自动控制原理 第8章 离散控制系统.ppt

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1、第第8章章 离散控制系统离散控制系统本章重点内容:本章重点内容:离散控制系统概念离散控制系统概念Z变换及其应用变换及其应用离散控制系统数学描述离散控制系统数学描述离散控制系统性能分析离散控制系统性能分析8.1 引引 言言含有在时间上离散的信号的控制系统就是含有在时间上离散的信号的控制系统就是离散系统。例如图离散系统。例如图8-1所示成分控制系统,所示成分控制系统,由于色谱分析需要一定时间,因此色谱只由于色谱分析需要一定时间,因此色谱只能每隔一定时间采能每隔一定时间采 样一次,控制器得样一次,控制器得 到的不是关于受控到的不是关于受控 对象的连续信息,对象的连续信息,而是在时间上的离而是在时间上

2、的离 散信息。散信息。图图8-1 8-1 色色谱谱采采样样的成分控制系统的成分控制系统图图8-2 8-2 计算机控制系统的基本组成计算机控制系统的基本组成 图图8-3 8-3 计算机控制系统的工作流程示意图计算机控制系统的工作流程示意图图图8-4 8-4 计算机控制系统的方块图计算机控制系统的方块图图图8-5 8-5 采样环节的简化采样环节的简化图图8-6 8-6 计计算算机机控控制系统方块图制系统方块图图图8-7 8-7 计算机控制多路控制系统计算机控制多路控制系统8.2 信号的采样与复现信号的采样与复现把连续信号变为脉冲或数字序列的过程叫把连续信号变为脉冲或数字序列的过程叫做采样做采样(s

3、ample)。实现采样的装置称为采。实现采样的装置称为采样器,又名采样开关。反之,把采样后的样器,又名采样开关。反之,把采样后的离散信号恢复为连续信号离散信号恢复为连续信号(continuous-time signal)的过程称为信号的复现。的过程称为信号的复现。图图8-8 8-8 信号的采样信号的采样图图8-9 8-9 信号的采样信号的采样(8-1)(8-1)(8-2)(8-2)图图 8-10 8-10 采样脉冲的调制过程采样脉冲的调制过程考虑到当考虑到当 时,时,这一事实,式这一事实,式(8-2)便简化为便简化为式中,式中,表示脉冲产生的时刻表示脉冲产生的时刻(采样时采样时刻刻);为为kT

4、时刻的脉冲强度。时刻的脉冲强度。必须指出,上述把窄脉冲信号当作理想脉必须指出,上述把窄脉冲信号当作理想脉冲信号处理是近似的,也是有条件的,即冲信号处理是近似的,也是有条件的,即要求采样的持续时间要求采样的持续时间要远小于采样周期要远小于采样周期T和系统中受控对象的最小时间常数。这一和系统中受控对象的最小时间常数。这一要求在一般的系统中都能得到满足。要求在一般的系统中都能得到满足。(8-3)8.2.2 采样定理采样定理 由图由图8-10可直观地看出,采样周期可直观地看出,采样周期T越小越小(采采样频率越高样频率越高),离散信号,离散信号 越接近于连续越接近于连续信号信号 ;反之,若;反之,若T过

5、大过大(采样频率越低采样频率越低),则,则 就不能准确地反映就不能准确地反映 的变化,即的变化,即由由 无法真实地复现连续信号无法真实地复现连续信号 。为使。为使离散信号离散信号 能不失真地恢复为连续信号能不失真地恢复为连续信号 ,应采用多高的采样频率呢?这就是下述,应采用多高的采样频率呢?这就是下述香农定理的内容。香农定理的内容。(8-4)(8-4)(8-5)(8-5)(8-6)(8-6)(8-7)(8-7)图图8-11 8-11 和和 的频谱的频谱 (8-8)(8-8)若把若把 送到具有图送到具有图8-12所示特征的理想滤所示特征的理想滤波器的输入端,则其输出就是原来的连续波器的输入端,则

