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1、 第七章第七章 线性离散系统线性离散系统7.1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念7.2 采样过程及采用定理采样过程及采用定理7.3 信号恢复与信号保持信号恢复与信号保持7.4 Z Z变换理论变换理论7.5 线性离散系统的脉冲传递函数线性离散系统的脉冲传递函数7.6 线性离散系统的稳定性与稳态误差线性离散系统的稳定性与稳态误差7.7 动态响应与闭环零、极点分布的关系动态响应与闭环零、极点分布的关系7.8 线性离散系统的数字校正线性离散系统的数字校正7.9 最少拍离散系统的分析与校正最少拍离散系统的分析与校正 p 连续系统连续系统:r(t):r(t)、c(t)c(t)和和e(t)e(t)等是时
2、间等是时间t t的连的连 续函数，这样的系统称为连续系统。续函数，这样的系统称为连续系统。p 计算机广泛应用于控制系统，微机是以数字计算机广泛应用于控制系统，微机是以数字 方式传递和处理信息，控制系统中的信号定方式传递和处理信息，控制系统中的信号定 义在离散时间上的系统称为离散系统。义在离散时间上的系统称为离散系统。p 离散系统与连续系统既有差别，又有相似离散系统与连续系统既有差别，又有相似 性。连续系统通过性。连续系统通过Z Z变换，可以将连续系统中变换，可以将连续系统中 的概念应用到离散系统。的概念应用到离散系统。7.1 7.1 离散系统的基本概念离散系统的基本概念 一、信号分类一、信号分
3、类1 1、模拟信号、模拟信号 信号是时间的连续函数；信号是时间的连续函数；2 2、离散信号、离散信号 信号是时间上的离散序列；信号是时间上的离散序列；)(*te)(te3 3、数字信号、数字信号离散量化信号，是时间上、幅离散量化信号，是时间上、幅值上的离散序列。值上的离散序列。 7.1.1 7.1.1 离散系统的特点离散系统的特点(a) 连续信号连续信号t(b) 离散信号离散信号t(c) 离散量化信号离散量化信号t 二、控制系统分类二、控制系统分类1 1、连续系统、连续系统2 2、采样系统、采样系统3 3、计算机控制系统、计算机控制系统被控被控对象对象控制器控制器r(t)e(t)u(t)c(t
4、)测量元件测量元件ZOHZOH被控被控对象对象脉冲脉冲控制器控制器测量元件测量元件r(t)e(t)u(t)c(t)e*(t)u*(t)D/AD/A被控被控对象对象数字数字计算机计算机测量元件测量元件r(t)e(t)u(t)c(t)e*(t)u*(t)A/DA/D p 采样周期：采样周期：一个非常重要、特殊的参数，会影响系统的一个非常重要、特殊的参数，会影响系统的 稳定性、稳态误差、信号恢复精度！稳定性、稳态误差、信号恢复精度！三、连续系统与采样控制系统的区别三、连续系统与采样控制系统的区别p相同点相同点: : 1 1、采用反馈控制结构、采用反馈控制结构; ; 2 2、由被控对象、测量元件和控制
5、器组成、由被控对象、测量元件和控制器组成; ; 3 3、控制系统的目的、控制系统的目的相同相同; 4 4、系统分析的内容、系统分析的内容相同。相同。p不同点：不同点：信号的形式（采样器、保持器）。信号的形式（采样器、保持器）。p采样控制的优点：采样控制的优点： 精度高、可靠、有效抑制干扰、通用性好。精度高、可靠、有效抑制干扰、通用性好。 p采样开关的工作方式，指采样速度和采样开关采样开关的工作方式，指采样速度和采样开关的周期性采样之间的相位问题；的周期性采样之间的相位问题；p采样误差信号采样误差信号 是通过采样开关对连续信号是通过采样开关对连续信号 采样后得到的；采样后得到的；p采样开关经过一
6、定的时间采样开关经过一定的时间T T闭合一次，采样时间闭合一次，采样时间为为，TT。T T为采样周期，为采样周期，s s=1/T=1/T及及s s=2=2s s分别为采样频率和采样角频率。分别为采样频率和采样角频率。 7.1.2 7.1.2 采样开关的工作方式采样开关的工作方式)(te)(te 采样的方式采样的方式 p周期采样：采样时刻为周期采样：采样时刻为nT(n=0nT(n=0、1 1、2 2),T ),T 为常为常量；量；p多阶采样：采样时间是周期性重复的；多阶采样：采样时间是周期性重复的； p多速采样：用两个具有不同采样周期的采样器对多速采样：用两个具有不同采样周期的采样器对信号同时采
