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1、第第4 4章章动量和角动量动量和角动量(6)angularmomentumMomentumand内容提要内容提要 动量守恒定律动量守恒定律 角动量及守恒定律角动量及守恒定律14-1 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律上上式式表表明明:质质点点所所受受合合外外力力的的冲冲量量等等于于质质点点动动量量的增量。这一结论称为的增量。这一结论称为质点动量定理质点动量定理。一一.质点动量定理质点动量定理冲量冲量,对恒力对恒力F,(4-1)学习要求学习要求：要学会计算要学会计算变力变力的冲量，掌握在一个的冲量，掌握在一个平面平面内应用动量定理求解力学问题的方法。内应用动量定理求解力学问题的方法。2解
2、解由动量定理：由动量定理：例题例题4-1一物体质量一物体质量m=2kg,受合外力受合外力F=(3+2t)i(SI)的作用，初速度的作用，初速度 0=5j(m/s)；求第求第1秒末物体的速秒末物体的速度及第度及第1s内内合外力的功。合外力的功。=(3t+t2)i+5j代入代入:t=1,得得 =2i+5j (m/s)(3+2t)(3t+t2)合外力的功合外力的功:=4J由动能定理：由动能定理：=4J功率功率:P=F 或或3例题例题4-2质量为质量为m的质点，经时间的质点，经时间t、以不变的速以不变的速率率 越过一水平光滑轨道越过一水平光滑轨道60的弯角，求轨道作用于质的弯角，求轨道作用于质点的平均
3、冲力的大小。点的平均冲力的大小。解解平均冲力可视为恒力，由动量定理有平均冲力可视为恒力，由动量定理有 求解求解(2-1)的方法有两个：的方法有两个：三角形法三角形法单位矢量法单位矢量法m 1 2图4-130o30o平均冲力平均冲力4于是平均冲力的大小为于是平均冲力的大小为（1）三角形法）三角形法 画出画出 =2-1的的矢量三角形矢量三角形，再再解此三角形解此三角形;由图由图4-2可求得可求得|=|2-1|=2 cos30o=F(即即 )的方向与轨道成的方向与轨道成30o(竖竖直向上直向上),如图如图4-2所示。所示。30o30oo 2 1m 1 2图4-230o30o5 建立直角坐标系建立直角
4、坐标系(如图如图4-3)，把，把每个矢量用单位矢量表示出来每个矢量用单位矢量表示出来:代入下式就得代入下式就得（2）单位矢量法）单位矢量法30o30oo 2xy 1m 1 2图4-330o30o大小大小:,方向方向:j(y轴正方向轴正方向)。F6例题例题4-3煤粉自高煤粉自高h=0.8m处的料斗口自由落在传送处的料斗口自由落在传送带带A上。设料斗口连续卸煤的流量为上。设料斗口连续卸煤的流量为qm=40kg/s,传送带传送带A的速度的速度=3m/s。求卸煤的过程中，煤粉对传送带。求卸煤的过程中，煤粉对传送带A的的平均作用力的大小和方向。平均作用力的大小和方向。(不计相对传送带静止的煤不计相对传送
5、带静止的煤粉质量，取粉质量，取g=10m/s2）取在时间取在时间dt内落下的煤粉内落下的煤粉dm=qmdt为为研究对象研究对象,由动量定理有由动量定理有解解煤粉下落煤粉下落h时的速度时的速度Ah图4-4 07(1)单位矢量法单位矢量法xyo 根据牛顿第三定律，煤粉对根据牛顿第三定律，煤粉对传送带传送带A的平均作用力与此力的平均作用力与此力大小相等而方向相反。大小相等而方向相反。F=40(-o)=40(3i+4j )=3,o=4=53.1o 大小大小:F =200N,与与x轴正方向的轴正方向的夹角夹角:Ah图4-4 08由图可求得由图可求得煤粉对传送带煤粉对传送带A的平均作用力的大小的平均作用力