6、其输出就是原来的连续信号信号 。如果。如果s2max,则就会出现,则就会出现图图8-13所示的相邻频谱重叠的现象。所示的相邻频谱重叠的现象。图图8-12 8-12 理想滤波器特性理想滤波器特性图图8-138-13 时的频谱时的频谱 保持器是一种时域的外推装置,即按过去保持器是一种时域的外推装置,即按过去或现在时刻的采样值进行外推。通过把按或现在时刻的采样值进行外推。通过把按常数、线性函数和抛物线函数外推的保持常数、线性函数和抛物线函数外推的保持器分别称为零阶、一阶、二阶保持器。由器分别称为零阶、一阶、二阶保持器。由于一阶和二阶保持器的结构复杂,而且在于一阶和二阶保持器的结构复杂,而且在采样频率

7、足够高的情况下,它们的性能并采样频率足够高的情况下,它们的性能并不比零阶保持器具有明显突出的优点。因不比零阶保持器具有明显突出的优点。因此,这里只讨论零阶保持器,并用符号此,这里只讨论零阶保持器,并用符号ZOH来表示。来表示。图图8-14 8-14 零阶保持器的输出特性零阶保持器的输出特性(8-9)(8-9)(8-10)(8-10)(8-11)(8-11)图图8-15 ZOH8-15 ZOH的幅频特性和相频特性的幅频特性和相频特性图图 8-16 8-16 由由ZOHZOH恢复的恢复的 信号信号8.3 z变换与变换与z反变换反变换z变换是分析离散控制系统的一种常用方法,变换是分析离散控制系统的一

8、种常用方法,它是由拉氏变换演变而来的。和线性连续它是由拉氏变换演变而来的。和线性连续控制系统的传递函数一样,用控制系统的传递函数一样,用z变换导出离变换导出离散控制系统的脉冲传递函数同样成为研究散控制系统的脉冲传递函数同样成为研究这种系统的一种非常有效的数学工具。这种系统的一种非常有效的数学工具。由于上式中的由于上式中的 是是s的初等超越函数,它的初等超越函数,它不便于直接计算,为此引入一个新的不便于直接计算,为此引入一个新的 变变 量,于是式量,于是式(8-11)就改写为就改写为式式(8-13)定义为离散信号定义为离散信号 的的z变换,并记变换,并记为为(8-13)(8-13)(8-14)(

9、8-14)必须注意,必须注意,表示对离散信号表示对离散信号(discrete signal)的的z变换,它只表征连续信号在变换,它只表征连续信号在采样时刻的信息。由于习惯上的原因,人采样时刻的信息。由于习惯上的原因,人们也称们也称 是是 或的或的z变换。但其含义是指变换。但其含义是指离散信号离散信号 的的z变换。变换。与与 一一对应,一一对应,但是与但是与 不是一一对应,只要在采样时刻不是一一对应,只要在采样时刻函数值相等,函数值相等,z变换就相同。变换就相同。图图8-178-17 和和 的采样值相同的采样值相同 下面介绍三种常用的求取下面介绍三种常用的求取z变换的方法。变换的方法。1.级数求

10、和法级数求和法 如果已知连续函数如果已知连续函数 在各采样时刻的采样在各采样时刻的采样值值 ,就可以按式,就可以按式(8-14)写出其写出其z变换的变换的级数展开式。由于该级数具有无穷多项,级数展开式。由于该级数具有无穷多项,如果不把它写为闭合形式,则难于应用。如果不把它写为闭合形式,则难于应用。不过,在一定的条件下,常用函数不过,在一定的条件下,常用函数z变换的变换的级数展开式都能写为闭合形式。级数展开式都能写为闭合形式。(8-15)(8-15)(8-16)(8-16)2.部分分式法部分分式法设设 的拉氏变换为的拉氏变换为将上式展开为部分分式和的形式,即将上式展开为部分分式和的形式,即例例8

11、-4 求求 。解:因为解:因为又又所以所以 (8-19)3.留数留数(residue)计算法计算法设设 的拉氏变换为的拉氏变换为 ,且其为真有理分,且其为真有理分式,令式,令 为为 的极点,则的极点,则 的的z变换可通过计算下列的留数求得,即变换可通过计算下列的留数求得,即 (8-20)式中,式中,为为 在上在上 的留数。的留数。(8-22)(8-22)(8-23)(8-23)(8-24)(8-24)(8-25)(8-25)证明:由证明:由z变换的定义得变换的定义得(8-26)(8-27)(8-27)5.复数位移定理复数位移定理设设 ,则,则证明:由证明:由z变换的定义得变换的定义得令令 ,则