7、样；信号同时采样；p随机采样：采样时间是随机变量。随机采样：采样时间是随机变量。 本章讨论等周期采样本章讨论等周期采样数字计算机作为控制器的控制系统数字计算机作为控制器的控制系统多点巡回检测与控制系统多点巡回检测与控制系统p常见的采样系统常见的采样系统 p采样器（采样开关）采样器（采样开关）：将连续信号变为脉冲序列的装置；：将连续信号变为脉冲序列的装置；p采样过程：采样过程：nTnTtt)()( 7.2.17.2.1采样过程采样过程7.2 7.2 采样过程及采用定理采样过程及采用定理采样器采样器)(*tee(t)T时间内时间内,e(t),e(t)变化甚微，变化甚微，可近似为宽度为可近似为宽度为
8、 , ,高度高度为为e(nT)e(nT)的矩形脉冲序列的矩形脉冲序列 信号采样信号采样 理想采样序列：理想采样序列： 0)()(nTnTtt 0)()(nnTtte )()()(*tteteT 0)()(nnTtnTe p采样过程是脉冲调制过程采样过程是脉冲调制过程,对采样器的输出拉氏变换对采样器的输出拉氏变换0)()()(*)(*nnTtnTeLteLsE由拉氏变换实位移定理由拉氏变换实位移定理0*)()()(nnTsenTesEteL0)()(nTsstnTsedtetenTtLp采样过程相当脉冲调制过程采样过程相当脉冲调制过程, ,采样输出是两个信号的乘积采样输出是两个信号的乘积)(tT
9、)(nTe p为了从采样信号中不失真地复现原连续信号为了从采样信号中不失真地复现原连续信号, ,离散离散系统设计者必须遵循采样定理系统设计者必须遵循采样定理; ;)(22sTm7.2.1 7.2.1 采样定理采样定理如果如果 (采样角频率采样角频率)，就不能准确恢复原来的，就不能准确恢复原来的连续信号。连续信号。s 2me(t)就可以从就可以从e*(t)中恢复过来中恢复过来,也可表示为也可表示为 若采样器输入信号若采样器输入信号e(t)带宽有限，且有直到带宽有限，且有直到m (rad/s)的频率分量，当采样周期的频率分量，当采样周期T满足下列条件满足下列条件采样定理采样定理(香农定理香农定理)
10、msT22 )()()(*tteteT0)()(nTnTttntjnnTsect)(0)()()(*nnTttete单位脉冲理单位脉冲理想响应序列想响应序列e*(t)对应的对应的离散信号离散信号e （t)连续信号连续信号以以T为周期的复式函为周期的复式函数，可展开成傅立叶数，可展开成傅立叶级数级数(或指数形式或指数形式)表示为表示为 dttTctjnTTTns221 采样信号的频谱采样信号的频谱（证明）T(t) = njnntsecs s=2/T=2/T为采样角频率为采样角频率, ,C Cn n是傅氏系数是傅氏系数, ,其值为：其值为： njn*tse ) t (eT1) t (e 00nT1
11、dt)t(T1CT(t) = njntseT1*1() ()snEjE jnT*1( )()snEsE sjnT连续信号的频谱为连续信号的频谱为)j (E 采样信号的频谱为采样信号的频谱为)j (E* m-m0)j (E m-m0s2s3s-3s-2s-s)j (E* T1m-m0)j (E* T1s-sm-m0s2s3s-3s-2s-s)j (E* T1s s满足什么条件时满足什么条件时才能从才能从恢复出恢复出)j (E* )j(E ?s 2m或：或：T/ms = 2m 7.2.3 7.2.3 采样周期的选择采样周期的选择p采样周期采样周期T T选得越小，即采样角频率选得越小，即采样角频率s
12、 s选得越高，信息获选得越高，信息获得的越多，控制效果越好得的越多，控制效果越好; ;pT T过短，控制规律复杂，过短，控制规律复杂，pT T过长，控制误差大，动态性能降低，甚至导致系统不稳过长，控制误差大，动态性能降低，甚至导致系统不稳定定; ;p采样周期采样周期T T参考选择；参考选择；控制过程流量压力液位温度成分采样周期（T)（s)pT的选取，主要取决于系统的性能指标。的选取，主要取决于系统的性能指标。 p频域闭环频域闭环: :闭环频率响应有低通滤波特性输入频率高于闭环频率响应有低通滤波特性输入频率高于r r时，信号快速衰减，可认为通过系统的控制信号最高频率时，信号快速衰减，可认为通过系
