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1、第8章第1页EXIT第第第第8 8 8 8章章章章 线性离散系统线性离散系统线性离散系统线性离散系统第8章第2页EXIT8.1 8.1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念 8.2 8.2 信号的采样与保持信号的采样与保持8.3 Z8.3 Z变换变换8.4 8.4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型8.5 8.5 离散系统的稳定性分析离散系统的稳定性分析8.6 8.6 离散系统的稳态误差分析离散系统的稳态误差分析8.7 8.7 离散系统的动态性能分析离散系统的动态性能分析 8.8 8.8 离散控制系统的数字校正离散控制系统的数字校正第8章第3页EXIT控控制制系系统统中中有有一一个个或或若若
2、干干个个部部件件的的输输出出信信号号是是一一串串脉脉冲冲形形式式或或是是数数码码，由由于于信信号号在在时时间间上上是是离离散散的的，这这类类系系统统称称为为离离散散系系统统。随随着着计计算算机机普普通通运运用用于于自自动动控控制制领领域域以以来来，离离散散控制系统在生产、科研等各个领域中得到了广泛的应用。控制系统在生产、科研等各个领域中得到了广泛的应用。对对于于连连续续时时间间系系统统，采采用用微微分分方方程程和和拉拉普普拉拉斯斯变变换换进进行行分分析析和和设设计计；对对于于离离散散时时间间系系统统，则则采采用用差差分分方方程程和和z变变换换进进行行分分析析和和设设计计。通通过过Z变变换换这这
3、个个数数学学工工具具，可可以以把把传传递递函函数数，频频率特性，根轨迹法等概念应用于离散控制系统。率特性，根轨迹法等概念应用于离散控制系统。本本章章将将重重点点介介绍绍Z变变换换理理论论，脉脉冲冲传传递递函函数数，离离散散控控制制系系统的稳定性等内容。统的稳定性等内容。第8章第4页EXIT两类离散系统：两类离散系统：（1）采样控制系统或脉冲控制系统）采样控制系统或脉冲控制系统离散信号是脉冲序列（时间上离散）离散信号是脉冲序列（时间上离散）（2）数字控制系统或计算机控制系统）数字控制系统或计算机控制系统离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上量化）离散信号是数字序列（时间上离散、幅值上量化）第8章
4、第5页EXIT8.1 8.1 8.1 8.1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念离散系统的基本概念离散系统的基本概念第8章第6页EXIT8.1.1离散控制系统的组成离散控制系统的组成 数数字字计计算算机机在在进进行行信信息息处处理理时时必必须须接接受受数数字字信信号号，所所以以必必须须进进行行信信号号的的转转换换。将将连连续续时时间间信信号号转转换换为为离离散散数数字字信信号号的的过过程程称称为为模模-数数转转换换（A/D），反反之之，则则称称为为数数-模模转转换换（D/A）。）。它们是数字控制的必要过程。它们是数字控制的必要过程。第8章第7页EXIT数数字字控控制制系系统统的的特特点点：控
5、控制制器器的的控控制制规规律律由由计计算算机机实实现现，使使得得控控制制规规律律比比较较灵灵活活、控控制制精精度度高高，而而且且可可以以借借助助计计算算机机实实现现许许多多附附加加功功能能，例例如如系系统统运运行行状状态态检检测测、报报警警、保保护护等等。性性价价比比超超过过模模拟拟控控制制器。器。在在航航空空航航天天、军军事事、工工业业、公公用用事事业业系系统统中中的的各各类类控控制制系系统统已已经广泛地运用计算机控制。经广泛地运用计算机控制。A/D转换过程转换过程（t）第8章第8页EXITA/D转换器：转换器：采样、量化、编码采样、量化、编码 把把连连续续的的模模拟拟信信号号转转换换为为时
6、时间间上上离离散散的的、幅幅值值上上整整量量化化的的数数字字信信号号（二二进进制制的的整整数数），实实际际上上具具有有对对信信号号在在时时间间点点上上采采样样，对对信信号号幅幅值值进行进行编码编码。（采样编码器）。（采样编码器）一一般般要要求求A/D转转换换器器具具有有足足够够的的字字长长（8bit、10bit、12bit、14bit），要要求求量量化化单单位位q足足够够小小。这这样样可可以以近近似似认认为为幅幅值值的的断断续续性性可可以忽略不记。以忽略不记。同同时时，若若采采样样编编码码的的时时间间可可以以忽忽略略，这这时时数数字字信信号号可可以以看看成成脉脉冲冲信信号，号，A/D转换器可以