12、上式改写为,则上式改写为(8-28)(8-28)6.卷积和定理卷积和定理设设 、和和 的的z变换分别为变换分别为 、和和 ,且当,且当 时,时,。已知。已知则则(8-29)(8-29)8.3.3 z反变换反变换上述把采样信号上述把采样信号 变换为变换为 的过程称为的过程称为z变换;反之,把变换;反之,把 变换为变换为 的过程叫做的过程叫做z的反变换的反变换(inverse z-transform),并记为,并记为 显然,由显然,由z反变换求得的时间函数是离散的,反变换求得的时间函数是离散的,而不是连续函数。而不是连续函数。常用的常用的z反变换求法有三种。反变换求法有三种。(8-30)(8-30

13、)2.部分分式法部分分式法用部分分式法求用部分分式法求z反变换,与用部分分式法反变换,与用部分分式法求拉氏变换的思路相类似。由于求拉氏变换的思路相类似。由于 的分子的分子中通常含有因子中通常含有因子z,为方便起见,通常先把,为方便起见,通常先把 除以除以z,然后再将,然后再将 展开为部分分式。展开为部分分式。对于式对于式(8-30)所示的所示的 ,用部分分式法取,用部分分式法取z反变换的步骤是:反变换的步骤是:(1)将将 分母的多项式分解为因式。分母的多项式分解为因式。(2)把把 展开为部分分式,使所求部分展开为部分分式,使所求部分分式的各项能在表分式的各项能在表8-1中查到相应的中查到相应的

14、 。(8-31)(8-31)解:解:即WORDS AND PHRASES离散信号离散信号 discrete-time signalz变换变换Z-transform留数留数 residuez反变换反变换inverse Z-transform8.4 脉冲传递函数脉冲传递函数 离散系统的输入和输出都是脉冲序列,离散系统的输入和输出都是脉冲序列,离散系统的传递函数叫做脉冲传递函数,它离散系统的传递函数叫做脉冲传递函数,它的作用是将系统的输入脉冲序列转换为输出的作用是将系统的输入脉冲序列转换为输出脉冲序列。与线性连续系统传递函数的定义脉冲序列。与线性连续系统传递函数的定义相类似,相类似,离散系统脉冲传递

15、函数的定义是:离散系统脉冲传递函数的定义是:在零初始条件下,输出离散时间信号的在零初始条件下,输出离散时间信号的z变变换换 与输入离散时间信号的与输入离散时间信号的z变换变换 之比,之比,即即对应于式对应于式(8-32)的框图如图的框图如图8-19所示。如果所示。如果已知已知 和和 ,根据式,根据式(8-32)就可以求得就可以求得系统输出的脉冲序列系统输出的脉冲序列(pulse train)为为由上式可知,求由上式可知,求 的关键在于如何求取系的关键在于如何求取系统的脉冲传递函数统的脉冲传递函数 。(8-32)(8-32)由于连续对象由于连续对象G(s)的脉冲响应是时间的脉冲响应是时间t的连的

16、连续函数,而续函数,而z变换只能表示连续时间函数在变换只能表示连续时间函数在采样时刻的采样值,因而在求取连续对象采样时刻的采样值,因而在求取连续对象G(s)脉冲传递函数时,应取脉冲传递函数时,应取G(s)输出的脉输出的脉冲序列作为输出量。为此,在系统的输出冲序列作为输出量。为此,在系统的输出端可虚拟一个用虚线表示的同步采样开关,端可虚拟一个用虚线表示的同步采样开关,如图如图8-19所示。所示。图图8-19 8-19 脉冲传递函数脉冲传递函数根据叠加原理根据叠加原理(superposition theorem),系统的输出为下列的脉冲响应之和系统的输出为下列的脉冲响应之和式中,式中,g(t)为系