13、统的控制信号最高频率分量为分量为r r 。p频域开环频域开环：近似有：近似有c cr r，频率分量超过，频率分量超过c c的分量通过的分量通过系统后被大幅度衰减。系统后被大幅度衰减。p随动系统的采样角频率近似为随动系统的采样角频率近似为s s=10=10c cpT=2/T=2/s s , ,采样周期公式可表示为采样周期公式可表示为p时域指标时域指标:T:T可以通过可以通过t tr r，t ts s选取，按经验公式确定选取，按经验公式确定ccsT151022rtT101stT401 采样采样 定理定理 信号复现信号复现 理想滤波器理想滤波器采样开关采样开关7.3 7.3 信号恢复与信号保持信号恢
14、复与信号保持pT选择得当，选择得当，e(t) 从从e*(t)中完全复现。但理想滤波器不存在，只能用中完全复现。但理想滤波器不存在，只能用保持器代替。保持器代替。p保持器保持器将离散信号将离散信号 连续信号的元件连续信号的元件采样时，连续信号值与脉冲序列强度相等，采样时，连续信号值与脉冲序列强度相等，nTnT时刻，有时刻，有)()()(*nTenTetenTt) 1() 1()(*)1(TneTneteTnt(n+1)T(n+1)T时刻，有时刻，有p保持器要解决保持器要解决nT与与(n+1)T之间之间(即即0tT)，连续信号，连续信号e(nT+ t) 有有多大？它与多大？它与e(nt)的关系？的
15、关系？mT2msT22 p保持器有外推功能，外推作用即保持器有外推功能，外推作用即现在时刻现在时刻的输出取决于的输出取决于过过去时刻去时刻离散信号的外推离散信号的外推, ,用公式描述用公式描述mmtatataatnTe)(.)()(2210p该式说明现在时刻的输出该式说明现在时刻的输出e(nT+e(nT+t)t)，由过去，由过去 (m+1)(m+1)个离个离散信号散信号e e* *(nT)(nT)、e e* *(n-1)T(n-1)T、e e* *(n-2)T(n-2)T、e e* *(n-m)T(n-m)T确定。确定。i i（i=0,1,i=0,1,m,m）为待定系数，由过去）为待定系数，由
16、过去(m+1)(m+1)个个e e* *(n-i)T (n-i)T 确定，确定，i i 有唯一解有唯一解; ;t t0 0、T T、2T2T、mTmT为过去时刻。为过去时刻。pm=0m=0，为零阶保持器；，为零阶保持器；pm=1m=1，为一阶保持器；，为一阶保持器；pm=mm=m，为，为m m阶保持器。阶保持器。一般采用零阶保持器一般采用零阶保持器t是以是以nT为坐标原点。为坐标原点。 主要特点：主要特点：1 1、输出信号是阶梯波，含有高次谐波。、输出信号是阶梯波，含有高次谐波。2 2、相位滞后。、相位滞后。零阶保持器零阶保持器：7.3.1 7.3.1 零阶保持器零阶保持器最简单、使用最广泛；
17、采用恒值外推规律，最简单、使用最广泛；采用恒值外推规律，即将前一采样时刻即将前一采样时刻nT的采样值的采样值e(nT)不增不减不增不减地保持到下一个采样时刻地保持到下一个采样时刻(n+1)T，零阶保持器零阶保持器 零阶保持器的单位脉冲响应零阶保持器的单位脉冲响应)( 1)( 1)(TtttghseTttLsGTsh1)( 1)( 1 )(2221()()()()j Tj Tj Tj ThhheeeeGjGjGjjj()( )0tL f teF s2/)2/sin()(TTTjGh2)(TjGh 零阶保持器的幅频特性零阶保持器的幅频特性2)(TjGh1、幅值随角频率、幅值随角频率的增大而衰减，有
18、低通滤波特性；的增大而衰减，有低通滤波特性；2/)2/sin()(TTTjGh 零阶保持器的近似实现零阶保持器的近似实现21111)11 (11)(22sTTssessesGTsTshTsTTsssGh11111)(212121111)(2222sTTsTsTsTTsssGh取前两项取前两项取前三项取前三项取前三项时无源网络实现形式如图取前三项时无源网络实现形式如图更高阶的近似，使无源网络变得更高阶的近似，使无源网络变得非常复杂。非常复杂。 一般不使用！一般不使用！R1LCR3R2 )0(0)()( 1)()(3)(4)(ttettrtetete 解：解：)()1()()1()()(1keke
19、TkekeTketeT )(3 )()1(4)()1(2)2(kekekekekeke 例例7.7已知微分方程：已知微分方程： 时域数学模型时域数学模型 差分方程差分方程)()1(2)2()()1()()(122kekekeTTkeTkeTketeT )( 1)(8)1(6)2(kkekeke )0(0)()( 1)(8)1(6)2(kkekkekeke将其离散化，用采样控制方式将其离散化，用采样控制方式(T=1)，求相应的前向差分方，求相应的前向差分方程，并解之。程，并解之。 解：解：差分方程解法一：差分方程解法一：迭代法迭代法 )0(0)()( 1)(8)1(6)2(kkekkekeke)
