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1、1第第4 4章章动量和角动量动量和角动量本章重点：本章重点：4.1;4.2;4.4;4.524.1.1 动量动量质点动力质点动力学问题学问题度量质点度量质点运动的量运动的量动动 量量与质量和速度与质量和速度有关的状态量有关的状态量1、瞬时性、瞬时性2、矢量性、矢量性3、相对性、相对性在直角坐标系中在直角坐标系中单位（单位（SI）：）：kgms-1讨论讨论 4.1 动量定理动量定理34.1.2 质点的动量定理质点的动量定理（动量的变化与作用量的关系）（动量的变化与作用量的关系）由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：表示力的时间累积，叫时间表示力的时间累积，叫时间d t 内内合外力合外力 的冲量的冲量。
2、1）微分形式：）微分形式：2）积分形式：）积分形式：若为恒力：若为恒力：1、冲量、冲量(impulse)力对时间的积累产生的效果是什么呢？力对时间的积累产生的效果是什么呢？冲量是力对时间的积累。冲量是力对时间的积累。2、动量定理动量定理1）微分形式：微分形式：由由 得：得：4 动量定理的微分式动量定理的微分式在一个过程中，质点所受合力的冲量等于质点动量的增量。在一个过程中，质点所受合力的冲量等于质点动量的增量。2）积分形式：积分形式：对上式积分，对上式积分，动量定理的积分式动量定理的积分式即：即：(a)反映了过程量与状态量的关系。反映了过程量与状态量的关系。(c)只适用于惯性系。只适用于惯性系
3、。说明说明 从动量定理可以知道，在从动量定理可以知道，在相等的冲量相等的冲量作用下，作用下，不同质量不同质量的物体，的物体，其其速度变化速度变化是不相同的，但它们的是不相同的，但它们的动量变化动量变化却是一样的，所以从却是一样的，所以从过程角度来看，过程角度来看，动量比速度能更恰当地反映物体的运动状态。动量比速度能更恰当地反映物体的运动状态。因因此，一般描述物体做机械运动时的状态参量，用动量比用速度更此，一般描述物体做机械运动时的状态参量，用动量比用速度更确切些。确切些。动量和位矢动量和位矢是描述物体机械状态的状态参量。是描述物体机械状态的状态参量。53、动量定理的分量形式、动量定理的分量形式
4、即即质点所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于质点动量在质点所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于质点动量在该方向上分量的增量。该方向上分量的增量。在直角坐标系中，动量定理的在直角坐标系中，动量定理的分量式分量式为为 在在低速运动低速运动情况下，质点的质量是恒量，动量定理可写为情况下，质点的质量是恒量，动量定理可写为61)冲力冲力:碰撞过程中物体间相互作用碰撞过程中物体间相互作用时间极短时间极短，相互作用，相互作用力力 很大很大，而且往往，而且往往随时间变化随时间变化，这种力通常称为，这种力通常称为冲力冲力。若冲力很大，其它外力可忽略时，则：若冲力很大，其它外力可忽略时，则：若其它外力不可忽略
5、时若其它外力不可忽略时,则则 是合外力的平均。是合外力的平均。2)平均冲力平均冲力:冲力对碰撞时间的平均值。冲力对碰撞时间的平均值。即：即：4、动量定理的应用、动量定理的应用 增大、减小冲力作用增大、减小冲力作用增大、减小冲力作用增大、减小冲力作用 应用动量定理增大或减小冲力的实例在日常生产、应用动量定理增大或减小冲力的实例在日常生产、生活中非常广泛。生活中非常广泛。78由两个质点组成的质点系：由两个质点组成的质点系：n 个质点组成的质点系：个质点组成的质点系：质点系的动力学方程质点系的动力学方程即即 质点系所受合外力等于系统总动量的时间变化率。质点系所受合外力等于系统总动量的时间变化率。4.