17、统的单位理想脉冲响应函数,为系统的单位理想脉冲响应函数,在在t=kT时刻,系统的输出为时刻,系统的输出为(8-33)(8-33)式中,式中,C(z)、R(z)和和G(z)分别为分别为 、和和 的的z变换。由此可知,离散系统的脉变换。由此可知,离散系统的脉冲传递函数就是系统单位脉冲响应函数采冲传递函数就是系统单位脉冲响应函数采样值的样值的z变换,即变换,即当已知图当已知图8-19中的传递函数时中的传递函数时G(s),先用,先用拉氏变换求出系统的单位脉冲响应拉氏变换求出系统的单位脉冲响应g(t),然,然后对后对g(t)进行进行z变换,就得到系统的脉冲传变换,就得到系统的脉冲传递函数递函数G(z)。

18、(8-34)(8-34)8.4.1 串联环节的脉冲传递函数串联环节的脉冲传递函数先介绍离散函数的拉氏变换的两个性质。先介绍离散函数的拉氏变换的两个性质。性质性质1:若若 则则性质性质2:这两个性质是用于求离散系统脉冲传递函这两个性质是用于求离散系统脉冲传递函数的重要工具。当环节串联时,环节之间数的重要工具。当环节串联时,环节之间有、无采样开关存在,其等效的脉冲传递有、无采样开关存在,其等效的脉冲传递函数是不同的。函数是不同的。图图8-20 8-20 串联环节的两种连接形式串联环节的两种连接形式根据脉冲传递函数的定义得根据脉冲传递函数的定义得因而有因而有(8-35)(8-35)上式表示,上式表示

19、,当两个串联环节之间有采样开当两个串联环节之间有采样开关时,其等效的脉冲传递函数就等于这两关时,其等效的脉冲传递函数就等于这两个环节脉冲传递函数的乘积。个环节脉冲传递函数的乘积。这个结论可这个结论可推广到个环节相串联且相邻两环节间都有推广到个环节相串联且相邻两环节间都有采样开关的场合。采样开关的场合。对于图对于图8-20(b)所示的连续形式,就不能用所示的连续形式,就不能用上面得出的结论。根据脉冲传递函数的定上面得出的结论。根据脉冲传递函数的定义,这种连接形式的等效脉冲传递函数为义,这种连接形式的等效脉冲传递函数为(8-36)(8-36)上上式中,式中,表示表示 乘积的乘积的z变换。变换。通常

20、通常 。例例8-11 设图设图8-20中中 ,试求上述两种连接形式的脉冲传递函数试求上述两种连接形式的脉冲传递函数解:解:对图对图8-20(a),它的脉冲传递函数为,它的脉冲传递函数为例例8-12 求图求图8-21(a)所示的系统的脉冲传递所示的系统的脉冲传递函数,图中函数,图中 为零阶保持器为零阶保持器(zero-order hold)。解:解:根据脉冲传递函数的定义,图根据脉冲传递函数的定义,图8-21(a)对应对应z变换的框图如图变换的框图如图8-21(b)所示,其脉冲所示,其脉冲传递函数由下式给出传递函数由下式给出令令 ,则,则图图 8-21 8-21 具有具有ZOHZOH的脉冲传递函

21、数的脉冲传递函数(8-37)(8-37)(8-38)(8-38)图图8-22 8-22 常常见见的的离离散控制系统散控制系统(8-40)(8-40)(8-41)(8-41)对于单位反馈控制系统,上述两式分别简对于单位反馈控制系统,上述两式分别简化为化为图图8-23是一个具有数字控制器的离散系统,是一个具有数字控制器的离散系统,它的闭环传递函数导求过程与上述的完全它的闭环传递函数导求过程与上述的完全相类似,现叙述如下。相类似,现叙述如下。(8-42)(8-42)(8-4(8-43 3)图图8-23 8-23 具具有有数数字字控控制器的离散系统制器的离散系统(8-42)(8-42)闭环脉冲传递函数