20、( 1)(8)1(6)2(kkekeke :1 k0)( 1)1(8)0(6)1( keee:2 k1100)0( 1)0(8)1(6)2( eee:3 k7106)1( 1)1(8)2(6)3( eee:4 k3511876)2( 1)2(8)3(6)4( eee )4(35)3(7)2()(*tttte 解解 )(8)0()(6)1()0()(0102zEzezEzzezezEz 差分方程解法二：差分方程解法二：z z变换法变换法)2)(1(lim)4)(1(lim)4)(2(lim141211 zzzzzzzzzzzznznznz1 )( 1)()86(2 zzkZzEzz )0(0)(
21、)( 1)(8)1(6)2(kkekkekeke)( 1)(8)1(6)2(kkekeke :Z)4)(2)(1()( zzzzzE:1Z 1)(Res)( nzzEne642231nn)(642231)()()(00*nTtnTtnTetennnn pZ Z变换是采样函数拉氏变换的变形，又称变换是采样函数拉氏变换的变形，又称为采样拉氏变换，是研究线性离散系统的重为采样拉氏变换，是研究线性离散系统的重要数学工具。要数学工具。 7.4 Z7.4 Z变换理论变换理论p线性连续系统的性能，用拉氏变换分析，线性连续系统的性能，用拉氏变换分析，p线性离散系统的性能，用线性离散系统的性能，用Z变换分析。变
22、换分析。 0n)nTt ()nT(f) t (*f 0nnTse )nT( f) s (*FzeTs 令令 0nnz)nT(f)z(F),t ( 1) t ( f 1)nT(f ，ate) t ( f anTe)nT( f 7.4.1 Z7.4.1 Z变换的定义变换的定义0)()()(dtetftfLsFst被定义为采样函数被定义为采样函数* *(t)(t)的的Z Z变换变换对对Z Z变换强调两点：变换强调两点：1. z1. z是复变量是复变量, s, s也是复变量，分别表示为也是复变量，分别表示为 s=s=jjjjTTTsezeeezTezT2.Z2.Z变换中，仅采样时刻上的采样值，变换中，
23、仅采样时刻上的采样值，信息，不反映采样时刻之间的信息，信息，不反映采样时刻之间的信息，f(t)与与* (t) 有相同的有相同的Z变换，即变换，即Zf(t)Z* (t) =F(z) 该式仅表达采样时刻的该式仅表达采样时刻的已知已知当当 1. 1. 级数求和法级数求和法7.4.2 Z7.4.2 Z变换的求法变换的求法f(tf(t）的离散函数为）的离散函数为* *(t) , (t) , 将将* *(t)(t)展开展开0)()()(*nnTtnTftf )()()2()2()()()() 0 (nTtnTfTtTfTtTftf逐项拉氏变换，得逐项拉氏变换，得 nTsTsenTfeTffsF)()()0
24、()(* nznTfzTffzF)()()0()(1p上式为上式为* (t) 的的Z变换的级数表达式。显然，知道变换的级数表达式。显然，知道f(t) 采样采样时刻时刻nT（n=0,1,2,）的）的值值f(nT），），则可求得则可求得Z变换的级数展变换的级数展开式。开式。 0nnz )nT( f) z (F( )F z 1231zzz1111zzzn0nanTze)z(F 3aT32aT21aTzezeze11aTze11 )z(FaTezz 例例7.2求求 的的F(Z)F(Z)。例例7.17.1求求1 1* *（t t）的）的Z Z变换变换 。ate|z-1 | 1 ，级数收敛，利用求和公式，
25、得，级数收敛，利用求和公式，得1（t）的）的Z变换变换例例7.3求求 f(t)=tf(t)=t的的Z Z变换变换00( )()()nnnnF zf nT znT z01nnzzz1201()(1)nnn zz 02) 1()(nnzTzznTzF) 1z)(aTez两边求导两边求导 niiipsAsF1)(求出求出 P Pi i 及及 A Ai i ，可求出，可求出F(s)F(s)对应的对应的Z Z变换变换F(z)F(z)： niTpiiezzAzF1)(F(z)F(s)采样z变换拉氏变换部分分式)(tf)(*tff(t) 的拉氏变换为的拉氏变换为F(s)，其部分分式之和为，其部分分式之和为