6、1.3 质点系的动力学方程质点系的动力学方程 内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量内力可以改变一个质点的动量，但对系统总动量 的改变无贡献。的改变无贡献。说明说明91、微分形式：、微分形式：动量定理的微分式动量定理的微分式它表明它表明 在一个过程中，系统所受合外力的冲量等于在一个过程中，系统所受合外力的冲量等于 系统在同一时间内动量的增量。系统在同一时间内动量的增量。2、积分形式：、积分形式：由由 得：得：对上式积分，对上式积分，动量定理的积分式动量定理的积分式即：即：4.1.4 质点系的动量定理：质点系的动量定理：103、质点系动量定理的分量形式、质点系动量定理的分量形式即即系统所受合
7、外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量 在该方向上分量的增量。在该方向上分量的增量。在直角坐标系中，动量定理的分量式为在直角坐标系中，动量定理的分量式为 11例题例题4-1 人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的撞击力。人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的撞击力。若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？解解 设人的质量为设人的质量为M，从高，从高h处跳向地面，刚接触地面时的处跳向地面，刚接触地面时的速率为速率为v0，与地面碰撞的时间为与地面碰撞的时间为t，期间重心下移了，期
8、间重心下移了s 。由由动量定理动量定理得：得：设人落地后设人落地后匀减速匀减速变为静止，则碰撞时间为：变为静止，则碰撞时间为：设人从设人从 2 m 处跳下，重心下移处跳下，重心下移 1 cm，则：，则：骨折骨折!讨论讨论设人的体重为设人的体重为70kg70kg，则平均冲力为：，则平均冲力为：1213解解 选取选取车厢和车厢里的煤车厢和车厢里的煤 m 和和即将落入车厢的煤即将落入车厢的煤 dm 为研究的为研究的系统。取水平向右为正。系统。取水平向右为正。t 时刻系统的水平总动量：时刻系统的水平总动量：t+dt 时刻系统的水平总动量时刻系统的水平总动量:dt 时间内水平总动量的增量：时间内水平总动
9、量的增量：由动量定理得：由动量定理得：例题例题4-2 一辆装煤车以一辆装煤车以v=3ms-1 的速率从煤斗下面通过，每秒落的速率从煤斗下面通过，每秒落入车厢的煤为入车厢的煤为m=500kg。如果使车厢的速率保持不变，应该用。如果使车厢的速率保持不变，应该用多大的牵引力拉车厢？（车厢与轨道间的摩擦力忽略不计多大的牵引力拉车厢？（车厢与轨道间的摩擦力忽略不计)14对质点系，由对质点系，由知，当知，当时时动量守恒定律动量守恒定律应用动量守恒定律时应注意应用动量守恒定律时应注意 时时,系统的动量守恒系统的动量守恒.并不意味着每个质点的动量不变，并不意味着每个质点的动量不变，在内力的作用下，每个质点一般
10、均不断改变着其动量。但总的在内力的作用下，每个质点一般均不断改变着其动量。但总的动量和动量和保持不变，即内力不改变总动量，这一结论与内力的性保持不变，即内力不改变总动量，这一结论与内力的性质无关。质无关。若外力与内力相比较小得多时，可认为近似满足动量守恒若外力与内力相比较小得多时，可认为近似满足动量守恒条件。例如碰撞、打击、爆炸等现象中重力和摩擦力等可忽条件。例如碰撞、打击、爆炸等现象中重力和摩擦力等可忽略不计略不计。当质点系所受的合外力为零时，质点系的总动量保持不变。当质点系所受的合外力为零时，质点系的总动量保持不变。4.2 动量守恒定律动量守恒定律15 动量守恒定律由牛顿定律导出，但它比牛
11、顿定律应用的范动量守恒定律由牛顿定律导出，但它比牛顿定律应用的范围更广泛。不仅适用于宏观现象而且适用于微观现象。围更广泛。不仅适用于宏观现象而且适用于微观现象。动量和力是矢量，可沿坐标轴分解，当沿某坐标方向所受合动量和力是矢量，可沿坐标轴分解，当沿某坐标方向所受合外力为零时，总动量沿该方向的分量守恒。外力为零时，总动量沿该方向的分量守恒。动量守恒定律只适用于惯性系。动量守恒定律只适用于惯性系。1617例题例题4-3 质量为质量为m1，仰角为，仰角为 的炮车发射了一枚质量为的炮车发射了一枚质量为m2 的炮的炮 弹，弹，炮弹发射时相对炮身的速率为炮弹发射时相对炮身的速率为u，不计地面摩擦不计地面摩