22、闭环脉冲传递函数有些离散系统不能显式地写出闭环脉冲传有些离散系统不能显式地写出闭环脉冲传递函数,只能写出它的输出离散信号的递函数,只能写出它的输出离散信号的z变变换式。换式。下面以图下面以图8-24所示的系统为例来说所示的系统为例来说明明图图8-24 8-24 离散系统离散系统由图由图8-24得得对上式等号两边同取采样值,则得对上式等号两边同取采样值,则得或写作或写作 图图8-25 8-25 具具有有ZOHZOH的离散控制系统的离散控制系统解:解:该系统的开环脉冲传递函数为该系统的开环脉冲传递函数为据此求得系统的闭环脉冲传递函数为据此求得系统的闭环脉冲传递函数为例例8-14 求图求图8-25所

23、示系统的单位阶跃响应所示系统的单位阶跃响应 。图中。图中 ,。解:解:把把 ,代入上例所求的表代入上例所求的表达式达式 中,求得中,求得则相应的闭环脉冲传递函数为则相应的闭环脉冲传递函数为(8-(8-45)45)取取z的反变换,于是得的反变换,于是得图图8-26为该系统的单位阶跃响应曲线,由为该系统的单位阶跃响应曲线,由图可知,该系统的单位阶跃响应呈衰减振图可知,该系统的单位阶跃响应呈衰减振荡形式,其最大的超调量约为荡形式,其最大的超调量约为40%,调整,调整时间时间ts约为约为12s。图图8-26 8-26 图图8-258-25所示系统的单位阶跃响应曲线所示系统的单位阶跃响应曲线WORDS

24、AND PHRASES脉冲序列脉冲序列 pulse train叠加原理叠加原理 superposition theorem零阶保持器零阶保持器zero-order hold8.5 差差 分分 方方 程程由于离散系统的输入和输出在时间上是离由于离散系统的输入和输出在时间上是离散的,因而这种系统就不能用时间的微分散的,因而这种系统就不能用时间的微分来描述,而用变量的前后序列之差来表征,来描述,而用变量的前后序列之差来表征,这就引出了与微分相似的差分这就引出了与微分相似的差分(difference)概念。概念。8.5.1 差分的定义差分的定义设连续函数设连续函数f(t)f(t)经采样后为经采样后为f

25、(kT)f(kT),由于,由于T T为常量,为使表示简单,把为常量,为使表示简单,把f(kT)f(kT)简写作简写作f(k)f(k),省略,省略T T不写。一阶前向差分不写。一阶前向差分(fo(forward difference)定义为定义为8.5.2 差分方程差分方程图图8-27为一阶连续控制系统。由图得为一阶连续控制系统。由图得于是有于是有图图8-27 8-27 一阶连续控制系统一阶连续控制系统(8-46)(8-46)(8-47)(8-47)8.5.3 用用z变换法求解差分方程变换法求解差分方程用用z变换法求解差分方程,与用拉氏变换求变换法求解差分方程,与用拉氏变换求解微分方程一样方便。

26、用解微分方程一样方便。用z变换法求解差分变换法求解差分方程的实质是把以方程的实质是把以kT为变量的差分方程变为变量的差分方程变成以成以z为变量的代数方程,求解后再进行为变量的代数方程,求解后再进行z反变换。反变换。例例8-15 求解下式所示的差分方程:求解下式所示的差分方程:已知已知解:解:对上式取对上式取z变换,并利用变换,并利用z变换移位性质,变换移位性质,得得 代入初始条件,经整理后为代入初始条件,经整理后为8.5.4 用迭代法求解差分方程用迭代法求解差分方程由于系统的输入、输出量在差分方程式中由于系统的输入、输出量在差分方程式中均以脉冲序列形式表示,因而这种方程适均以脉冲序列形式表示,

27、因而这种方程适合用迭代法求解。这种求解若在数字计算合用迭代法求解。这种求解若在数字计算机上进行,则更为简便、快速。用此方法机上进行,则更为简便、快速。用此方法求解,仅占用计算机有限的内存量,并且求解,仅占用计算机有限的内存量,并且只进行简单的四则运算。必须指出,用迭只进行简单的四则运算。必须指出,用迭代法求解差分方程,一般难以得到解的闭代法求解差分方程,一般难以得到解的闭合形式。合形式。例例8-17 试用迭代法求解式试用迭代法求解式(8-47)。解:解:,例例8-18 离散系统的闭环脉冲传递函数为离散系统的闭环脉冲传递函数为求该系统的单位阶跃响应。求该系统的单位阶跃响应。解:解:把闭环脉冲传递