6、的大小:画出画出 =-0的的矢量三角矢量三角形如右图所示形如右图所示。(2)三角形法三角形法方向与图中方向与图中 的方向相反的方向相反。o FAh图4-4 0=3,o=4=53.1o9例题例题4-4一质量均匀分布的柔软的细绳铅直地一质量均匀分布的柔软的细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上。如果把绳的上端放开，绳将落向桌面。试证明：在绳下落的的上端放开，绳将落向桌面。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。桌面上的绳重量的三倍。此时落在桌面上的绳此时落在桌面
7、上的绳m=h受力受力:证证设绳的线密度为设绳的线密度为。任意时。任意时刻刻t(下落下落h时时),绳的速度为绳的速度为重力重力mg、桌面的支持力桌面的支持力N、落落下绳的冲力下绳的冲力F。由右下图可知由右下图可知:N=mg+F。图4-5mNFmgm10取时间取时间tt+dt内落下的绳内落下的绳dm=.dt为研究对象，由动量定理得为研究对象，由动量定理得F.dt=dm.=.2dt所以所以F=.2N=mg+F所以所以F=.2=.2gh=2mg最后得最后得:N=mg+F=3mg即即:作用于桌面的压力作用于桌面的压力是重量的三倍。是重量的三倍。已知已知图4-5NFmgmmFdmdmg 11质点系质点系(
8、系统系统)作为研究对象的质点的集合。作为研究对象的质点的集合。内力内力系统内各质点间的相互作用力。系统内各质点间的相互作用力。外力外力系统以外的物体对系统内质点的作用力。系统以外的物体对系统内质点的作用力。处处理理质质点点系系问问题题的的思思路路是是：把把质质点点动动量量定定理理应应用用于质点系中的每一个质点于质点系中的每一个质点,设系统有设系统有n个物体个物体,其其内力内力:f12,f21,fn1;外力外力:F1,F2,Fn。二二.质点系动量定理质点系动量定理然后将然后将这些方程相加，这些方程相加，就得到用于整个系就得到用于整个系统的动量定理统的动量定理。图4-6f1nfn1fi1f1iFi
9、F1mim1Fnfnifinmn12 这就是这就是质点系的动量定理质点系的动量定理,它表明系统所受的它表明系统所受的合外合外力的冲量等于系统总动量的增量。力的冲量等于系统总动量的增量。式中式中i=1,2,.。对所有对所有质点求质点求和，就得和，就得:根据牛顿第三定律根据牛顿第三定律,内力之和内力之和fij=0,mi:(fij+Fi)dt=mi i-mi io(4-5)(fij+Fi)dt=mi i-mi io 图4-6f1nfn1fi1f1iFiF1mim1Fnfnifinmn13 这这就就是是说说,当当质质点点系系所所受受的的合合外外力力为为零零时时,这这一一质质点点系系的的总总动动量量矢矢
10、量量就就保保持持不不变变。这这一一结结论论叫叫做做动动量量守恒定律。守恒定律。几点说明几点说明:(1)系系统统动动量量定定理理和和动动量量守守恒恒定定律律告告诉诉我我们们，一一个个系系统统总总动动量量的的改改变变完完全全由由合合外外力力来来确确定定，与与内内力力无无关关。内内力力能能引引起起动动量量在在系系统统内内的的物物体体间间传传递递，而而不不能改变系统的总动量。能改变系统的总动量。如如果果质质点点系系所所受受的的合合外外力力为为零零,即即Fi=0,则则由由式式(4-5)可得可得 mi i=常矢量常矢量(4-6)三三.动量守恒定律动量守恒定律14 (2)系统动量守恒的条件是系统动量守恒的条