12、擦 求求 1）炮弹出口时炮车的速率）炮弹出口时炮车的速率v1 。2）发射炮弹过程中，炮车移动的距离（炮膛长为）发射炮弹过程中，炮车移动的距离（炮膛长为L）。）。解：解：1）选炮车和炮弹为系统，地面为参考系，选坐标系如图。）选炮车和炮弹为系统，地面为参考系，选坐标系如图。由由x 方向的动量守恒可得：方向的动量守恒可得：由相对速度：由相对速度：得：得：水平方向合外力为零，系统总动量沿水平方向合外力为零，系统总动量沿x 分量守恒。分量守恒。设炮弹相对地面的速度为设炮弹相对地面的速度为v2 。18解得：解得：“”号表示炮车反冲速度与号表示炮车反冲速度与x 轴正向相反。轴正向相反。）若以）若以u(t)表
13、示炮弹在发射过程中任一时刻，炮弹相对炮表示炮弹在发射过程中任一时刻，炮弹相对炮 车的速率，则此时炮车相对地面的速率车的速率，则此时炮车相对地面的速率设炮弹经设炮弹经 t 秒出口，在秒出口，在 t 秒内炮车沿水平方向移动了：秒内炮车沿水平方向移动了：负号表示炮身沿负号表示炮身沿x轴负向后退。轴负向后退。19例题例题4-4：光滑水平面与半径为光滑水平面与半径为R的竖直光滑半圆环轨道相接，的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块两滑块A、B的质量均为的质量均为m，弹簧的劲度系数为，弹簧的劲度系数为k，其一端固定在，其一端固定在O点，另一端与滑块点，另一端与滑块A接触，开始时滑块接触，开始时滑块B静止于半圆环
14、轨道的静止于半圆环轨道的底端，今用外力推滑块底端，今用外力推滑块A，使弹簧压缩一段距离，使弹簧压缩一段距离x后再释放，滑后再释放，滑块块A脱离弹簧后与脱离弹簧后与B作作完全弹性碰撞完全弹性碰撞，碰后，碰后B将沿半圆环轨道上将沿半圆环轨道上升，升到升，升到C点与轨道脱离，点与轨道脱离，OC与竖直方向成与竖直方向成60，求弹簧被，求弹簧被压缩的距离压缩的距离x.解：解：设滑块设滑块A离开弹簧时速度离开弹簧时速度为为v，在弹簧恢复原形的过程中机，在弹簧恢复原形的过程中机械能守恒械能守恒A脱离弹簧后速度不变，与脱离弹簧后速度不变，与B作完全弹性碰撞，交换速度，作完全弹性碰撞，交换速度，A静止，静止，B
15、以初速以初速v沿圆环轨道上升。沿圆环轨道上升。B在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒20当滑块当滑块B沿半圆环轨道上升到沿半圆环轨道上升到C点时与轨道脱离，满足点时与轨道脱离，满足 联立上面式子求解可得联立上面式子求解可得 例例题题4-5 两两个个带带理理想想弹弹簧簧缓缓冲冲器器的的小小车车A和和B，质质量量分分别别为为m1和和m2。B不不动动，A以以速速度度 与与B 碰碰撞撞，已已知知两两弹弹簧簧的的劲劲度度系系数数分分别别为为k1和和k2，不不计计摩摩擦擦，求求两两车车相相对对静静止止时时，其其间间的的作作用用力力为为多多大大？（弹弹簧质
16、量略而不计）簧质量略而不计）解解：两小车碰撞为弹性碰撞，在：两小车碰撞为弹性碰撞，在碰撞过程中当两小车相对静止时，碰撞过程中当两小车相对静止时，两车速度相等。两车速度相等。在碰撞过程中，以两车和弹簧为在碰撞过程中，以两车和弹簧为系统，动量守恒，机械能守恒。系统，动量守恒，机械能守恒。21x1、x2分别为相对静止时两弹簧的压缩分别为相对静止时两弹簧的压缩量。由牛顿第三定律量。由牛顿第三定律所以相对静止时两车间的相互作用力所以相对静止时两车间的相互作用力联立上面的式子，得联立上面的式子，得224.3.1 质心质心 为了简洁描述质点系的运动规律，引入质量中心（简称为了简洁描述质点系的运动规律，引入质
17、量中心（简称质心质心：质点系的质量中心质点系的质量中心）的概念。）的概念。N个质点组成的系统：个质点组成的系统：位矢分别为位矢分别为 质点系的动量为质点系的动量为 4.3 质心质心 质心运动定理质心运动定理23取质量为取质量为并与质点系具有并与质点系具有相同动量相同动量的质点的质点C其位矢为其位矢为，其速度为，其速度为，则有，则有C称为称为质点系的质心质点系的质心，称为质心的位矢。称为质心的位矢。质质心心相相对对质质点点系系的的位位置置与与坐坐标标系系的的选选取取无无关关，即即质质心心相相对于质点系本身是一个对于质点系本身是一个特定的位置特定的位置。比较得比较得24在直角坐标系下，质心在直角坐