26、2 2、部分分式法、部分分式法Ai常系数常系数Pi 是极点是极点n n为极点数为极点数已知已知f(t），求），求F(z) ，可，可以按图示虚线箭头的以按图示虚线箭头的步骤，也可以按实线步骤，也可以按实线箭头的步骤。箭头的步骤。可以可以根据根据F(s)F(s)查查Z Z变换表得变换表得F(z)F(z) 解：解：121( ) ( )F sLf ts2) 1()(zTzzF例例7.4求求f(t)= t1(t)的的Z变换变换 查查Z变换表得变换表得例例7.6求求( ) ()aF ss s a 11ABF sssassa解：解： 11( )atLF ste(1)( )1(1)()aTaTaTzzzeF
27、zzzezze例例7.5求求sin)(tZzF222211222222sinssjjjjLtsssjsj的的Z变换变换 。解：解：1()1jtLesj因为 21121111122cos21sin1sin11211121zTzTzzzezeTzzejzejsZzFTjTjTjTj所以所以 3 3、留数计算法、留数计算法niiniTpiRezzpFstfZzFi11*)(Re)()(F(s)F(s)的全部极点已知的全部极点已知, , 留数计算法公式为留数计算法公式为pF(s)F(s)有一阶极点有一阶极点,s=P,s=P1 1, ,留数为留数为sTpsezzsFpsR)()(lim111pF(s)F
28、(s)在有在有q q阶重复极点阶重复极点, ,留数为留数为sTqqqpsezzsFpsdsdqR)()(lim)!1(111)(ReTpiiiezzpFsR为为 在在 时的留数时的留数sTezzsF)(ips Z变换表见变换表见P.219表表(72)ps 例例7.8求求tcos的的Z Z变换变换)()(22jsjsssssF解解: :TjsTjsezzezzjsjssjsR21)()(lim1TjsTjsezzezzjsjssjsR21)()(lim2例例7.9求求ttf)(的的Z Z变换变换解解: :21)(ssF为两阶重极点为两阶重极点!20220) 1(lim1)0(limzTzezzd
29、sdezzssdsdRsTssTs2) 1()(zTzzF322) 1() 1()()(zzzTzFttfTjTjTjTjezzezzezzezzzF212121)( 例例7.10已知已知)()(2assKsF01p21qap212q22201( )(0)()(2 1)!()()sTsTssadKzKzF zss adss s a z es s a z e)()1()1 ()1(22aTaTaTaTezzaaTeezeaTKz用留数法求用留数法求F(z)。解解: 1 1、线性定理、线性定理2 2、滞后定理、滞后定理3 3、初值定理、初值定理4 4、终值定理、终值定理5 5、复数偏移定理、复数偏
30、移定理6 6、卷积和定理、卷积和定理7.4.3 Z7.4.3 Z变换的性质变换的性质pZ Z变换常用的定理变换常用的定理 )()()()()(22111zFazFazFazFazFnnniii)()()()()(22111tfatfatfatfatfnnniii设：设：则：则：2 2、平移定理、平移定理t0t0时，时，f(t)f(t)的值为零，的值为零， f(t)f(t)的的Z Z变换为变换为F F（z z）则）则)()(zFzkTtfZk原函数延迟的采样周期数为原函数延迟的采样周期数为k k，象函数则乘，象函数则乘z z-k-k。算子。算子z z-k-k的的含义表示时域中时滞环节，把脉冲延迟
31、含义表示时域中时滞环节，把脉冲延迟k k个周期。个周期。1 1、线性定理、线性定理 平移定理平移定理e(t)第第8个个采样周期采样周期e(t-2T) 第第10个个采样周期采样周期e(t+6T)第第2个个采样周期采样周期0)()(nnznTezE)z(Ezzz )nT( e)T2t ( e Z20n2n )T6t ( e Z6( )z E z 0n6nzz )nT( e)()(zFzkTtfZk 3 3、初值定理、初值定理f(t)f(t)的的Z Z变换为变换为F F（z z），并且），并且 )(limzFz存在，存在，4 4、终值定理、终值定理)(lim)0(zFfz则则f(t)f(t)的的Z