7、认为采样周期为转换器可以认为采样周期为TS的理想采样开关。的理想采样开关。数字控制系统中的两个关键部件：数字控制系统中的两个关键部件：第8章第9页EXITD/A转转换换器器：把把离离散散的的数数字字信信号号转转换换为为连连续续模模拟拟信信号号。D/A转转换换器器有有两个工作过程：两个工作过程：（1）解码，解码，把离散的二进制数字信号转换为离散的模拟信号；把离散的二进制数字信号转换为离散的模拟信号；（2）模模拟拟信信号号复复现现，通通过过“保保持持器器”将将离离散散模模拟拟信信号号复复现现为为连连续续的的模拟信号，该信号才能真正驱动模拟放大器等。模拟信号，该信号才能真正驱动模拟放大器等。R(s)
8、C(s)G1（s）H（s）TsG3（s）TsG2（s）第8章第10页EXIT离散控制系统的优点离散控制系统的优点1.采样信号特别是数字信号的传递可以有效抑制噪声，提高抗采样信号特别是数字信号的传递可以有效抑制噪声，提高抗干扰能力；干扰能力；2.允许采用高灵敏度的控制元件，提高控制精度；允许采用高灵敏度的控制元件，提高控制精度；3.软件实现的控制规律易于改变，控制灵活，效果好；软件实现的控制规律易于改变，控制灵活，效果好；4.可以分时控制若干系统，提高设备利用率，经济性好；可以分时控制若干系统，提高设备利用率，经济性好；5.引入采样方式，使大延迟系统稳定。引入采样方式，使大延迟系统稳定。第8章第
9、11页EXIT8.1.2离散系统的研究方法离散系统的研究方法在在离离散散控控制制系系统统中中，系系统统至至少少有有一一处处的的信信号号是是一一个个脉脉冲冲序序列列，其其作作用用的的过过程程从从时时间间上上看看是是不不连连续续的的，控控制制的的过过程程是是断断断断续续续续的的，研研究究连连续续线线性性系系统统所所用用的的方方法法，例例如如拉拉普普拉拉斯斯变变换换，传传递递函函数数和和频频率率特特性性等等不不再再适适用用。研研究究离离散散控控制制系系统统的的数数学学基基础础是是Z变变换换，通通过过Z变变换换这这个个数数学学工工具具，可可以以把把以以前前学学习习过过的的传传递递函函数数，频频率率特特
10、性性，根根轨轨迹迹法法等等概概念念应应用用于于离离散散控控制制系系统统。Z变变换换是是分分析析单单输输入入单单输输出出线线性性定定常常离离散散控控制制系系统统的的有有力力数数学学工工具具。Z变变换换法法和和线线性性离离散散控控制制系系统统的的关关系系如如同同拉拉普普拉拉斯斯变变换换和和线线性性连连续续系系统统的的关关系一样。系一样。1.用用Z变换法建立离散系统的数学模型后进行分析、综合。变换法建立离散系统的数学模型后进行分析、综合。2.用离散系统的状态空间分析法（一阶差分方程组）对系统进行用离散系统的状态空间分析法（一阶差分方程组）对系统进行分析、设计。分析、设计。第8章第12页EXIT8.2
11、 8.2 8.2 8.2 信号的采样与保持信号的采样与保持信号的采样与保持信号的采样与保持第8章第13页EXIT采样过程：连续信号采样过程：连续信号采样器采样器离散信号离散信号8.2.1采样过程采样过程1.采样器的作用时间趋于采样器的作用时间趋于0 0而得到而得到的理想采样信号的理想采样信号 实际采样信号实际采样信号 设采样持续时间非常小，远设采样持续时间非常小，远小于采样时间间隔小于采样时间间隔,也远小于控也远小于控制系统中最大的时间常数。制系统中最大的时间常数。第8章第14页EXIT2理想脉冲序列理想脉冲序列 单位理想脉冲序列单位理想脉冲序列理想采样过程的数学描述理想采样过程的数学描述（重
12、要）：（重要）：第8章第15页EXIT脉冲产生的时刻脉冲产生的时刻nTs时刻脉冲强度时刻脉冲强度 把把窄窄脉脉冲冲信信号号当当作作理理想想脉脉冲冲信信号号处处理理是是近近似似的的，要要求求设设采采样样持持续续时时间间非非常常小小，远远小小于于采采样样时时间间间间隔隔,也也远远小于控制系统中最大的时间常数。一般都能满足。小于控制系统中最大的时间常数。一般都能满足。第8章第16页EXIT8.2.2采样定理：采样定理：连连续续信信号号x(t)经经过过采采样样而而变变成成离离散散信信号号x*(t)，这这种种离离散散化化处处理理不不会会丢丢失失原原来来连连续续信信号号x(t)所所含含有有的的信信息息？或