11、件是合外力为零合外力为零,即即 由此可见由此可见,如果质点系沿某坐标方向所受的合外如果质点系沿某坐标方向所受的合外力为零力为零,则沿此坐标方向的总动量守恒。则沿此坐标方向的总动量守恒。(4)动量定理和动量守恒定律只适用于动量定理和动量守恒定律只适用于惯性系惯性系。(3)动量守恒表示式动量守恒表示式(4-6)是矢量关系式。在实际是矢量关系式。在实际问题中问题中,常应用其沿坐标轴的分量式常应用其沿坐标轴的分量式:系统不受外力系统不受外力 Fi=0 系统受外力，但矢量和为零系统受外力，但矢量和为零 内力内力外力外力(如爆炸如爆炸、短时间内的碰撞短时间内的碰撞）Fx=0,则则mi ix=常量常量Fy=
12、0,则则mi iy=常量常量Fz=0,则则mi iz=常量常量 15 名名称称碰撞前后碰撞前后相碰物体相碰物体有无动能损失有无动能损失形变能否恢复形变能否恢复弹性碰撞弹性碰撞无动能损失无动能损失形变能完全恢复形变能完全恢复非弹性碰撞非弹性碰撞有部分动能损失有部分动能损失形变能部分恢复形变能部分恢复物体碰后分离物体碰后分离完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞有部分动能损失有部分动能损失形变完全不能恢形变完全不能恢物体碰后不分离物体碰后不分离复复碰撞通常分为三类：碰撞通常分为三类：4-3 碰撞的分类碰撞的分类16例题例题4-5两个质量分别为两个质量分别为M和和m的三棱柱体如图静的三棱柱体如图静止放置，其水
13、平尺寸如图，各处光滑。求当止放置，其水平尺寸如图，各处光滑。求当m的下边的下边缘滑到水平面时，缘滑到水平面时，M在水平面上移动的距离。在水平面上移动的距离。解解系统系统(M和和m):水平方向不受外力，故水平方向水平方向不受外力，故水平方向动量守恒。动量守恒。设设M与与m相对地面的速度分别相对地面的速度分别是是V和和，m相对于相对于M的速度为的速度为,则则m x-MVx=0(1)由相对运动公式有由相对运动公式有 x=a图4-7bmM xoVx-Vx (2)17 (M+m)Vx=mx 将上式对时间将上式对时间t积分，有积分，有:最后求得最后求得M在水平面上移动在水平面上移动的距离：的距离：是是m相
14、对于相对于M在水平方向移动的距离。在水平方向移动的距离。=S是是M相对水平地面移动的距离；相对水平地面移动的距离；将将 x=x-Vx代入代入m x-MVx=0得：得：a图4-7bmM xoV18例题例题4-6如图如图4-8所示，一辆质量为所示，一辆质量为M的平顶小车的平顶小车静止在光滑的水平轨道上，今有一质量为静止在光滑的水平轨道上，今有一质量为m的小物的小物体以水平速度体以水平速度 o滑向车顶。设物体与车顶之间的摩滑向车顶。设物体与车顶之间的摩擦系数为擦系数为，求，求:(1)从物体滑上车顶到相对车顶静从物体滑上车顶到相对车顶静止需多少时间？止需多少时间？(2)要物体不滑下车顶，车长至少要物体
15、不滑下车顶，车长至少应为多少？应为多少？M 0m图4-8解解(M+m):水平方向不受外力，水平方向不受外力，故动量守恒：故动量守恒：m o=(M+m)式中式中 是相对静止时的速度。是相对静止时的速度。(1)对物体对物体m应用动量定理，有应用动量定理，有-mg.t=m -m o解得解得19设车长至少为设车长至少为S,物体物体m的加速度的加速度:a=-mg/m=-g;=m o/=(M+m)则由则由 2-02=2aS得得S=(2-02)/2a=M(M+2m)02/(2 g(M+m)2)这个结果对吗？这个结果对吗？M 0m图4-8这个结果显然是错误的。因为这个结果显然是错误的。因为的加速度的加速度a是
