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1、6.2.3 组合组合6.2 排列与组合排列与组合探究探究 (1) 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活动，其中名参加一项活动，其中1名同学参加名同学参加上午的活动，另上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？ (2) 甲、乙、丙甲、乙、丙3名同学中选名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？名去参加一项活动，有多少种不同的选法？思考上述两个问题有什么联系与区别？思考上述两个问题有什么联系与区别？以上探究的第以上探究的第(2)所提出的问题中我们可以把它概括为：所提出的问题中我们可以把它概括为：甲乙，甲丙，乙
2、丙甲乙，甲丙，乙丙.从从3个不同的元素中取出个不同的元素中取出2个作为一组，一共有多少个不同的组？这里个作为一组，一共有多少个不同的组？这里的每一组与的每一组与顺序无关顺序无关，我们把这种问题称为，我们把这种问题称为组合问题组合问题.23(1)6.A 解解： 有有顺顺序序, ,是是排排列列问问题题, ,不不共共的的排排法法有有种种(2)3没没有有顺顺序序, ,不不共共的的选选法法有有 种种, ,分分别别是是一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合组合定义组合定
3、义:排列定义排列定义:一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素，个元素，按照一定的顺序排按照一定的顺序排成一列成一列，叫做从叫做从 n 个不个不 同元素中取出同元素中取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列.排列、组合的区别与联系：排列、组合的区别与联系：共同点共同点: 都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素” 不同点不同点: 对于所取出的元素，排列要对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列”， 而组合而组合“与顺序无关与顺序无关”.例如例如: ab与与ba是两个不同的排列，但却是同一个组合是两个不同的排列，
4、但却是同一个组合.例题例题 判断下列各事件是排列问题还是组合问题判断下列各事件是排列问题还是组合问题(1) 从从1，2，3，9这九个数字中任取这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？位数共有多少个？(2) 从从1，2，3，9这九个数字中任取这九个数字中任取3个个,组成一个集合，这样的集合组成一个集合，这样的集合有多少个？有多少个？(3) 10支球队进行单循环赛支球队进行单循环赛(每两队比赛一次每两队比赛一次),共需进行多少场次的比赛？共需进行多少场次的比赛？(4) 10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？支球队进行单循环赛，冠、亚军
5、获得情况共有多少种？解解：(1) 是排列问题，因为取出是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得个数字的顺序，便会得到不同的三位数到不同的三位数(2) 是组合问题，因为取出是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成个数字的顺序，其构成的集合都不变的集合都不变例题例题 判断下列各事件是排列问题还是组合问题判断下列各事件是排列问题还是组合问题(1) 从从1，2，3，9这九个数字中任取这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？位数共有多少个？(2) 从从1，2，
6、3，9这九个数字中任取这九个数字中任取3个个,组成一个集合，这样的集合组成一个集合，这样的集合有多少个？有多少个？(3) 10支球队进行单循环赛支球队进行单循环赛(每两队比赛一次每两队比赛一次),共需进行多少场次的比赛？共需进行多少场次的比赛？(4) 10支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？支球队进行单循环赛，冠、亚军获得情况共有多少种？解解：(3)是组合问题，因为每两队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺是组合问题，因为每两队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别序的区别(4)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是是排列问题，因为甲队得冠军、乙
7、队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的不一样的，是有顺序区别的变式变式1 判断下列事件是排列问题还是组合问题判断下列事件是排列问题还是组合问题 (1) 从从10个人里选个人里选3个代表去开会，有多少种选法？个代表去开会，有多少种选法？ (2) 从从10个人里选出个人里选出3个做不同学科的课代表，有多少种选法？个做不同学科的课代表，有多少种选法？解：解：(1) 是组合问题是组合问题 (2) 是排列问题是排列问题变式变式2 从从5个不同的元素个不同的元素a，b，c，d，e中取出中取出2个，写出所有不同的组合个，写出所有不同的组合 思考思考 校门口停放着校门口停放着9辆共享自行车
8、，其中黄色、红色和绿色的各有辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆辆. 下下面的问题是排列问题，还是组合问题面的问题是排列问题，还是组合问题? (1) 从中选从中选3辆，有多少种不同的方法辆，有多少种不同的方法? (2) 从中选从中选3辆给辆给3位同学，有多少种不同的方法位同学，有多少种不同的方法?解：解：(1) 是组合问题，是组合问题，(2) 是排列问题，不同的选法有是排列问题，不同的选法有399 8 7504.A 种种不同的选法有不同的选法有84种种.例例5 平面内有平面内有A，B，C，D共共4个点个点. (1) 以其中以其中2个点为端点的有向线段共有多少条个点为端点的有向线段共有多
9、少条? (2) 以其中以其中2个点为端点的线段共有多少条个点为端点的线段共有多少条?分析分析: (1)确定一条确定一条有向线段有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列排列问题问题; (2)确定一条确定一条线段线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合组合问题问题. 解：解：24(1)4 312.A 有有向向线线段段的的条条数数有有条条(2),42A B C D以以个个点点中中任任意意 个个为为端端点点的的线线段段有有,6.AB AC AD BC BD CD, ,共共 条条线线段段1
10、. 甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛支足球队举行单循环赛.(1) 列出所有各场比赛的双方；列出所有各场比赛的双方；(2) 列出所有冠、亚军的可能情况列出所有冠、亚军的可能情况. 解：解：(1) 甲乙甲乙 甲丙甲丙 甲丁甲丁 乙丙乙丙 乙丁乙丁 丙丁丙丁.(2)冠军冠军甲甲甲甲甲甲乙乙乙乙乙乙丙丙丙丙丙丙丁丁丁丁丁丁亚军亚军乙乙丙丙丁丁甲甲丙丙丁丁甲甲乙乙丁丁甲甲乙乙丙丙课本课本P22 解：解：ABC，ABD，ACD，BCD共共4个个.2. 已知平面内已知平面内A, B, C, D这这4个点中任何个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其个点都不在一条直线上，写出以其中任意中任
11、意3个点为顶点的所有三角形个点为顶点的所有三角形.3. 现有现有1, 3, 7, 13这这4个数个数. (1) 从这从这4个数中任取个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和个相加，可以得到多少个不相等的和? (2) 从这从这4个数中任取个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差个相减，可以得到多少个不相等的差? 解：解：(1) 不相等的和为不相等的和为4, 8, 14, 10, 16, 20，共，共6个个.(2) 不相等的差为不相等的差为2, 6, 12, 2, 4, 10, 6, 4, 12, 10，共，共10个个.课本课本P22小结：小结：一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合1. 组合定义组合定义:2. 排列、组合的区别与联系：排列、组合的区别与联系：共同点共同点: 都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素” 不同点不同点: 对于所取出的元素，排列要对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列”， 而组合而组合“与顺序无关与顺序无关”.