13、或者者说说，我我们们能能否否有有离离散散信信号号x*(t)无无失失真真地地恢恢复复原原来来连连续续信信号号x(t)？如如果果能能，离离散散化化处处理理需需要要满满足足什什么么条条件件？香香农农（shannon）采采样样定定理理解解决了这一问题。决了这一问题。第8章第17页EXIT 由以上分析可得出以下结论：由以上分析可得出以下结论：按间隔进行采样后，信号的傅立叶变换是周期函数，按间隔进行采样后，信号的傅立叶变换是周期函数，是原是原函数傅立叶变换的函数傅立叶变换的T TS S分之一按周期所进行的周期延拓。分之一按周期所进行的周期延拓。“等间等间隔离散化隔离散化”的函数的傅立叶变换是的函数的傅立叶
14、变换是“周期周期”频谱。频谱。1 1 采样信号的频谱采样信号的频谱 可得采样信号的傅氏变换为可得采样信号的傅氏变换为第8章第18页EXIT第8章第19页EXIT2、香农采样定理：、香农采样定理：第8章第20页EXIT如果采样器的如果采样器的输入信号输入信号具有有限带宽，具有最高频率具有有限带宽，具有最高频率为为的分量，只要采样周期满足以下条件：的分量，只要采样周期满足以下条件：信号信号可以从采样信号可以从采样信号中恢复过来。中恢复过来。第8章第21页EXIT 工工程程上上采采用用的的将将采采样样信信号号恢恢复复为为连连续续时时间间信信号号的的装装置置称称为为保持器，而最常用、最简单的保持器是零
15、阶保持器。保持器，而最常用、最简单的保持器是零阶保持器。D/A转换器转换器 理想低通滤器幅频特性理想低通滤器幅频特性 从从采采样样信信号号中中恢恢复复出出连连续续时时间间信信号号称称为为信信号号的的复复现现。在在满满足足采采样样定定理理的的前前提提下下，采采样样信信号号没没有有混混叠叠现现象象。这这样样，如如用用一一个个具具有有下下图图所所示示幅幅频频特特性性的的理理想想低低通通滤滤波波器器就就可可以以无无畸畸变变的的把把原原信号复现出来。信号复现出来。8.2.3信号的复现及零阶保持器信号的复现及零阶保持器第8章第22页EXIT脉冲过渡函数：脉冲过渡函数：幅值为幅值为1，持续时间为，持续时间为
16、 Ts对应的对应的L变换变换当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲当给零阶保持器输入一个理想单位脉冲，则脉冲响应，则脉冲响应（输出）（输出）零阶保持器零阶保持器可以将采样点幅值保持至下一个采样瞬时，把采可以将采样点幅值保持至下一个采样瞬时，把采样信号变为阶梯信号样信号变为阶梯信号 ：第8章第23页EXIT零阶保持器的频率特性零阶保持器的频率特性零阶保持器的特性：零阶保持器的特性：（1）低通特性）低通特性（2）相角迟后特性）相角迟后特性（3）时间迟后特性）时间迟后特性（平均（平均迟后时间迟后时间TS/2）第8章第24页EXIT8.3 Z8.3 Z8.3 Z8.3 Z变换变换变换变换第8章第25页EX
17、IT8.3.1Z变换的定义变换的定义(单边单边Z变换变换)连续连续信号信号：f（t）其理想采其理想采样样信号信号：z为变换为变换算子，是一个复算子，是一个复变变量量F（z）定义为采样信号定义为采样信号f*（t）的）的Z变换。变换。其其拉氏拉氏变换变换：第8章第26页EXIT说明：说明：F（z）实实际际上上是是理理想想采采样样信信号号f*（t）的的拉拉氏氏变变换换；从从定定义义上上看看,F（z）只只考考虑虑了了采采样样时时刻刻的的信信号号值值f（nTs）。对对于于一一个个连连续续函函数数f（t），由由于于采采样样时时刻刻的的值值就就是是f（nTs），因因此此F（z）既既是是采采样样信信号号f*（
18、t）的的Z变变换，也是连续信号换，也是连续信号f（t）的的z变换，即变换，即第8章第27页EXITz变变换换是是s变变换换的的变变形形，只只适适用用于于离离散散信信号号，只只表表征征连连续函数在采样时刻的特性，与采样时刻之间的特性无关。续函数在采样时刻的特性，与采样时刻之间的特性无关。是一个开放形式的级数，希望写成闭合式。是一个开放形式的级数，希望写成闭合式。第8章第28页EXIT1.级数求和法级数求和法已已知知连续连续函数函数f(t)的采的采样值样值f（nTs）8.3.2Z变换的求法变换的求法写成闭合式。写成闭合式。一般，一般，函数的函数的Z Z变换变换的的级级数形式都是收数形式都是收敛敛的