18、标系下，质心C的坐标为的坐标为对质量连续分布的质点系：对质量连续分布的质点系：(1)几何形状对称的均匀物体，质心就是几何对称中心。几何形状对称的均匀物体，质心就是几何对称中心。(2)有有些些物物体体的的质质心心可可能能不不在在所所求求的的物物体体上上，但但有有明明确确的的物物理意义。理意义。(3)重重心心是是重重力力合合力力的的作作用用点点，尺尺寸寸不不大大的的物物体体，质质心心与与重重心重合。心重合。说明说明25 例题例题4-6 一长为一长为L，密度分布不均匀的细棒，其质量线密度，密度分布不均匀的细棒，其质量线密度=0 x/L，0为常量，为常量，x从轻端算起，求其质心。从轻端算起，求其质心。
19、解：取坐标原点与轻端相重合，解：取坐标原点与轻端相重合，x轴沿棒长方向，如图，取质元轴沿棒长方向，如图，取质元264.3.2 质心运动定理质心运动定理由质心位矢由质心位矢对对t 求导，得求导，得为质心运动的加速度。为质心运动的加速度。质心运动定理质心运动定理即：作用于质点系的合外力等于质点系的总质量乘即：作用于质点系的合外力等于质点系的总质量乘上质心的加速度上质心的加速度27说明说明 质点系各质点由于内力和外力的作用，其运动情况可质点系各质点由于内力和外力的作用，其运动情况可能很复杂，但质心的运动可能很简单。能很复杂，但质心的运动可能很简单。1)质点系质点系质心的运动，质心的运动，只取决于合外
20、力只取决于合外力，内力无影响。，内力无影响。2)当当时，时，质心的加速度与把全部质量集中在质心质心的加速度与把全部质量集中在质心的质点的加速度相同。的质点的加速度相同。3)质心运动定理只能描述质心的运动情况，质心运动定理只能描述质心的运动情况，而每个质点的实而每个质点的实 际运动应是质心运动与该质点相对质心运动的际运动应是质心运动与该质点相对质心运动的叠加叠加。4）把实际物体抽象为质点，正是只考虑了质心而忽略了）把实际物体抽象为质点，正是只考虑了质心而忽略了 物体中各质点相对质心的运动。物体中各质点相对质心的运动。2829例题例题4-7 质量分别为质量分别为m1和和m2的两质点组成的质的两质点
21、组成的质点系，质心处于静止状态。质量为点系，质心处于静止状态。质量为m1的质点以的质点以半径半径r1，速率，速率v1绕质心做匀速圆周运动，求质点绕质心做匀速圆周运动，求质点m2的运动规律。的运动规律。解解 如图所示，取质心为坐标系的原点，如图所示，取质心为坐标系的原点，可得两质点的位矢满足如下方程可得两质点的位矢满足如下方程 由于质心静止，所以质心的动量为零，即由于质心静止，所以质心的动量为零，即动量的大小满足动量的大小满足 两质点位置矢量方向始终相反，故两质点位置矢量方向始终相反，故m2也做匀速圆周运动，也做匀速圆周运动，且半径由上式确定。且半径由上式确定。则则m2以此速率也做匀速圆周运动。
22、以此速率也做匀速圆周运动。30SI 中：中：kgm2/s方向：由方向：由右手螺旋法则右手螺旋法则确定。确定。(2)(2)相对性相对性 a)参考系不同，矢径不同，动量不同，角动量也不同。参考系不同，矢径不同，动量不同，角动量也不同。b)原点原点O选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。质点对质点对参考点参考点的角动量的角动量4.4.1 角动量角动量（动量矩）（动量矩）大小大小:(1)(1)矢量性矢量性 4.4 角动量定理角动量定理 1.质点的角动量质点的角动量 31(3)(3)在直角坐标系中的在直角坐标系中的分量式分量式 a)、作圆周运动的质点、作圆周
23、运动的质点 m 对圆心对圆心O 的角动量的角动量方向：方向：与与 同向，垂直于转动平面，同向，垂直于转动平面，与质点转动绕向成与质点转动绕向成右手螺旋关系右手螺旋关系特殊的，特殊的，特殊的，特殊的，做做匀速圆周运动匀速圆周运动的质点的质点对圆心的角动量是恒量。对圆心的角动量是恒量。(4)(4)两个特例：两个特例：注意不要与向心力表达式混淆！注意不要与向心力表达式混淆！32方向：由右手螺旋定则确定。方向：由右手螺旋定则确定。质点对质点对O点的角动量为：点的角动量为：若若O 取在直线上，则：取在直线上，则：质量为质量为m 的质点作直线运动。的质点作直线运动。t1 时刻质点对时刻质点对O点的角动量为
24、：点的角动量为：b)、作直线运动的质点角动量、作直线运动的质点角动量 若物体做匀速直线运动，对同一参考点若物体做匀速直线运动，对同一参考点O，则，则 对不同的参考点，质点有不同的角动量对不同的参考点，质点有不同的角动量大小：大小：t2 时刻质点对时刻质点对O点的角动量为：点的角动量为：大小：大小：方向：与方向：与 同向。同向。结论：结论：结论：结论：332、质点系的角动量：、质点系的角动量：质点系的角动量等于各个质点对同一参考点的角动量矢量和：质点系的角动量等于各个质点对同一参考点的角动量矢量和：4.4.2 质点的角动量定理质点的角动量定理对动量，有：对动量，有：定义了角动量，需要找出当运动状