28、函数改写为把闭环脉冲传递函数改写为取上式的取上式的z变换,得变换,得8.6 离散控制系统的性能分析离散控制系统的性能分析和线性连续控制系统一样,离散控制系统和线性连续控制系统一样,离散控制系统也有稳定、瞬态响应和稳态误差等性能问也有稳定、瞬态响应和稳态误差等性能问题。对于这些性能的分析,所涉及的基本题。对于这些性能的分析,所涉及的基本概念和方法与连续控制系统基本相同。概念和方法与连续控制系统基本相同。8.6.1 离散控制系统的稳定性分析离散控制系统的稳定性分析离散控制系统的稳定性由其特征方程式的离散控制系统的稳定性由其特征方程式的根在根在z平面上的位置决定。设系统的输入、平面上的位置决定。设系

29、统的输入、输出关系为输出关系为式中,式中,为系统的脉冲传递函数,它一般为系统的脉冲传递函数,它一般为为z的有理分式的有理分式(rational fraction)。令。令 ,即,即 ,则得,则得(8-50)(8-50)(8-51)(8-51)式中,式中,z为闭环脉冲传递函数的极点。对上为闭环脉冲传递函数的极点。对上式取式取z反变换,得反变换,得由上式可知,若由上式可知,若 ,i=1,2,n,即系,即系统的所有极点均位于统的所有极点均位于z平面上以坐标原点为平面上以坐标原点为圆心的单位圆内。在这种情况下,系统的圆心的单位圆内。在这种情况下,系统的单位脉冲响应最终将衰减到零,即有单位脉冲响应最终将

30、衰减到零,即有(8-52)(8-52)由此得出离散控制系统稳定的充要条件是:由此得出离散控制系统稳定的充要条件是:系统闭环脉冲传递函数的所有极点均位于系统闭环脉冲传递函数的所有极点均位于z平面上的单位圆内。平面上的单位圆内。1.s平面与平面与z平面间的映射关系平面间的映射关系上述的结论也可以从上述的结论也可以从s平面与平面与z平面之间的平面之间的映射关系中得到。因为映射关系中得到。因为 ,则得则得,在在s左半平面内,由于左半平面内,由于,因而,因而z的量的量值在值在0和和1之间变化。之间变化。s平面的虚轴,即平面的虚轴,即,则,则,相应于,相应于z平面上单位圆的圆周。平面上单位圆的圆周。不难看

31、出,当不难看出,当轴上的一个代表点轴上的一个代表点由由移动到移动到时,则其在时,则其在z平面平面上的映射为上的映射为、从从逆时针变化逆时针变化到到,恰好是一个单位圆的周期。同,恰好是一个单位圆的周期。同理,当代表点从理,当代表点从轴上的轴上的移动移动到到时,其相应点在时,其相应点在z平面上又以逆时平面上又以逆时针方向沿着单位圆走了一周。针方向沿着单位圆走了一周。由此得出,当代表点的由此得出,当代表点的值每增减一个值每增减一个 量,则其在量,则其在z平面上的映射都是相互重叠的平面上的映射都是相互重叠的单位圆。在单位圆。在s左半平面内,由于左半平面内,由于,因,因而而,s的左半平面对应于单位圆的内

32、的左半平面对应于单位圆的内部。在部。在s右半平面内,由于右半平面内,由于,因而,因而s的右半平面对应于单位圆的外部的右半平面对应于单位圆的外部。由上述的分析可以清楚地看出,由上述的分析可以清楚地看出,s左半平面左半平面上每一条宽度为上每一条宽度为 的条形带都映射到的条形带都映射到z平面平面上的单位圆内,如图上的单位圆内,如图8-29所示。所示。图图8-29 8-29 s s平面与平面与z平面间的映射关系平面间的映射关系2.劳斯稳定判据劳斯稳定判据(routh-hurwitz criterion)由于离散控制系统的特征方程式是以由于离散控制系统的特征方程式是以z为变量的代数方程,即为为变量的代数