19、，的，可以写可以写成闭合形式。成闭合形式。第8章第29页EXIT例例8-1试试求求单单位位阶跃阶跃信号的信号的Z变换变换。解：单位阶跃函数解：单位阶跃函数1(t)1(t)在任何采样时刻的值均为在任何采样时刻的值均为1 1。即。即可写成闭合形式可写成闭合形式若若是一个等比级数，公比是一个等比级数，公比第8章第30页EXIT Z变换的无穷级数形式的物理含义：变换的无穷级数形式的物理含义：变变量量z-n的的系系数数代代表表了了连连续续时时间间函函数数在在各各采采样样时时刻刻的的采采样值样值。通过级数求和法求取通过级数求和法求取Z变换的缺点：变换的缺点：需要将无穷级数写成闭合形式。需要将无穷级数写成闭
20、合形式。第8章第31页EXIT2.部分分式法部分分式法已知已知连续连续函数函数f（t）的的拉氏变换拉氏变换对应对应Z变换变换第8章第32页EXIT例例8-2 8-2 求求拉氏变换为拉氏变换为 的连续函数的连续函数的的Z Z变换变换 。解：解：常用函数的常用函数的Z Z变换及相应拉氏变换见表变换及相应拉氏变换见表8.18.1。第8章第33页EXIT8.3.3Z变换的性质变换的性质1.1.线性定理线性定理 2.2.延迟定理（类似积分定理）延迟定理（类似积分定理）3.3.超前定理超前定理 （类似微分定理）（类似微分定理）初始条件初始条件第8章第34页EXIT5.5.初值定理初值定理 6.6.终值终值
21、定理定理 4.4.复位移定理复位移定理 第8章第35页EXIT8.3.4Z反变换反变换从原则上讲，经过从原则上讲，经过Z反变换反变换f（nTs）或记为或记为f（nTs）。1.长除法长除法2.部分分式法部分分式法方法：将方法：将展开成部分分式展开成部分分式将部分分式中的每一项乘以因子将部分分式中的每一项乘以因子z对照对照Z变换表变换表X(z)的反变换的反变换第8章第36页EXIT例例8-12设设，试用部分分式法求，试用部分分式法求f（n）解：解：第8章第37页EXIT8.4 8.4 8.4 8.4 离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型离散系统的数学模型第8章第38页EXIT 与
22、与连连续续系系统统的的分分析析相相同同，离离散散系系统统的的数数学学模模型型主主要要有有时时域域模模型型（差差分分方方程程）与与复复域域模模型型（脉脉冲冲传传递递函函数数）。二二者者之之间间可可相相互互转转换换，其其关关系系与与连连续续系系统统的的微微分分方方程程、传传递递函函数数相相同同。在在离离散散控控制制系系统统中中，连连续续信信号号被被离离散散时时间间信信号号所所取取代代，描描述述系系统统的的时时域域模模型型就就成成了了差差分分方方程程，系统用变量的前后序列差表示。系统用变量的前后序列差表示。第8章第39页EXIT8.4.1脉冲传递函数（重点）脉冲传递函数（重点）1.定义定义 在零初始
23、条件下在零初始条件下 脉脉冲冲传传递递函函数数是是分分析析离离散散控控制制系系统统最最重重要要的的数数学学工工具具，它它的的作作用用同同分分析析连连续续系系统统的的数数学学工工具具传传递递函函数数相相当当，是是分分析析与与设设计计系系统统的前提。的前提。G(s)c(t)Tsr*(t)R(z)Tsc*(t)C(z)r(t)G(z)第8章第40页EXIT2脉冲传递函数的物理意义脉冲传递函数的物理意义对对于于上上图图所所示示系系统统，系系统统处处于于零零初初始始状状态态，输输入入信信号号为为r（t）=（t），则有则有r*（t）=（t），），R（z）=1。则则该该系系统统的的响响应应与与无无采采样样开
24、开关关时时的的响响应应相相同同，为为连连续续系系统统G（s）的的单单位脉冲响应，可用位脉冲响应，可用g（t）表示表示 g（t）=L-1G（s）系统虚设的输出序列的系统虚设的输出序列的z变换为变换为C（z）=Zg*（t）=Zg（t）=Z L-1G（s）并满足并满足C（z）=G（z）R（z）=G（z）因此，该线性离散系统的脉冲传递函数为因此，该线性离散系统的脉冲传递函数为 G（z）=Z L-1G（s）第8章第41页EXIT以以上上分分析析说说明明，对对于于图图所所示示的的线线性性环环节节与与采采样样开开关关相相串串联联所所组组成成的的离离散散系系统统，其其脉脉冲冲传传递递函函数数G（z）是是连连续
25、续环环节节G（s）脉脉冲冲过过渡渡函函数数g（t）经经采采样样后后得得到到的的离离散散信信号号g*（t）的）的z变换。变换。G（z）=ZL-1G（s）G(s)c(t)Tsr*(t)R(z z)Tsc*(t)C(z z)r(t)G(z z)第8章第42页EXIT说明：说明：（1）G（s）一个线性环节的传递函数一个线性环节的传递函数G（z）是是线线性性环环节节与与采采样样开开关关相相串串联联的的离离散散系系统统的的脉脉冲冲传递函数传递函数。（2）用用G（z）只只能能得得出出输输出出信信号号的的采采样样序序列列C（z），为为了了强强调调这这一点，往往在输出端画上一个假想的同步采样开关。一点，往往在输