25、态变化时，角动量的变化定义了角动量，需要找出当运动状态变化时，角动量的变化遵守的规律。即要找到遵守的规律。即要找到将角动量将角动量 对对时间求导时间求导，可得：，可得：？34定义：作用于质点上的定义：作用于质点上的合外力对合外力对参考点的力矩参考点的力矩(2)在直角坐标系中在直角坐标系中单位：牛顿单位：牛顿米（米（Nm）(1)大小：大小：d 为为力臂力臂。方向：由方向：由右手螺旋定则右手螺旋定则确定。确定。1、力矩：、力矩：35(4)作用于质点的作用于质点的合合外力矩外力矩等于合外力的力矩。等于合外力的力矩。质点的角动量定理质点的角动量定理质点所受的质点所受的合外力矩合外力矩等于它的等于它的角
26、动量的时间变化率角动量的时间变化率。力矩满足叠加原理：作用于一个质点上的力矩满足叠加原理：作用于一个质点上的各个力的力矩各个力的力矩的矢量和（合力矩）的矢量和（合力矩）等于等于各个力的合力的力矩各个力的合力的力矩。和和 是对是对同一惯性系中同一参考点同一惯性系中同一参考点而言的。而言的。说明说明(3)相对性：依赖于参考点相对性：依赖于参考点O 的选择。的选择。2、质点的角动量定理：、质点的角动量定理：36质点角动量定理的微分形式质点角动量定理的微分形式力矩对时间的积累产生的效果是角动量的变化。力矩对时间的积累产生的效果是角动量的变化。角动量定理：质点角动量的增量等于质点受到的角动量定理：质点角
27、动量的增量等于质点受到的角冲量角冲量。表示作用于质点上的力矩在表示作用于质点上的力矩在t1到到t2时间内的时间内的时间积累效应，称为力矩的时间积累效应，称为力矩的角冲量角冲量或或冲量矩冲量矩。表示质点在表示质点在t1到到t2时间内角动量的增量时间内角动量的增量由由得得质点角动量定理的积分形式质点角动量定理的积分形式37例例题题4-8 质质量量为为m、线线长长为为l 的的单单摆摆，可可绕绕点点O 在在竖竖直直平平面面内内摆摆动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。动，初始时刻摆线被拉成水平，然后自由放下。求求:摆摆线线与与水水平平线线成成角角时时，摆摆球球所所受受到到的的力力矩矩及及摆摆球球对
28、对点点O 的角动量；的角动量；摆球到达点摆球到达点 B 时，角速度的大小。时，角速度的大小。解解 任意位置时受力为：重力；拉力。任意位置时受力为：重力；拉力。由由角动量定理角动量定理：瞬时角动量瞬时角动量：重力对重力对O 点的力矩点的力矩为：为：方向方向：垂直于纸面向里。：垂直于纸面向里。拉力对拉力对O 点的力矩为零点的力矩为零。38另另解解：也也可可以以利利用用机机械械能能守守恒恒定定律律求求出出摆摆球球线线速速度度后后再再求求角动量和角速度。角动量和角速度。394.4.3 质点系的角动量定理质点系的角动量定理作用力和反作用力对同一点力矩的矢量和等于零。作用力和反作用力对同一点力矩的矢量和等
29、于零。412、积分形式：、积分形式：质点系角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量。质点系角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量。1、微分形式：、微分形式：只取决于系统所受的只取决于系统所受的外力矩之和外力矩之和，而与内力矩无关，而与内力矩无关，内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的 总角动量。总角动量。质质点点系系所所受受的的合合外外力力矩矩等等于于系系统统角角动动量量的的时时间变化率间变化率 质点系的角动量定理。质点系的角动量定理。说明说明424.5.1 质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律若质点所受的合力矩若质点所受的合力矩即：若对
30、某一参考点，质点所受外力矩即：若对某一参考点，质点所受外力矩的矢量和恒为零，则此质点对该参考点的矢量和恒为零，则此质点对该参考点的角动量保持不变。的角动量保持不变。质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 4.5 角动量守恒定律角动量守恒定律例如：例如：地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。2、有心力有心力，与位矢与位矢 在同一直线上，从而在同一直线上，从而 。3、当作用在质点上的合外力矩对、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零某一方向的分量为零时，则质时，则质点的角动量沿此方向的分量守恒。点的角动量沿此方向的分量守恒。讨论讨论根据根据