33、方程,即为s的超越方程,因的超越方程,因而就不能直接应用劳斯判据。为此需要寻而就不能直接应用劳斯判据。为此需要寻求一种新的变换,以使求一种新的变换,以使z平面上的单位圆的平面上的单位圆的圆周变换为另一复变量圆周变换为另一复变量平面上的虚轴;平面上的虚轴;z平面上单位圆的内域变换为平面上单位圆的内域变换为的左半平面,的左半平面,单位圆的外域变换为单位圆的外域变换为的右半平面。这种的右半平面。这种变换如能实现,则在连续控制系统中用于变换如能实现,则在连续控制系统中用于判别系统稳定性的方法,如劳斯判据、乃判别系统稳定性的方法,如劳斯判据、乃氏判据都可推广并应用于离散控制系统。氏判据都可推广并应用于离

34、散控制系统。下面仅介绍劳斯在离散控制系统中的应用。下面仅介绍劳斯在离散控制系统中的应用。实现上述要求的一种常用的变换是双实现上述要求的一种常用的变换是双线性变换,即线性变换,即变换。令变换。令或或令令、,则由式,则由式(8-53)得得 (8-53)(8-53)(8-54)(8-54)经过经过变换后,离散系统特征方程式的一变换后,离散系统特征方程式的一般形式为般形式为对于式对于式(8-55),可以应用劳斯判据判别特征可以应用劳斯判据判别特征方程式的根在方程式的根在w平面上的分布,即判别对应平面上的分布,即判别对应的离散系统是否稳定。的离散系统是否稳定。(8-55)(8-55)解:解:系统的开环脉

35、冲传递函数为系统的开环脉冲传递函数为对应的闭环特征方程式为对应的闭环特征方程式为令令,s代入上式,经整理后得代入上式,经整理后得 排劳斯表排劳斯表 为使系统稳定,要求劳斯表中第一列的为使系统稳定,要求劳斯表中第一列的系数均为正值,于是有系数均为正值,于是有 即即 如果去掉系统中的采样开关,使其变为如果去掉系统中的采样开关,使其变为连续控制系统,则无论连续控制系统,则无论K为何正值,系统总为何正值,系统总是稳定的。由此可知,是稳定的。由此可知,采样具有降低系统采样具有降低系统稳定性的作用。稳定性的作用。(8-56)(8-56)为使讨论简单,假设为使讨论简单,假设无重极点,无重极点,则上式可改写为

36、则上式可改写为即即取上式的取上式的z反变换,得反变换,得式中,式中,pi为闭环极点;为闭环极点;A0为系统响应的为系统响应的稳定分量;稳定分量;为相应的瞬态分量。为相应的瞬态分量。(8-57)(8-57)图图8-32 8-32 实轴实轴上单极点的单上单极点的单脉冲响应脉冲响应2.共轭极点共轭极点设一对共轭极点为设一对共轭极点为和和,用极坐标表示为,用极坐标表示为,共轭极点对的单脉冲响应如图共轭极点对的单脉冲响应如图8-33所示。所示。图图8-33 8-33 共轭共轭极点对的单极点对的单脉冲响应脉冲响应由式由式(8-57)得产生的瞬态分量为得产生的瞬态分量为因为因为是实数,所以它应该是两个共轭是

37、实数,所以它应该是两个共轭复数相加的结果,即复数相加的结果,即与式与式(8-58)对比可知,系数对比可知,系数和和应是共轭应是共轭的。令的。令,代入上式得代入上式得(8-58)(8-58)(8-59)(8-59)由由s平面和平面和z平面之间的映射关系得出,平面之间的映射关系得出,s平平面虚轴左方的等面虚轴左方的等线,在线,在z平面上的映射是平面上的映射是一半径为一半径为,圆心在坐标原点的圆。,圆心在坐标原点的圆。随着随着s平面上的等平面上的等线距虚轴越远,则其在线距虚轴越远,则其在z平面上映射的半径也就越小。当时平面上映射的半径也就越小。当时,。由此可知,离散控制系统的闭环极点位。由此可知,离