26、出端画上一个假想的同步采样开关。（3）表征离散系统的固有特性，与表征离散系统的固有特性，与1系统结构、参数；系统结构、参数；2采样周期；采样周期；3采样开关的具体位置有关。采样开关的具体位置有关。第8章第43页EXIT3脉冲传递函数的基本求法脉冲传递函数的基本求法连续系统的传递函数连续系统的传递函数G(s)事实上：事实上：（2）已知差分方程，进行已知差分方程，进行Z变换，两者可转换变换，两者可转换G(z)=Z L-1G(s)但，但，（1）按定义）按定义脉冲响应函数脉冲响应函数g(t)按采样周期离散化按采样周期离散化g*(t)变换变换G(z)G(s)G(z)Z变换表变换表第8章第44页EXIT例
27、例8-16求图示系统的脉冲传递函数。求图示系统的脉冲传递函数。解：解：得得 c(t)TsTsr(t)第8章第45页EXIT例例8-17求图示系统的脉冲传递函数。求图示系统的脉冲传递函数。解：解：查查Z变换表变换表，得，得 c(t)TsTsr(t)由由以以上上例例题题可可见见，原原连连续续系系统统传传递递函函数数G（s）的的阶阶次次与与加加入入采采样样开开关关后后的的离离散散系系统统脉脉冲冲传传递递函函数数G（z）的的阶阶次次完全相同。完全相同。第8章第46页EXIT8.4.2开环系统的脉冲传递函数开环系统的脉冲传递函数 当当离离散散系系统统中中有有两两个个连连续续环环节节串串联联时时，他他们们
28、之之间间有有无无采采样样开开关关，系系统统的的脉脉冲冲传传递递函函数数是是不不同同的。的。第8章第47页EXIT1.环节串联时的脉冲传递函数环节串联时的脉冲传递函数结结论论：被被理理想想采采样样开开关关隔隔开开的的n个个线线性性环环节节串串联联时时，其其脉脉冲冲传传递递函函数数为为每每个个环环节节所所对应的脉冲传递函数之积对应的脉冲传递函数之积 r(t)c(t)G1(s)G2(s)Tsx(t)G1(z z)G2(z z)TsX(z z)第8章第48页EXIT2.连续环节之间有同步采样开关连续环节之间有同步采样开关r(t)c(t)G1(s)G2(s)Tsx(t)G1(z z)G2(z z)第8章
29、第49页EXIT例例8-18解：解：两环节之间有采样开关时两环节之间有采样开关时两两环环节节串串联联,G1(s)前前有有一一采采样样开开关关,比比较较两两环环节节之之间间有有无无采采样样开开关关时时脉冲脉冲传递传递函数有何区函数有何区别别。第8章第50页EXIT 两环节之间无采样开关时两环节之间无采样开关时因此因此,环节之间有环节之间有无采样开关，两个系统的脉冲传递无采样开关，两个系统的脉冲传递函数往往是不同的，但极点是相同的，只是零点不同。函数往往是不同的，但极点是相同的，只是零点不同。第8章第51页EXIT3.3.带带有零有零阶阶保持器保持器的开环系统的脉冲传递函数的开环系统的脉冲传递函数
30、 上式第二上式第二项项可以写可以写为为采样后带有零阶保持器的系统的脉冲传递函数为采样后带有零阶保持器的系统的脉冲传递函数为r(t)c(t)G(s)Ts零阶保持器零阶保持器连续环节连续环节R(z z)C(z z)第8章第52页EXIT例例8-19采样控制系统如图所示，试求其脉冲传递函数。采样控制系统如图所示，试求其脉冲传递函数。解解：系系统统脉冲脉冲传递传递函数函数为为：可见，零阶保持器的引入对系统脉冲传递函数的阶次无影响。可见，零阶保持器的引入对系统脉冲传递函数的阶次无影响。第8章第53页EXIT4连续信号直接进入连续环节时的脉冲传递函数连续信号直接进入连续环节时的脉冲传递函数 连续环节连续环
31、节G1（s）的输入信号为的输入信号为连续信号连续信号r(t)，输出的连续信号为输出的连续信号为e(t)。e(t)经采样开关后得到离散信号经采样开关后得到离散信号e*(t)，z变换为变换为而连续环节而连续环节G2（s）输入采样输入采样信号信号e*(t)，其输出序列的其输出序列的z变换为变换为以以上上分分析析表表明明，若若对对于于某某离离散散系系统统，当当连连续续信信号号首首先先进进入入连连续续环环节节时时，该该系系统统无无法法写写出出脉脉冲冲传传递递函函数数的的形形式式，只能求出输出序列只能求出输出序列C（z）的表达式。的表达式。G2(s)r(t)c(t)Tse*(t)E(z z)Tsc*(t)