31、则则匀速直线运动的质点对任一固定参考点的角动量守恒。匀速直线运动的质点对任一固定参考点的角动量守恒。不等同于不等同于 1、若若43解解 如图，行星在太阳引力作用下如图，行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动，沿椭圆轨道运动，t 时间内行星径时间内行星径矢扫过的面积近似为：矢扫过的面积近似为：由于行星只受由于行星只受有心力作用有心力作用，其，其角动量守恒角动量守恒例题例题4-9 利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对太利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积阳的径矢在单位时间内扫过的面积(面积速度面积速度)是常量。是常量。面积速度面积速度:4445 开普
32、勒第一定律（椭圆定律开普勒第一定律（椭圆定律/轨道定律）轨道定律）：每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳，：每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳，而太阳处在椭圆的一个焦点上。而太阳处在椭圆的一个焦点上。开普勒第二定律（面积定律）：从太开普勒第二定律（面积定律）：从太阳到行星所连接的直线在相等时间内扫阳到行星所连接的直线在相等时间内扫过同等的面积。过同等的面积。开普勒第三定律（调和定律开普勒第三定律（调和定律/周期定律）周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。公转周期的二次方的比值都相等。开普勒利用第谷多年积累的观测开普勒利用第谷多年积累的
33、观测资料，发现了行星沿椭圆轨道运行，资料，发现了行星沿椭圆轨道运行，并且提出行星运动三定律，为牛顿发并且提出行星运动三定律，为牛顿发现万有引力定律打下了基础。现万有引力定律打下了基础。开普勒，德国天文学开普勒，德国天文学家。被誉为家。被誉为“天空立天空立法者法者”46例题例题4-10 我国在我国在1971年发射的科学实验卫星在以地心为焦年发射的科学实验卫星在以地心为焦点的椭圆轨道上运行。已知卫星近地点的高度点的椭圆轨道上运行。已知卫星近地点的高度h1=226 km，远地，远地点的高度点的高度h2=1826 km，卫星经过近地点时的速率，卫星经过近地点时的速率v1=8.13 kms-1，试求卫星
34、通过远地点时的速率和卫星运行周期。（地球半径，试求卫星通过远地点时的速率和卫星运行周期。（地球半径R=6.37103 km）。）。解：由于卫星所受地球引力为解：由于卫星所受地球引力为有心力有心力，所以卫星对地球中心，所以卫星对地球中心的的角动量守恒角动量守恒在远地点时，位矢的大小为在远地点时，位矢的大小为 将坐标原点取在地心，则卫星在将坐标原点取在地心，则卫星在轨道的近地点时，位矢的大小为轨道的近地点时，位矢的大小为47 设卫星在远地点时的速率为设卫星在远地点时的速率为v2，且近地点和远地点处的速度，且近地点和远地点处的速度与该处的径矢垂直，故由与该处的径矢垂直，故由角动量守恒定律角动量守恒定
35、律可得可得故有故有设椭圆轨道的面积为设椭圆轨道的面积为S，卫星的面积速，卫星的面积速度为度为dS/dt，则卫星的运动周期，则卫星的运动周期a、b分别为椭圆轨道的长半轴和分别为椭圆轨道的长半轴和短半轴，分别为短半轴，分别为可得可得48补充例题：补充例题：用绳系一小球使它在光滑的水平面上作用绳系一小球使它在光滑的水平面上作匀速率匀速率圆周运圆周运动，动，其半径为其半径为r0，角速度为，角速度为 。现通过圆心处的小孔。现通过圆心处的小孔缓慢地缓慢地往下往下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为r 时小球的角速度。时小球的角速度。解解 选取平面上绳穿过的小孔选取平面上绳穿过的
36、小孔O为原点。为原点。所以小球对所以小球对O 点的点的角动量守恒角动量守恒。因为绳对小球的拉力沿绳指向小因为绳对小球的拉力沿绳指向小孔，则该力对孔，则该力对O 点的力矩点的力矩：49504.5.2 质点系的角动量守恒定律：质点系的角动量守恒定律：角动量守恒定律角动量守恒定律1、角动量守恒的条件是合外力矩等于零。、角动量守恒的条件是合外力矩等于零。合外力为零不一定合外力为零不一定 合外力矩等于零合外力矩等于零。2、系统角动量守恒，各质点的角动量可交换。、系统角动量守恒，各质点的角动量可交换。3、适用于惯性系，也可适用于微观现象。、适用于惯性系，也可适用于微观现象。当质点系所受合外力矩对某参考点为
