合，这这样样的的集集合合有多少个？有多少个？(3)10支球队进行单循环赛支球队进行单循环赛(每两队比赛一次每两队比赛一次),共需进行多少场次的比赛？共需进行多少场次的比赛？(4)10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？解解：(3)是是组组合合问问题题，因因为为每每两两队队比比赛赛一一次次，并并不不需需要要考考虑虑谁谁先先谁谁后后，没没有有顺顺序的区别序的区别(4)是是排排列列问问题题，因因为为甲甲队队得得冠冠军军、乙乙队队得得亚亚军军与与甲甲队队得得亚
6、亚军军、乙乙队队得得冠冠军军是是不一样的，是有顺序区别的不一样的，是有顺序区别的例例5 平面内有平面内有A，B，C，D共共4个点个点.(1)以其中以其中2个点为端点的有向线段共有多少条个点为端点的有向线段共有多少条?(2)以其中以其中2个点为端点的线段共有多少条个点为端点的线段共有多少条?分析分析:(1)确定一条确定一条有向线段有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列排列问题问题;(2)确定一条确定一条线段线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合组合问题问题.解：解：结论：取出2
7、个元素的组合的个数是排列数的一半利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？思考组合数概念组合数概念:前面，我们利用前面，我们利用“元素相同、顺序不同的两个组合相同元素相同、顺序不同的两个组合相同”“元素相同、顺序不同的两个排列不同元素相同、顺序不同的两个排列不同”，以，以“元素相同元素相同”为标准，建立了排列和组合之间的对应关系为标准，建立了排列和组合之间的对应关系.组合组合排列排列 abcabd acd bcd abc bac cab acb bca cba abd
8、bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda dca bcd cbd dbc bdc cdb dcb于是，根据分布乘法计数原理有于是，根据分布乘法计数原理有于是，根据分布乘法计数原理有于是，根据分布乘法计数原理有于是，根据分布乘法计数原理有于是，根据分布乘法计数原理有所以，上面的组合公式还可以写成所以，上面的组合公式还可以写成这里这里n，mN*，并且，并且m n.这个公式叫这个公式叫组合数公式组合数公式.l思考思考?观察例观察例6的的(1)与与(2)，(3)与与(4)的结果，你有什么发现的结果，你有什么发现？(1)与与(2)分别用了不同形式的组合数公式，你对公
9、式的选分别用了不同形式的组合数公式，你对公式的选择有什么想法？择有什么想法？例例7 在在100件产品中件产品中,有有98件合格品件合格品,2件次品件次品.从这从这100件产品件产品中任意抽出中任意抽出3件件.(1)有多少种不同的抽法？有多少种不同的抽法？(2)抽出的抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？件是次品的抽法有多少种？解解:(1)所有的不同抽法种数，就是从所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为件的组合数，所以抽法种数为 例例7 在在100件产品中件产品中,有有98件合格品件合格品,2件次品件次品.从这从这100件产品件产品中
10、任意抽出中任意抽出3件件.(3)抽出的抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法有多少种？件是次品的抽法有多少种？方法方法2 抽出的抽出的3件产品中至少有件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，就件是次品的抽法的种数，就是从是从100件中抽出件中抽出3件的抽法种数减去件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种件中都是合格品的抽法的种数，即数，即 (3)方法方法1 从从100件产品抽出件产品抽出的的3件中至少有件中至少有1件是次品件是次品,包括有包括有1件次品和有件次品和有2件次品的情况件次品的情况,因此根据分类加法计数原理因此根据分类加法计数原理,抽出的抽出的3件产品中至少有件产品中至少有1件
11、是次品的抽法的种数为件是次品的抽法的种数为解：解：(1)(1)组合；排列；排列组合；排列；排列.题型一：组合的有关概念以及写法题型一：组合的有关概念以及写法题型二：简单的组合应用问题题型二：简单的组合应用问题例例3.3.现从现从1010名教师，其中男教师名教师，其中男教师6 6名，女教师名，女教师4 4名名.(1)(1)现要从中选现要从中选2 2名去参加会议，有多少种不同的选法？名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)(2)选出选出2 2名男教师或名男教师或2 2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？名女教师参加会议，有多少种不同的选法？例例3.3.现从现从1010名教师，其中男教师名教师，其
12、中男教师6 6名，女教师名，女教师4 4名名.(3)(3)现要从中选出男、女教师各现要从中选出男、女教师各2 2名去参加会议，有多少种不同的选法？名去参加会议，有多少种不同的选法？方法技巧：方法技巧：解简单的组合应用题的策略解简单的组合应用题的策略(1)(1)解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关序无关.(2)(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与
13、分步的灵活运用要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用.提醒提醒 在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏.变变3.3.现从现从1010名教师，其中男教师名教师，其中男教师6 6名，女教师名，女教师4 4名名.若从中选若从中选2 2名教师参加会议，则名教师参加会议，则(1)(1)至少有至少有1 1名男教师的选法有几种？名男教师的选法有几种？(2)(2)最多有一名男教师的选法有几种？最多有一名男教师的选法有几种？课堂小结课堂小结(2)如何判断计数问题是排列问题还是组合问题？如何判断计数问题是排列问题还是组合问题？排列排列问题问题组合组合问题问题若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即问题，即排列问题与选取的顺序有关排列问题与选取的顺序有关.若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题组合问题,即即组合问题与选取的顺序无关组合问题与选取的顺序无关.一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素作为）个元素作为一组，叫做从一组，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个组合个元素的一个组合.(1)组合的定义组合的定义:归纳小结归纳小结3、组合数的概念、组合数的概念:4、组合数公式、组合数公式