32、C(z z)G1(s)e(t)第8章第54页EXIT8.4.3离散控制系离散控制系统统的的闭环闭环脉冲脉冲传递传递函数函数由由于于离离散散控控制制系系统统中中，既既有有连连续续信信号号的的传传递递,又又有有离离散散信信号号的的传传递递,所所以以在在分分析析离离散散控控制制系系统统时时与与连连续续系系统统分分析析不不同同，需需要要增增加加符符合合离离散散传传递关系的分析。递关系的分析。1采样信号拉氏变换的重要性质采样信号拉氏变换的重要性质采采样样函函数数的的拉拉氏氏变变换换G*1（s）与与连连续续函函数数的的拉拉氏氏变变换换G2（s）相相乘乘后后再再离离散化，则散化，则G*1（s）可以从离散符号
33、中提出来，即可以从离散符号中提出来，即与此相比较，若连续信号相乘后再离散化，则有与此相比较，若连续信号相乘后再离散化，则有第8章第55页EXIT离散系统的典型结构离散系统的典型结构1 1r(t)c(t)G(s)H(s)Tsb(t)e(t)e*(t)2离散控制系离散控制系统统的的闭环闭环脉冲脉冲传递传递函数函数考考虑虑到离散信号拉氏到离散信号拉氏变换变换的相关性的相关性质质，则则偏差信号离散化后的偏差信号离散化后的s变换为变换为第8章第56页EXIT闭环系统的特征方程：闭环系统的特征方程：开环脉冲传递函数：开环脉冲传递函数：应当注意：离散系统的闭环脉冲传递函数不应当注意：离散系统的闭环脉冲传递函
34、数不能从对应的连续系统传递函数的能从对应的连续系统传递函数的Z变换直接得到。变换直接得到。第8章第57页EXIT例例8-20已知离散控制系统结构如下图所示，前向传递函数已知离散控制系统结构如下图所示，前向传递函数，反馈传递函数，反馈传递函数H（s）=1，试计算系统的闭环脉冲传递函试计算系统的闭环脉冲传递函数。数。解：解：r(t)c(t)G(s)H(s)Tsb(t)e(t)e*(t)第8章第58页EXIT第8章第59页EXIT离散控制系统的典型结构离散控制系统的典型结构2e(t)c(t)r(t)Gc(s)G(s)Tsx(t)TsH(s)b(t)第8章第60页EXIT解解：例例8-21 已知离散控
35、制系统结构如图所示，试计算系统的闭已知离散控制系统结构如图所示，试计算系统的闭环脉冲传递函数。环脉冲传递函数。e(t)c(t)r(t)TsTsb(t)零阶保持器零阶保持器第8章第61页EXIT第8章第62页EXIT 此此系系统统为为三三阶阶离离散散系系统统，零零阶阶保保持持器器的的引引入入并并不不影影响响系系统统的的阶阶次次。离离散散控控制制系系统统中中，某某些些采采样样开开关关的的配配置置可可使使系系统统不不存存在在闭闭环环脉脉冲冲传传递递函函数数，但但若若已已知知外外输输入入信信号号，可可得得输输出出信信号号的的Z Z变变换换表表达达式。式。第8章第63页EXIT表表8.3典型离散控制系统
36、结构图及输出信号典型离散控制系统结构图及输出信号C（z）第8章第64页EXIT第8章第65页EXIT第8章第66页EXIT结论：结论：1）利利用用z变变换换只只能能求求出出输输出出信信号号离离散散序序列列的的z变变换换，采采样样开开关关的的不不同同位位置置，导导致致了了闭闭环环系系统统输输出出C（z）具具有有不不同同的的形形式式，若若输输出出信信号号为为连连续续信信号号，可可以以在在输输出出端端虚虚设设采采样样开开关关表表明明只只能求取输出信号在采样瞬时的值。能求取输出信号在采样瞬时的值。2）当当输输入入信信号号与与第第一一个个连连续续环环节节之之间间（即即比比较较环环节节之之后后）无无采采样
37、样开开关关时时，则则应应利利用用输输入入信信号号拉拉氏氏变变换换函函数数R（s）与与相相连连环环节节传传递递函函数数G1（s）乘乘积积RG1（s）的的z变变换换RG1（z），以以求求出出输输出出序序列列的的z变变换换C（z），但但无无法法定定义义（z）=C（z）/R（z）。）。3）离散系统的脉冲传递函数与连续系统的传递函数作用类离散系统的脉冲传递函数与连续系统的传递函数作用类似，表征离散系统的固有特性，与系统连续部分的结构、参似，表征离散系统的固有特性，与系统连续部分的结构、参数，采样周期，采样开关的具体位置有关。数，采样周期，采样开关的具体位置有关。第8章第67页EXIT4）离离散散系系统统