16、相对惯性系是相对惯性系地面的，地面的，而速度而速度、0也是相对地面的，故也是相对地面的，故由公式由公式 2-02=2aS求出的求出的S当然也当然也应是物体相对地面的运动距离，应是物体相对地面的运动距离，而不是相对非惯性系而不是相对非惯性系(车顶车顶)的运的运动距离。动距离。(2)要物体不滑下车顶，车长至少应为多少？要物体不滑下车顶，车长至少应为多少？20 m相对地面的加速度：相对地面的加速度：a=-gm相对地面运动的距离：相对地面运动的距离：S1=(2-02)/2aM相对地面的加速度：相对地面的加速度：a0=mg/MM相对地面运动的距离：相对地面运动的距离：S2=2/2a0 =m o/=(M+
17、m)故车的最小长度为故车的最小长度为M 0m图4-8正确解法是：正确解法是：21M 0m图4-8另解：另解：由于一对内力由于一对内力(摩擦力摩擦力)的功与参考系无的功与参考系无关关,可取车为参考系来计算摩擦力的功可取车为参考系来计算摩擦力的功,由系统动由系统动能定理得能定理得要物体不滑下车顶要物体不滑下车顶,车的车的最小长度为最小长度为m o=(M+m)22例题例题4-7如图如图4-9所示，光滑地面上有一辆质量所示，光滑地面上有一辆质量为为M的静止的小车，小车上一长为的静止的小车，小车上一长为L的轻绳将小球的轻绳将小球m悬挂于悬挂于o点。把绳拉直，将小球由静止释放，求小球点。把绳拉直，将小球由
18、静止释放，求小球运动到最低点时的速率。运动到最低点时的速率。解解小球受两个力：绳的张小球受两个力：绳的张力力T，重力重力mg。解解得：得：这个解法对吗？这个解法对吗？oLm图4-9M Tmg因为小球绕因为小球绕o点作圆运动，点作圆运动，张力张力T与运动方向垂直，因此它与运动方向垂直，因此它不作功，只有重力不作功，只有重力(保守力保守力)作功，作功，所以机械能守恒：所以机械能守恒：23 说小球绕说小球绕o点作圆运动，张力点作圆运动，张力T不作功，因而机械能守恒，这是以不作功，因而机械能守恒，这是以小车为参考系作的结论。这里有两小车为参考系作的结论。这里有两个错误个错误:一是小车是非惯性系一是小车
19、是非惯性系(有加速有加速度度)，机械能守恒定律是不成立！，机械能守恒定律是不成立！二是机械能守恒条件中的功，二是机械能守恒条件中的功，应该在惯性系中计算。在惯性系应该在惯性系中计算。在惯性系(地面地面)上看上看,张力张力T要作功要作功,小球的小球的机械能是不守恒的。机械能是不守恒的。错错!错在那里？错在那里？对系统对系统(小车、小球和地球小车、小球和地球):一对内力一对内力(张力张力T)作功之和为零，只有保守内力作功之和为零，只有保守内力重力作功，则该系统重力作功，则该系统机械能守恒。机械能守恒。VoLm图4-9M Tmg24(1)系统动量守恒吗？系统动量守恒吗？竖直方向的动量显然不守恒，竖直
20、方向的动量显然不守恒，只有在水平方向只有在水平方向(根本不受外力根本不受外力)动量守恒动量守恒0=MV-m (2)解式解式(1)、(2)得小球运动到最得小球运动到最低点时的速率为低点时的速率为(M+m)：VoLm图4-9M Tmg25例题例题4-8半径为半径为R、质量为质量为M且表面光滑的半球，且表面光滑的半球，放在光滑的水平面上，在其正上方放置一质量为放在光滑的水平面上，在其正上方放置一质量为m的小物体，当小物体从顶端无初速地下滑，在如图的小物体，当小物体从顶端无初速地下滑，在如图所示的所示的 角位置处，开始脱离球面，试求：角位置处，开始脱离球面，试求：(1)角满足的关系式；角满足的关系式；
21、(2)分别讨论分别讨论m/M1时时cos 的取值。的取值。解解(1)小物体脱离球面的条小物体脱离球面的条件是：件是：N=0。(1)小物体离开球面的瞬间相小物体离开球面的瞬间相对球面作圆运动，而此时球对球面作圆运动，而此时球面是惯性系，于是沿法向有面是惯性系，于是沿法向有RM 图4-10mmVx rmgN26取地面为惯性系取地面为惯性系,以以m、M和地球为系统，机和地球为系统，机械能守恒械能守恒,于是有于是有取地面为惯性系取地面为惯性系,以以m、M为系统为系统,只有水平方只有水平方向动量守恒向动量守恒:(2)(3)应当注意：式应当注意：式(2)、(3)中的中的 x、是是m相对地面相对地面的速度。