32、Z变换为变换为F F（z z），），f(nT)f(nT)序列为有限值序列为有限值（n=0,1,2,），），)() 1(lim)(1zFzfzt)(limnTfn并且极限并且极限 存在，则函数序列的终值存在，则函数序列的终值 6 6、卷积和定理、卷积和定理设设0)()()(nnTrTnkgkTc式中式中2,1,0n为正整数，当为正整数，当n n为负数时为负数时0)()()(nTrnTgnTc则有则有)()()(zRzGzC( ) ()( ) ()( ) ()C zZ c nTG zZ g nTR zZ r nT式中式中5 5、复数偏移定理、复数偏移定理f(t)f(t)的的Z Z变换为变换为F F
33、（Z Z），则），则)()(aTatzeFetfZ 7.4.4 Z7.4.4 Z反变换反变换Z Z反变换是已知反变换是已知F F（Z Z），求，求f(nT)f(nT)的过程，即的过程，即)()(1zFZnTf只能求出序列的表达式，而不能求出它的连续函只能求出序列的表达式，而不能求出它的连续函数！数！p求解方法求解方法: :长除法长除法( (幂级数法幂级数法) )、 部分分式法、部分分式法、 留数法。留数法。 1 1、长除法、长除法（幂级数法）（幂级数法）要点：将要点：将F F（Z Z）用长除法变为降幂排列的形式。）用长除法变为降幂排列的形式。112010121001( )mmnmnnnnnb
34、zbzbF zcc zc zc za za za120( )()(0)( )(2 )()nnnF zf nT zff T zfT zf nT zF(z) 展开成展开成 的无穷幂级数，即的无穷幂级数，即 1znm如果幂级数收敛，按如果幂级数收敛，按Z变换定义，式中系数变换定义，式中系数 即采样脉冲序列即采样脉冲序列 的脉冲强度的脉冲强度f(nT)。可以直接写出。可以直接写出 的脉冲序列表达式的脉冲序列表达式), 1 , 0( ncn)(*tf)(*tf)()2()()()(210nTtcTtcTtctctfnncnTf)( 4321150703010)(zzzzzF)3(150)2(70)(30
35、)(10)(TtTtTtttf例例7.11求求)2)(1(10)(zzzzF的的Z Z反变换反变换解：解：2112231102310)(zzzzzzzF为方便求取，将分母首为方便求取，将分母首项变成项变成1。为此，用分母。为此，用分母首项（首项（Z2） 去除全式去除全式 例例7.12已知已知 ，求，求Z Z反变换反变换解解: :展开成有理分式展开成有理分式将分母首项变成将分母首项变成1, 1, 用分母首项（用分母首项（Z Z2 2）去除全式得：）去除全式得：)5 . 0)(1(5 . 0)(zzzzF5 . 05 . 15 . 0)5 . 0)(1(5 . 0)(2zzzzzzzF2115 .
36、 05 . 115 . 0)(zzzzF 43219375. 0875. 075. 05 . 0)(zzzzzF 432109375. 0875. 075. 05 . 00zzzzz)2(75. 0)(5 . 0)(0)(*TtTtttf )4(9375. 0)3(875. 0TtTt按长除法，用分母多项式去除分子多项式，得：按长除法，用分母多项式去除分子多项式，得： 步骤：步骤：将变换式写成将变换式写成zzF)(，展开成部分分式，展开成部分分式niiizzAzzF1)(查查Z Z变换表变换表两端乘以两端乘以Z ZniiizzzAZF1)(1.1.部分分式法部分分式法（因式分解法，查表法）（因
37、式分解法，查表法） 例例7.13求求)2)(1(10)(zzzzF的的Z Z反变换反变换解：解：110210)2)(1(10)(zzzzzzF110210)(zzzzzF*00( )(10 210)10(21)nnnnfttnTtnT()10 10 2nf nT 3.3.留数法留数法（反演积分法）（反演积分法）111()( )Re ( )2innzpcf nTF z zdzs F z zj1Re ( )inzps F z z函数函数F(z)zF(z)zn-1n-1在极点在极点p pi i处的留数，处的留数，曲线曲线C C是包含是包含F(z)zF(z)zn-1n-1全部极点的任意封闭曲线。全部极