38、散控制系统的闭环极点位于于z平面的原点处,这就相当于连续控制系平面的原点处,这就相当于连续控制系统的极点都位于统的极点都位于s左半平面的无穷远处。左半平面的无穷远处。(8-60)(8-60)(8-62)(8-62)(8-61)对式对式(8-62)取取z反变换,求得该系统的脉冲反变换,求得该系统的脉冲响应序列为响应序列为上式表明,一个上式表明,一个n阶稳定系统的脉冲响应序阶稳定系统的脉冲响应序列共有列共有n个脉冲。也就是说,个脉冲。也就是说,如果在典型输如果在典型输入信号作用下入信号作用下,则系,则系统的瞬态响应过程将统的瞬态响应过程将在有限个采样周期内结束。在有限个采样周期内结束。由于这种系统

39、由于这种系统瞬态响应的时间最短,因此称为最小时间瞬态响应的时间最短,因此称为最小时间(或或最少拍最少拍)系统系统。(8-63)(8-63)例如一个二阶系统的闭环传递函数为例如一个二阶系统的闭环传递函数为由于上式中的两个极点均在由于上式中的两个极点均在z平面的原点处,平面的原点处,因此是最少拍系统。设采样周期因此是最少拍系统。设采样周期T=1s,当,当输入为单位阶跃信号,即输入为单位阶跃信号,即,时,系统的输出为时,系统的输出为对上式取对上式取z的反变换,求得的反变换,求得据此,做出系统的单位阶跃响应曲线,如据此,做出系统的单位阶跃响应曲线,如图图8-34所示。由图可知,系统的输出在所示。由图可

40、知,系统的输出在(第二拍第二拍)时就已经完全跟踪输入信号,它的时就已经完全跟踪输入信号,它的超调量超调量。图图8-34 8-34 单位单位阶跃响应曲线阶跃响应曲线当输入为单位速度函数时,当输入为单位速度函数时,此时系统的输出为此时系统的输出为系统的输出在系统的输出在t=2T时就进入稳态。时就进入稳态。系统的系统的单位单位速度速度响应曲线,如图响应曲线,如图8-35所示所示图图8-35 单位单位速度速度响应曲线响应曲线8.6.3 离散系统的稳态误差离散系统的稳态误差设离散系统的框图如图设离散系统的框图如图8-36所示。该系统所示。该系统的误差为的误差为图图8-36 离散系统离散系统(8-64)(

41、8-64)(8-65)(8-65)1.阶跃输入阶跃输入的的z变换为变换为,由式,由式(8-65)得得式中,式中,定义为系统的静态位定义为系统的静态位置误差系置误差系数数。对于。对于0型系统,由于它的型系统,由于它的中不含有中不含有z=1的极点,因而的极点,因而Kp为一有限的为一有限的常值,对应的稳态误差为常值,对应的稳态误差为。(8-66)(8-66)对于对于型及其以上的系统,因为它们的型及其以上的系统,因为它们的,所以稳态误差,所以稳态误差。2.斜坡斜坡(ramp)输入输入的的z变换为变换为,由式,由式(8-65)得得(8-67)(8-67)式中,式中,定义为系统的静定义为系统的静态速度误差

42、系数。对于态速度误差系数。对于0型系统,由于型系统,由于中不含有中不含有z=1的极点,因而其的极点,因而其,对应,对应的的。对于。对于型系统,型系统,为常值,对为常值,对应的应的也为一常值。对于也为一常值。对于型系统,由于型系统,由于其其,因而对应的,因而对应的。(8-68)(8-68)对于对于0型和型和型系统,由于它们的型系统,由于它们的,对应的对应的。对于。对于型系统,型系统,为一常为一常值,对应的稳态误差值,对应的稳态误差也为一常值。也为一常值。不难看出,不难看出,上述所得的结果在形式上与连上述所得的结果在形式上与连续系统完全相同续系统完全相同。离散系统的稳态误差除。离散系统的稳态误差除了与系统的结构、参数和输入信号有关,了与系统的结构、参数和输入信号有关,还与采样周期还与采样周期(sampling period)T的大小的大小有关。缩小采样周期有关。缩小采样周期T,将使系统的稳态误,将使系统的稳态误差减小。差减小。

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