37、零时，质点系的角动量当质点系所受合外力矩对某参考点为零时，质点系的角动量对该参考点守恒对该参考点守恒。例：例：力偶的合力等于零，合力矩不等于零。力偶的合力等于零，合力矩不等于零。说明说明时，时，514 4、力偶、力偶 力偶矩力偶矩大小相等、方向相反、不在同一条直线大小相等、方向相反、不在同一条直线上的一对力称为力偶。上的一对力称为力偶。合力矩：合力矩：52例题例题4-11 两人质量相等两人质量相等,位于同一高度，各由绳子一端开始爬绳，位于同一高度，各由绳子一端开始爬绳，绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先达顶？解解：选两人及轮为系统，选两人及轮
38、为系统，O 为参考点，取为参考点，取垂直板面向外为正垂直板面向外为正。系统所受外力如图。系统所受外力如图。产生力矩的只有重力。产生力矩的只有重力。53即两人同时到达顶点。即两人同时到达顶点。由角动量定理：由角动量定理：54法二法二:(角动量守恒角动量守恒)1、若其中一个人不动若其中一个人不动，外力矩情况依然外力矩情况依然，内力矩对角动量内力矩对角动量 无贡献无贡献，因而角动量守恒因而角动量守恒。即轻者先即轻者先到到达达。2、若、若m1m2，则则系统所受的合外力矩为零，则系统所受的合外力矩为零，则角动量守恒角动量守恒。讨论讨论两人仍然同时到达两人仍然同时到达55 例题例题4-12 如图所示，静止
39、在水平光滑桌面上长为如图所示，静止在水平光滑桌面上长为l的轻质细杆的轻质细杆和和的小球，系统的小球，系统的小球的小球 l/3 处的处的O 点在水平面桌面上转动点在水平面桌面上转动的小球以水平速度的小球以水平速度沿和细杆垂直方向与沿和细杆垂直方向与的小球作对心的小球作对心碰撞碰撞，碰后以，碰后以求碰后细杆获得的角速度求碰后细杆获得的角速度 （质量忽略不计）两端分别固定质量为（质量忽略不计）两端分别固定质量为可绕距质量为可绕距质量为今有一质量为今有一质量为质量为质量为/2的速度返回，的速度返回，解解 取三个小球和细杆组成的系统，取三个小球和细杆组成的系统，O点为参考点，各质点受的重力和桌点为参考点
40、，各质点受的重力和桌面的支持力大小相等方向相反，对面的支持力大小相等方向相反，对O点的力矩的矢量和为零。点的力矩的矢量和为零。O点对细杆点对细杆的作用力对的作用力对O点的力矩为零系统所点的力矩为零系统所受的合外力矩为零所以，系统的角受的合外力矩为零所以，系统的角动量守恒动量守恒 56解：解：取小球与地球为系统，机械能守恒取小球与地球为系统，机械能守恒。由角动量守恒得由角动量守恒得联立解得联立解得例题例题4-13 质量为质量为m的小球的小球A，以速度，以速度v0沿质量为沿质量为M、半径为、半径为R的的地球表面切向水平向右飞出，地轴地球表面切向水平向右飞出，地轴OO与与v0平行，小球平行，小球A的
41、运动的运动轨道与轴轨道与轴OO相交于点相交于点C，OC=3R，若不考虑地球的自转和空，若不考虑地球的自转和空气阻力，求小球气阻力，求小球A在点在点C的速度与的速度与OO轴之间的夹角轴之间的夹角。57 例例 在在光滑光滑水平面上，有一原长为水平面上，有一原长为l0=0.6m，劲度系数，劲度系数k=8Nm-1 的弹性绳，绳的一端系一质量为的弹性绳，绳的一端系一质量为m=0.2 kg 的小球，另一端的小球，另一端 固定在水平面的固定在水平面的A 点，最初弹性绳是松弛的，小球点，最初弹性绳是松弛的，小球B 的位置的位置 及初速度如图，当小球的速率为及初速度如图，当小球的速率为v 时，它与时，它与A 的
42、距离最大，的距离最大，此时此时l=0.8m,求：此时的速率求：此时的速率v 及初速率及初速率 v0 0解：解：B与与A端的距离最大时，端的距离最大时，小球的速度与绳垂直。小球的速度与绳垂直。角动量守恒：角动量守恒：机械能守恒：机械能守恒：可得可得58碰撞及其分类碰撞及其分类3、碰撞分类、碰撞分类 弹性碰撞弹性碰撞碰撞后形变消失，无机械能损失；碰撞后形变消失，无机械能损失；非弹性碰撞非弹性碰撞碰撞后，形变不能恢复。一部分机械能变成热碰撞后，形变不能恢复。一部分机械能变成热能。能。完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞碰撞后粘在一起，不再分开，以相同的速碰撞后粘在一起，不再分开，以相同的速度运动，机械能损失