38、点的任意封闭曲线。11Re ( )()( )limiinnzpizps F z zzz F z z若若Z Zi i为一重极点为一重极点若若Z Zi i为为q q重极点重极点11111Re ( )()( )(1)!limiiqnqnzpiqzpds F z zzzF z zqdz1210( )()(0)( )(2 )()(1) nnnnF zf nT zff T zfT zf nT zfnT z 2111) 1()() 1()0()(zTnfznTfTnfzfzzFnn由由Z Z变换的定义变换的定义两端同乘两端同乘1nz由复变函数理论由复变函数理论 例例7.14求求2) 1()(zTzzF的的Z
39、 Z反变换反变换21) 1()(zTzzzFnn解：解：有一个两重极点有一个两重极点1znTzTzzdzdRnz) 1() 1()!12(12212121limnTRnTf)( 例例7.15求求)2)(1(10)(zzzzF的的Z Z反变换反变换解：解：)2)(1(10)(1zzzzzFnn有两个一重极点有两个一重极点2121zz10)2)(1(10) 1()(Relim1111zzzzzzFsRnzznnnzznzzzzzzFsR210)2)(1(10)2()(Relim22122121121010)(Re)(inzznRRZZFsnTfi 例例7.16已知已知 ，求，求Z Z反变换。反变换
40、。 222) 1() 1(2)(zzzzF1,23,4,zj zj 2221) 1() 1(2)(zzzzzFnn2122(1)Re ( )lim()nnjzjdzzs F z zdzzj112242(2)()2(1)2()lim()nnnzjnznzzjzzzjzj112132(2)()4(1)lim()nnnnzjnznzzjzznjzj解解: 有两个二重极点，有两个二重极点，2122(1)Re ( )lim()nnizjdzzs F z zdzzj11221132(2)()4(1)lim( 1)()nnnnnzjnznzzjzznizj 1111()Re112 sin2knnninf n
41、Ts F Z znjn pZ Z变换是为了求出线性离散系统的变换是为了求出线性离散系统的脉冲传递函数脉冲传递函数。p零初始条件下，线性系统输出的零初始条件下，线性系统输出的Z变换与输入的变换与输入的Z变换之比变换之比为系统的脉冲传递函数（或为系统的脉冲传递函数（或z传递函数）。即传递函数）。即7.5.1 7.5.1 脉冲传递函数的定义脉冲传递函数的定义变换输入脉冲序列的变换输出脉冲序列的ZZzRzCzG)()()(p系统的离散输出信号系统的离散输出信号)()()()(11*zRzGZzcZtc7.5 7.5 线性离散系统的脉冲传递函数线性离散系统的脉冲传递函数p局限性局限性: : (1) (1
42、) 原则上不反映非零初条件下系统响应的全部信息原则上不反映非零初条件下系统响应的全部信息; ; (2) (2) 只适合描述单输入单输出系统只适合描述单输入单输出系统; ; (3) (3) 只适线性定常离散系统。只适线性定常离散系统。 本次课程作业本次课程作业7 - 1(1,2)自动控制原理自动控制原理7 - 2 (1,4)7 - 4 (1,2) p多数系统的输出是连续信号多数系统的输出是连续信号c(t)c(t)，而非采样信号，而非采样信号c c* *(t)(t)，在输出端虚设一个采样开关，如图虚线，在输出端虚设一个采样开关，如图虚线，该开关该开关与输入采样与输入采样开关同步，有相同的采样周期；
43、开关同步，有相同的采样周期；p若实际输出若实际输出c(t)c(t)较平滑，且采样频率较高，则可用较平滑，且采样频率较高，则可用c c* *(t)(t)近似描述近似描述c(t)c(t)；p虚设的采样开关不存在，它只表明输出连续函数虚设的采样开关不存在，它只表明输出连续函数c(t)c(t)在采在采样时刻上的离散值样时刻上的离散值c c* *(t) (t) 。 G1(s)R(s)G2(s)R*(s)R(z)X(s)X*(s)C(z)C(s)C*(s)G1(z)G2(z)TTG1(s)R(s)G2(s)R*(s)R(z)X(s)C(z)C(s)C*(s)TG(z) 线性定常离散系统的位移不变性线性定常
44、离散系统的位移不变性推导脉冲传递函数，理解其物理意义推导脉冲传递函数，理解其物理意义G(s)r*(t)C(t)C*(s)TG(z)r (t) tgtcttr, nTtgnTrtcnTtnTrtr, TtgTtcTttr, kTtnTkTgnTrkTtkTgtckk00 nTtkTtTnkgnTrtckn00 nTtTnkcnTrtckn00 zRzCzG 推导脉冲传递函数，理解其物理意义推导脉冲传递函数，理解其物理意义(续续)G(s)r*(t)C(t)C*(s)TG(z)r (t)()()()()()()(zGzRzGzRzRzCzG根据离散卷积定义得知根据离散卷积定义得知,下式右边的下式右边