38、脉脉冲冲传传递递函函数数（z）与与相相应应的的连连续续系系统统的的闭闭环环传传递递函函数数（s）具具有有相相似似的的形形式式，可可以以根根据据（s）再再考考虑虑离离散散系系统统采采样样开开关关的的位位置置直直接接写写出出离离散散系系统统的的（z）；当当环环节节G1（s）与与环环节节G2（s）之之间间无无采采样样开开关关隔隔开开时时，利用相连环节传递函数拉氏变换乘积的利用相连环节传递函数拉氏变换乘积的z变换变换G1G2（z）。）。需需要要注注意意的的是是，由由于于研研究究的的是是采采样样输输入入与与采采样样输输出出之之间间的的关关系系，当当输输入入信信号号与与输输出出信信号号之之间间（前前向向通
39、通道道）无无采采样样开开关关时时，由由于于输输入入信信号号未未经经采采样样就就流流向向输输出出端端，则则无无法法利利用用上上述述规规律律直直接接求求系系统统的的输输出出序序列列C（z），必必须须严严格格按按照信号之间的关系求取照信号之间的关系求取C（z）。）。第8章第68页EXIT8.4.4应用应用z z变换分析离散系统的局限性与条件变换分析离散系统的局限性与条件 由以上分析可知，对于离散控制系统，若希望将由以上分析可知，对于离散控制系统，若希望将采样点上的值采样点上的值C（nTs）平滑地连接以代表相应的连续信号平滑地连接以代表相应的连续信号C（t），），则输出响应曲线则输出响应曲线C（t）应
40、该是应该是光滑无跳变的，即系统的连续部分应该能够光滑输入的脉冲序列，输出信光滑无跳变的，即系统的连续部分应该能够光滑输入的脉冲序列，输出信号在采样点不应该发生跳变。号在采样点不应该发生跳变。C（nTs）t/s0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 图图C（nTs）与）与C（t）响应曲线响应曲线1.582C（t）C*（t）0.582第8章第69页EXIT则则连连续续系系统统对对于于一一序序列列理理想想脉脉冲冲信信号号作作用用下下的的输输出出在在每每个个采采样样点点都都不不会会产产生生跳跳变变，输输出出的的响响应应曲曲线线将将是是平平滑滑的的曲曲线线，C（nTs）能能够够准准确确描描述述实实际际的
41、的输输出出信信号号C（t）。在在前前面面的的分分析析中中已已经经指指出出，为为了了使使采采样样信信号号不不失失真真地地复复现现原原连连续续信信号号，应应该该满满足足两两个个条条件件：采采样样频频率率满满足足香香农农采采样样定定理理；采采样样信信号号应应该该通通过过低低通通滤滤波波器器滤滤掉掉采采样样引引起起的的高高频频分分量量，其其物物理理意意义义是是采采样样开开关关后后接接的的连连续续环环节节应应该该具具有有较较好好的的低低通通滤滤波波特特性性，则则采样后的信号可以恢复为原信号。采样后的信号可以恢复为原信号。当当连连续续部部分分传传递递函函数数G（s）的的极极点点比比零零点点的的个个数数多多
42、于于2个个（分分母母的的阶阶次次n与与分分子子的的阶阶次次m之之差差n-m2）时时，G（s）在在单单位位脉脉冲冲信信号号（t）作作用用下的脉冲过渡函数下的脉冲过渡函数g（t）在在0时刻时无跳变，即：时刻时无跳变，即：第8章第70页EXIT 当当连连续续环环节节传传递递函函数数G（s）的的极极点点与与零零点点数数不不满满足足上上述述条条件件时时，如如果果离离散散系系统统在在采采样样开开关关之之后后串串联联了了零零阶阶保保持持器器，则则采采样样开开关关输输出出的的每每个个脉脉冲冲信信号号被被零零阶阶保保持持器器保保持持为为矩矩形形信信号号，脉脉冲冲序序列列变变为为了了连连续续的的阶阶梯梯信信号号，
43、系系统统的的输输出出C（t）在在每每个个采采样样点也不会产生跳变。点也不会产生跳变。实实际际上上，对对于于大大多多数数离离散散系系统统，其其连连续续部部分分的的传传递递函函数数都都满满足足极极点点比比零零点点的的个个数数多多于于2个个的的条条件件；同同时时，对对于于大大多多数数数数字字控控制系统，制系统，D/A转换器都具有零阶保持器的作用。转换器都具有零阶保持器的作用。综综上上所所述述，对对于于大大多多数数离离散散系系统统，其其输输出出信信号号C（t）都都是是平平滑滑无无跳跳变变的的，通通过过z变变换换所所求求取取的的输输出出脉脉冲冲序序列列C（z）完完全全可可以以准确地描述实际的输出信号准确
44、地描述实际的输出信号C（t）。）。第8章第71页EXIT8.4.5差分方程差分方程图图所所示示是是一一个个离离散散控控制制系系统统，图图中中g（t）是是系系统统连连续续部部分分的的脉脉冲冲响响应应函函数数。系系统统的的输输入入信信号号r(t)经经理理想想开开关关采采样样后后变变成成一一个个理理想想脉脉冲冲序序列列r*(t)G（s）r(t)c(t)Tsr*(t)Tsc*(t)在某一采样瞬时在某一采样瞬时t=nTs，输出信号的瞬时值为输出信号的瞬时值为第8章第72页EXIT例例8-25求上图所示系统的差分方程，求上图所示系统的差分方程，其中其中解：系统连续部分的脉冲响应函数为解：系统连续部分的脉冲
