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1、高二年级人教A版数学选择性必修第三册第六章6.2.4组合数学习目标1、了解组合数的概念及公式；2、运用组合数解决实际问题；3、体会类比的思想方法，从特殊到一般的推理方法，培养数学计算素养。知识回顾1、排列的定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m n）个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2、组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m（m n）个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.问题：排列与组合的定义有什么联系与区别呢？并按照一定的顺序排成一列作为一组取出取出共同点：共同点：都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点：不同点：排列
2、与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.知识回顾3、排列数的概念与公式：我们把从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示.其公式为：问题：能否通过类比得出组合数的概念呢？学习新知环节一：类比分析，引出概念 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 （或 ）表示.举例说明：从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为 ，从4个不同元素中取出3个元素的组合数表示为 .组合数是一个正整数学习新知环节二：问题探究，导出公式组合元素相同，顺序不同，两组合相同排列元素相
3、同，顺序也相同，两排列才相同问题1：组合数 等于多少呢？从3个不同元素中取出2个元素的组合数为3.从甲、乙、丙3个元素中取出2个元素学习新知环节二：问题探究，导出公式问题2：从4个不同元素中取出3个元素的组合数 分析：类比求 的过程，假设这4个元素分别为 ，从中取出3个元素的排列数为 ，分别为以下情况：通过该图，我们可以从另一个角度理解“从4个不同元素中取出3个元素的排列数为 ”.第一步（取出）有种不同的组合第二步（排序）有 种不同的排列每一种组合组内根据分步乘法的计数原理，有 ,学习新知环节二：问题探究，导出公式问题3：如何将结论从特殊推广到一般的情况呢？求“从n个不同元素中取出m个元素的排
4、列数”，可以看作由以下两个步骤得到：第1步：从n个不同元素中取出m个元素作为一组，有 种不同的组合；第2步：将取出的m个元素作全排列，有 种不同的排列；最后，根据分布乘法计数原理有 .因此 ，这里 ，并且mn.这个公式叫做组合数公式.另外，我们规定 .上式也可以写成 ,由 ，阶乘式乘积式学习新知环节三：应用举例，解决问题解：根据组合数计算公式可得：例1 计算：（1）；（2）；（3）；（4）思考：观察这两组结果，你有什么发现？学习新知拓展内容1：在例题中，我们发现 与 ，与 都是相同的数.与 与 与它们的上标之和等于下标组合数的性质1：取出m个元素剩下的n-m个元素表示从n个不同元素中取出m个元
5、素的组合数表示从n个不同元素中取出n-m个元素的组合数学习新知拓展内容1：等式左边等式右边所以左边=右边，证毕.证明组合数性质1：解：根据组合数计算公式可得：思考：两种计算公式，你觉得哪一种更好用？计算时，可以通过组合数的性质 简化运算.例1 计算：（1）；（2）；（3）；（4）分析：1）式子中分母是100！2）分子是101个连续自然数的乘积 最大的为n100，最小的为n公式的理解要到位：分母的阶乘与分子中乘式的个数要统一；分子最大的数为组合数的下标学习新知环节三：应用举例，解决问题例2 式子 可表示为()A.B.C.D.根据公式：得：学习新知环节三：应用举例，解决问题例3 在100件产品中，
6、有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？思考（1）：这是一个排列问题还是组合问题？学习新知环节三：应用举例，解决问题例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？思考（2）：如何抽取才能使得抽出的3件产品恰好有1件是次品？先从2件次品中抽出1件，再从98件正品中抽出2件.学习新知环节三：应用举
7、例，解决问题例3 在100件产品中，有98件合格品，2件次品.从这100件产品中任意抽出3件.（1）有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？思考（3）：抽出的3件产品至少有1件是次品，可以包括那些情况？有1件次品和有2件次品两种情况.解：（1）所有的不同抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的组合数，所以抽法种数为（2）从2件次品中抽出1件的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为思考：能否将上式中的 改为 呢？不可以，虽然数值一样，但是意义不同.（3）方法1 从
8、100件产品抽出3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况，因此根据分类加法计数原理，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法种数为 方法2 分析：从100件产品中抽出3件有0件次品有1件次品有2件次品至少有1件是次品抽出3件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从100件产品中抽出3件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即 类比组合数性质1的解释，你能利用分类加法计数原理，说明组合数的性质2吗？学习新知 假设一批产品中有n件正品和1件次品，共n+1件产品.等式的左侧表示从n+1件产品中取出m件产品的组合数，包含了没有次品（m件正品+0件次品）和有次品（m-1件正品和1件次品）两种情况.拓展内容2：组合数性质2：你能证明这个式子吗？学习新知证明等式 成立拓展内容2：证明：根据组合数的公式，左边右边所以，左边=右边，证毕.回顾总结1、组合数的概念与计算公式2）组合数的计算公式有两种：3）巧用组合数的性质，简化运算.1）从n个不同元素中取出m个元素的所有不同组合的个数，记为 .回顾总结2、运用组合数解决实际问题1）分析所求问题是一个组合问题还是排列问题;2）带有“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数；3）带有“至多”“至少”问题,其解法常有两种思路：一是直接分类法，确保不重不漏；二是间接法，注意找准对立面