22、的速度。RM 图4-10mmVx rmgN27 由速度合成定理由速度合成定理:xy(5)解上述式子得解上述式子得:(2)(3)(1)RM 图4-10mmVx rmgN(4)28 (2)当当m/Mm时时,cos=2/3这相当于这相当于M不动的情况。不动的情况。当当m/M1,即即mM时时,有有cos3-3cos+2=0分解因式得分解因式得(cos-1)2(cos+2)=0cos=1,=0这表明，这时这表明，这时M一下子滑出，一下子滑出，m竖直下落。竖直下落。RM 图4-10mmVx rmgN29例题例题4-9一倔强系数为一倔强系数为k、质量为质量为M的弹簧振子的弹簧振子,水水平放置并静止在平衡位置
23、平放置并静止在平衡位置,如图如图4-11所示。一质量为所示。一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度 射入振子中射入振子中,并随之一起运动。设并随之一起运动。设振子振子M与地面间的摩擦系数为与地面间的摩擦系数为,求弹簧的最大压缩量。求弹簧的最大压缩量。(2)解解1.碰撞过程碰撞过程(M+m):水平方向的外力水平方向的外力(摩擦力摩擦力和弹性力和弹性力)远远小于碰撞的内力，远远小于碰撞的内力，可忽略，故水平方向动量守恒：可忽略，故水平方向动量守恒：m =(M+m)1(1)2.压缩过程压缩过程由功能原理得由功能原理得m(平衡位置平衡位置)图4-11x Mk30解式解式(1)(2)得弹簧的最大压缩
24、量为得弹簧的最大压缩量为m =(M+m)1(1)(2)31例题例题4-10如图如图4-12所示，固定的光滑斜面，所示，固定的光滑斜面，=30。一。一轻弹簧上端固定，下端轻轻地挂上质量轻弹簧上端固定，下端轻轻地挂上质量M=1.0kg的木块。当木块下滑的木块。当木块下滑x=30厘米时，一水平方厘米时，一水平方向飞行的质量向飞行的质量m=0.01kg、速度、速度=200m/s子弹与其相碰子弹与其相碰并陷在其中。弹簧的倔强系数并陷在其中。弹簧的倔强系数k=25N/m。求子弹打入求子弹打入木块后它们刚一起运动时的速度。木块后它们刚一起运动时的速度。xk 图4-12Mm(1)木块的下滑过程木块的下滑过程(
25、2)碰撞过程碰撞过程分两步求解：分两步求解：32(木块木块+弹簧弹簧+地球地球)：系统机械能守恒。选弹簧原：系统机械能守恒。选弹簧原长处为零势点，则有长处为零势点，则有求得求得解解(1)木块的下滑过程木块的下滑过程xk 图4-12Mm 方向沿斜面向下。方向沿斜面向下。133在子弹射入木块的过程中，虽在子弹射入木块的过程中，虽然内力很大然内力很大,但斜面给木块的垂直于斜面的支持力但斜面给木块的垂直于斜面的支持力N不能忽略不能忽略(与内力同数量级与内力同数量级),而系统沿斜面方向的而系统沿斜面方向的外力外力(重力、弹性力重力、弹性力)的分力则可略去不计，故的分力则可略去不计，故只有只有沿斜面方向系
26、统动量守恒沿斜面方向系统动量守恒。若以。若以 2表示子弹打入木表示子弹打入木块后它们刚一起运动时的速度，则有块后它们刚一起运动时的速度，则有M 1-m cos=(M+m)2xk 图4-12Mm 1(2)碰撞过程碰撞过程负号表示此速度的方负号表示此速度的方向沿斜面向上。向沿斜面向上。代入数据解出代入数据解出:2=-0.89m/s。N(子弹子弹+木块木块):344-2 质心质心 质心运动定理质心运动定理 将将三三角角板板(质质点点系系)抛抛出出，三三角角板板(质质点点系系)中中有有一一点点c始始终终按按抛抛物物线线运运动动,就就像像三三角角板板(质质点点系系)的的全全部部质质量量都都集集中中在在c