45、响应函数为在在t=nTs瞬时的输出为瞬时的输出为 由以上两式得由以上两式得为了强调是序列，可令采样周期为为了强调是序列，可令采样周期为1 1s，则上式可写成则上式可写成第8章第73页EXIT上上式式就就是是描描述述图图所所示示离离散散控控制制系系统统的的差差分分方方程程，也也称称前前向向差差分分方方程程。由由于于此此离离散散系系统统在在任任一一采采样样时时刻刻的的输输出出值值c（n+1）与与系系统统在在前前一一采采样样时时刻刻的的输输出出值值c（n）有有关关，称称为为一一阶阶差差分分方方程程。从从此此系系统统的的差差分分方方程程可可见见，系系统统在在任任一一采采样样时时刻刻的的输输出出值值c（
46、n+1）也也与与系系统统在在当当前前采采样样时时刻刻的的输输入入瞬瞬时时值值r（n）有有关关，即即某某一一采采样样瞬瞬时时的的输输入入将将立立刻刻改改变变系系统统在在此此采采样样时时刻的输出瞬时值，说明了系统的输出在每个采样时刻将发生跳变。刻的输出瞬时值，说明了系统的输出在每个采样时刻将发生跳变。对对于于n阶阶连连续续系系统统所所构构成成的的离离散散系系统统，其其时时域域模模型型是是n阶阶差差分分方方程程，即当前采样时刻的输出与系统在过去即当前采样时刻的输出与系统在过去n个采样时刻的输出有关。个采样时刻的输出有关。第8章第74页EXIT2.应用应用Z变换求解差分方程变换求解差分方程（类似用（类
47、似用s变换求解微分方程）变换求解微分方程）已已知知外外输输入入和和初初始始条条件件时时，可可以以用用迭迭代代解解法法求求出出在在任任一一采采样样时时刻刻的的输输出出值值，但但输输出出在在采采样样时时刻刻的的一一般般表表达达式式却却很很难难得得到到。但但利利用用Z变变换换可以实现。可以实现。利用利用Z变换的超前定理变换的超前定理(Ts=1s)将差分方程将差分方程代数方程代数方程第8章第75页EXIT解：对差分方程两边取解：对差分方程两边取Z Z变换变换例例8-26用用Z变换法解二阶差分方程变换法解二阶差分方程代入初始条件化简得代入初始条件化简得 得得:第8章第76页EXIT3、差分方程与脉冲传递
48、函数的相互转换、差分方程与脉冲传递函数的相互转换解：解：差分方程差分方程脉冲传递函数脉冲传递函数 已知已知求解求解求解求解已知已知例例8-27设初始条件为设初始条件为0，已知差分方程，已知差分方程，试求脉冲传递函数，试求脉冲传递函数G（z）。）。第8章第77页EXIT解：将上式等号两边分子、分母交叉相乘，得解：将上式等号两边分子、分母交叉相乘，得例例8-28已知脉冲传递函数，试求差分方程已知脉冲传递函数，试求差分方程。在零初始条件下，应用在零初始条件下，应用z变换实位移定理，得变换实位移定理，得第8章第78页EXIT 在在离离散散系系统统分分析析中中，最最常常用用的的数数学学模模型型仍仍然然是
49、是脉脉冲冲传传递递函函数数，差差分分方方程程由由于于便便于于用用迭迭代代法法求求解解，主主要要用用于于数数字字计计算算机机求求解解，但但一一般般不不能能得得到到解的闭合形式。解的闭合形式。第8章第79页EXIT8.5 8.5 8.5 8.5 离散系统的稳定性分析离散系统的稳定性分析离散系统的稳定性分析离散系统的稳定性分析第8章第80页EXIT建建立立起起离离散散系系统统的的数数学学模模型型（脉脉冲冲传传递递函函数数）后后，就就能能够够分分析析离离散散系系统统各各方方面面的的性性能能。与与连连续续系系统统的的性性能能分分析析类类似似，分分析析离离散散控控制制系系统统主主要要包包括括对对系系统统稳
50、稳定定性性、稳稳态态性性能能、动动态态性能的分析。性能的分析。由由于于离离散散系系统统的的拉拉氏氏变变换换是是s的的超超越越函函数数，不不能能直直接接使使用用连连续续系系统统的的相相关关分分析析方方法法，离离散散系系统统分分析析必必须须在在z变变换换的的基基础上进行。础上进行。第8章第81页EXIT8.5.1离散系统稳定的充分必要条件离散系统稳定的充分必要条件设设系系统统为为零零初初始始状状态态，则则在在单单位位理理想想脉脉冲冲信信号号作作用用下下输输出的出的Z变换为变换为当当C(z z)无重根时（如果有重根，结论相同）无重根时（如果有重根，结论相同）：为为C(z z)的的单单极极点点，也也是