43、最大。度运动，机械能损失最大。1、碰撞：物体之间相互作用时间极短的现象、碰撞：物体之间相互作用时间极短的现象不一定不一定接触接触2、碰撞的特点：、碰撞的特点：t 极短，内力远大于外力极短，内力远大于外力a.无外力：动量守恒无外力：动量守恒 （质点对质点）（质点对质点）b.无外力矩：角动量守恒（质点对定轴转动的刚体）无外力矩：角动量守恒（质点对定轴转动的刚体）4.6 碰碰 撞撞596061624.6.1 正碰正碰1.碰撞定律碰撞定律 两个小球相互碰撞，如果碰后的相对运动和碰前的相对运两个小球相互碰撞，如果碰后的相对运动和碰前的相对运动是同一条直线的，这种碰撞称为正碰或对心碰撞。动是同一条直线的，
44、这种碰撞称为正碰或对心碰撞。m1m2m2m1m2m1牛顿认为：碰撞后的分离速度牛顿认为：碰撞后的分离速度(v2-v1)与碰撞前两球的接近速度与碰撞前两球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由两球的材料决定，即成正比，比值由两球的材料决定，即e 称为恢复系数称为恢复系数 e=0 时时 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞 时时 弹性碰撞弹性碰撞.1e=时时 非弹性碰撞非弹性碰撞.63动量守恒动量守恒 2.一维正碰一维正碰碰撞定律碰撞定律联立解得联立解得m1m2m2m1m2m1取向右为正方向，根据：取向右为正方向，根据：64当当e=0 时为完全非弹性碰撞时为完全非弹性碰撞当当e=1 时为弹性碰撞时为弹
45、性碰撞正碰中质量相等的两个小球在弹性碰撞中彼此交换速度正碰中质量相等的两个小球在弹性碰撞中彼此交换速度。一个质量很小的物体与一个质量很大的静止物体相碰，质量小的一个质量很小的物体与一个质量很大的静止物体相碰，质量小的物体改变运动方向，而质量大的静止物体几乎保持不动。物体改变运动方向，而质量大的静止物体几乎保持不动。碰后两物体以同一速度运动，并不分开。碰后两物体以同一速度运动，并不分开。3.碰撞过程中动能的损失碰撞过程中动能的损失 654.6.2 斜碰（二维碰撞）斜碰（二维碰撞）系统的动量守恒系统的动量守恒 y方向上有方向上有 x方向上（方向上（按正碰）按正碰）有有 与一维碰撞一样，二维碰撞也分
46、为弹性碰撞和非弹性碰撞。与一维碰撞一样，二维碰撞也分为弹性碰撞和非弹性碰撞。对于弹性碰撞仍然遵守机械能守恒定律。对于弹性碰撞仍然遵守机械能守恒定律。（了解）（了解）66 例题例题4-15 质量分别为质量分别为m和和m的两个小球，系的两个小球，系于等长线上，构成连于同一悬挂点的单摆，于等长线上，构成连于同一悬挂点的单摆，如图所示。将如图所示。将m拉至拉至h高处，由静止释放。在高处，由静止释放。在下列情况下，求两球上升的高度。（下列情况下，求两球上升的高度。（1）碰撞）碰撞是完全弹性的；是完全弹性的；（2）碰撞是完全非弹性的。）碰撞是完全非弹性的。解解 （1）碰撞前小球）碰撞前小球m的速度的速度
47、，由于碰撞是完全弹性的，由于碰撞是完全弹性的，所以满足动量守恒，并且碰撞前后动能相等。设两小球碰撞后的速所以满足动量守恒，并且碰撞前后动能相等。设两小球碰撞后的速度分别为度分别为v 和和v，则有，则有 可解得可解得67上升的高度分别为上升的高度分别为H和和H（2）完全非弹性碰撞，设两球的共同速度为）完全非弹性碰撞，设两球的共同速度为u，由动量守恒，由动量守恒定律可得定律可得 两球上升的高度为两球上升的高度为68例题例题4-16：热中子被静止氦核散射。氦核热中子被静止氦核散射。氦核M,热中子热中子m,且且M/m=4,散射为弹性碰撞。中子的散射角散射为弹性碰撞。中子的散射角111，求中子在散，求中
48、子在散射过程中损失了多少能量？射过程中损失了多少能量？解：解：系统的动量守恒和机械能守恒系统的动量守恒和机械能守恒化简得化简得三式联立得三式联立得散射后与散射前中子动能之比为散射后与散射前中子动能之比为所以动能损失了所以动能损失了50%50%。69小小 结结1、质点的、质点的动量定理动量定理 动量定理的微分式动量定理的微分式 动量定理的积分式动量定理的积分式2、质点系的、质点系的动力学方程动力学方程ddpFt=vv外外3、质点系的、质点系的动量定理动量定理70当当时时4、动量守恒定律、动量守恒定律5、质心运动定理、质心运动定理7、质点及质点系的角动量定理：、质点及质点系的角动量定理：6、质点及质点系的角动量：、质点及质点系的角动量：8、质点及质点系的角动量守恒定律质点及质点系的角动量守恒定律9 9、碰撞、碰撞