27、点点的的一一个个质质点点那那样样,这这个个几几何何点点c就就称称为为三角板三角板(质点系质点系)的质量中心的质量中心,简称简称质心。质心。.图4-13ccccc质心和重心的概念是有质心和重心的概念是有区别的。但在地面上，质心区别的。但在地面上，质心与重心重合。对质量均匀分与重心重合。对质量均匀分布的物体，质心也就是它的布的物体，质心也就是它的几何中心。如一根质量均匀几何中心。如一根质量均匀分布的细棒，质心就在它的分布的细棒，质心就在它的二分之一处。二分之一处。一一.质心质心35可以证明可以证明,质心坐标为质心坐标为:质点系的总质量质点系的总质量或或(4-8)(4-9)36二二.质心运动定理质心
28、运动定理质心速度质心速度:质点系的总质量质点系的总质量即即质点系的总质量质点系的总质量37图4-14f1nfn1fi1f1iFiF1mim1Fnfnifinmn(i=1,2,3)质心运动定理质心运动定理38质心运动定理质心运动定理系统所受系统所受合外力合外力=系统的总质量系统的总质量质心的加速度。质心的加速度。质心运动定理表明：质心运动定理表明：质心的运动规律，就像质点系质心的运动规律，就像质点系的全部质量、全部外力都集中在质心上的一个质点的的全部质量、全部外力都集中在质心上的一个质点的运动一样。运动一样。(1)质心的运动规律完全由合外力确定质心的运动规律完全由合外力确定,与内力无关。与内力无
29、关。(2)系统所受系统所受合外力为零，合外力为零，这表明，质心原来静止就静止；质心原来运动就这表明，质心原来静止就静止；质心原来运动就作匀速直线运动。作匀速直线运动。39(3)系统所受系统所受合外力为零，合外力为零，(系统动量守恒系统动量守恒)*4-4 火箭飞行原理火箭飞行原理(自学自学)40例题例题4-11如图如图4-15所示，开始时人和船都静所示，开始时人和船都静止止,当人从船的一端走到另一端时当人从船的一端走到另一端时,船移动的距离船移动的距离。(设船的质量为设船的质量为M,人人的质量为的质量为m,船长为船长为l,并忽略水并忽略水的阻力的阻力)。解解(M+m):系统所受系统所受合外力为零
30、合外力为零,质心不动质心不动:s图4-15yxo414-5 质点的角动量和角动量守恒定律质点的角动量和角动量守恒定律一一.质点的质点的角动量角动量 L=rpsin=m rsin 设质点的位矢为设质点的位矢为r，动量为动量为p=m (见图见图4-16)，角动量角动量L的大小的大小式中式中 是是r 与与 两矢量间的夹角。两矢量间的夹角。角动量的方向垂直于矢径角动量的方向垂直于矢径r 和和 所组成的平面所组成的平面,指指向是向是r 经小于经小于180o的角转到的角转到 时右螺旋的前进方向。时右螺旋的前进方向。d图4-16m roL(4-20)=m d则则质点对质点对o点的点的角动量角动量(也称也称动
31、量矩动量矩)为为42M=Frsin=FdL=rpsin=m rsin=m d角动量角动量L的大小的大小d图4-16m roLM=rF (4-21)力力F 对对o点的点的力矩力矩定义为定义为：力矩的大小力矩的大小问题问题:一质量为一质量为m的质点沿一直线以的质点沿一直线以速率速率 运动运动,它对直线上某点的角动量它对直线上某点的角动量为为它对与直线相距它对与直线相距d的某点的角动量为的某点的角动量为0;m d。图4-17rdoM质点对质点对o点的点的角动量角动量(动量矩动量矩)为为43 若若质质点点m以以角角速速度度 沿沿半半径径r的的圆圆周周运运动动(如如图图4-18),质点对给定点质点对给定