45、的Z变换为变换为R(z)G(z)C(z)=R(z)G(z)G(z)G(z)是是0)()(nnznTgzG nTtkTtTnkgnTrtckn00 nTtnTrtrn0 zRzCzG nnznTrtR0 nTtnTctcn0 p开环离散系统由几个环节串联组成时，脉冲开环离散系统由几个环节串联组成时，脉冲的求法与连续系统的的求法与连续系统的情况不完全相同。情况不完全相同。p两个开环离散系统的组成相同，但采样开关两个开环离散系统的组成相同，但采样开关的数目和位置不同，求出的开环脉冲传递函数的数目和位置不同，求出的开环脉冲传递函数也会不同。也会不同。p对开环系统的脉冲传递函数，应注意以下两对开环系统的
46、脉冲传递函数，应注意以下两种不同的情况。种不同的情况。 7.5.2 7.5.2 开环系统的脉冲传递函数开环系统的脉冲传递函数串联各环节之间有采样器串联各环节之间有采样器串联各环节之间无采样器串联各环节之间无采样器 由于求和与符号无关由于求和与符号无关, ,再令再令m=n,m=n,证得证得采样拉氏变换的两个重要性质采样拉氏变换的两个重要性质1 1）采样函数的拉氏变换具有周期性）采样函数的拉氏变换具有周期性G*(s)=G*(s+jks)*1( )()snGsGsjnT *11()()sssnmG sjkG sj n kG sjmTT1()()( )ssnGsjkG sjnGsT由由Pg211Pg2
47、11公式公式(7-11)(7-11)得：得：E*(s)G1(s) G2(s)*=E*(s)G1(s) G2(s)*2 2）离散）离散信号信号可从离散可从离散符号符号中提出来中提出来设设G1(s)G2(s)=G (s)， 则有：则有：E*(s)G(s)*=1() ()ssnE sjnG sjnT1( )()snEs G sjnTEE* *(s)(s)与与无关，无关，1( ) ()snEsG sjnT=E*(s)G(s)*所以有：所以有：=E*(s)G*(s) 1 1、串联各环节之间有采样器、串联各环节之间有采样器1( )( ) ( )D zG z R z212( )( )( )( )( ) (
48、)C zG z D zG z G z R z)()()()()(21zGzGzRzCzG如图，如图，G1 (s) 和和G2 (s)之间有理想采样开关隔开。根据之间有理想采样开关隔开。根据脉冲传递函数定义，得脉冲传递函数定义，得G1(s)R(s)G2(s)R*(s)R(z)D(s)D*(s)C(z)C(s)C*(s)G1(z)G2(z)TTG (z) 2 2、串联各环节之间无采样器、串联各环节之间无采样器)()()()()()(2121zGGsGsGZzRzCzG)(*)()()(21sRsGsGsC0)()(*nnsTenTrsR121212*( ) ( )( ) *( )* ( )( )*
49、*( )*( ) *( )CsG s G s RsG s G sRsGGs Rs)(*21sGG)*()(21sGsG)()(121ssjnsGjnsGT)(*21sGG)(*)(*21sGsGG1(s)R(s)G2(s)R*(s)R(z)D(s)C(z)C(s)C*(s)TG (z) 开环离散系统结构图等效变换开环离散系统结构图等效变换1 1)z(G)s (GZ)z(R)z(C=C*(s)G(s)R(s)R*(s)C(s)G1(s)R(s)R*(s)C*(s)C(s)G2(s)G1(s)G2(s)R(s)R*(s)C*(s)C(s)s (G) s (GZ)z(R)z(C21=)z(GG)z(
50、R)z(C21=G1(s)R(s)R*(s)C*(s)C(s)G2(s)d(s) d*(s)2( )( )( )C zG zd z1( )( )( )d zG zR z)z(G)z(G)z(R)z(C21=C(z)=R(z)G(z)C(z)=R(z)G1G2(z)C(z)=R(z)G1(z)G2(z) 开环离散系统结构图等效变换开环离散系统结构图等效变换2 2R(s)R*(s)C*(s)C(s)G0(s)1-e-TssR(s)R*(s)C*(s)C(s)G0(s)1-e-TssR(s)R*(s)C*(s)C(s)G0(s)se-Ts1R(z)R(z)z-1R(z)(1-z-1)R(z)C(z)