32、点o(圆心圆心)的角动量的大小的角动量的大小 显显然然，此此时时角角动动量量L的的方方向向与与角角速速度度 的的方方向向相相同同，就象图就象图4-18所示的那样，可由右手螺旋确定。所示的那样，可由右手螺旋确定。按按SI制制,角角动动量量的的单单位位是是千克千克米米2/秒秒(kgm2/s)。角角动动量量的的大大小小和和方方向向不不仅仅决决定定于于质质点点的的运运动动,也也依依赖赖于于所所选选定定的的参参考考点点,即即参参考考点点不不同同,质质点点的的角角动动量量也也不不同。同。L=m rLL图4-18m=m r2(4-20a)44二二.质点角动量定理质点角动量定理M=rF (4-21)上式中上式
33、中rF 是是合外力对固定点合外力对固定点o的的力力矩矩,以以M表示力矩表示力矩,有有 由于由于所以所以d图4-16m roL图4-17rdoM45于是得于是得:式式(4-22)的意义是的意义是:质点所受的合外力矩等于它的角动质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率量对时间的变化率。这个结论叫质点的。这个结论叫质点的角动量定理角动量定理。上式左端的积分称为冲量矩。式上式左端的积分称为冲量矩。式(4-24)的的意义是意义是:合外合外力矩的冲量力矩的冲量(冲量矩冲量矩)等于质点角动量的增量。等于质点角动量的增量。它是质它是质点角动量定理的积分形式。点角动量定理的积分形式。将式将式(4-11)两
34、边同乘以两边同乘以dt再积分得再积分得(4-22)(4-24)46 这就是说这就是说,对一固定点对一固定点o,质点所受的质点所受的合外力矩为零合外力矩为零,则此质点的则此质点的角动量矢量保持不变。角动量矢量保持不变。这一结论叫做质这一结论叫做质点点角动量守恒定律角动量守恒定律。三三.质点角动量守恒守律质点角动量守恒守律 根据式根据式(4-24),如果如果合外力矩零合外力矩零(即即M外外=0),则则L1=L2,L=常矢量常矢量即即对比：对比：角动量守恒定律是：角动量守恒定律是：M外外=0，则则L=常矢量。常矢量。动量守恒定律是：动量守恒定律是：F外外=0，则，则p=常矢量。常矢量。对比：对比：(
35、4-1)(4-24)47解解例题例题4-12一质点的质量为一质点的质量为m，位矢为：位矢为：r=acos t i+bsin t j(式中式中a、b、均均为常量为常量);求求质点的角动量及它所受的力矩。质点的角动量及它所受的力矩。xyzo48r=acos t i+bsin t j00=m abk=m49F=ma=-m 2rM=r F=-m 2r r=0质点所受的力矩质点所受的力矩:r=acos t i+bsin t jM=r F50解解小球对小球对o点的角动量守恒：点的角动量守恒：mr2 o=m(r/2)2 =4 o由动能定理，由动能定理，拉力的功为拉力的功为F图4-19orom例题例题4-13
36、如图如图4-19所示，一细绳穿过光滑水平桌所示，一细绳穿过光滑水平桌面上的小孔面上的小孔o，绳的一端系有一质量为绳的一端系有一质量为m的小球。的小球。开始时小球以角速度开始时小球以角速度 o绕孔绕孔o作半径作半径r的匀速圆周运的匀速圆周运动，现在向下缓慢拉绳，求半径从动，现在向下缓慢拉绳，求半径从r变为变为r/2过程中过程中拉力的功。拉力的功。51d解得解得:=4m/s,=30。解解对滑块运动有影响的力只有弹性力，故机械能对滑块运动有影响的力只有弹性力，故机械能都守恒：都守恒：例题例题4-14在一光滑的水平面上，有一轻弹簧在一光滑的水平面上，有一轻弹簧,倔倔强系数为强系数为k=100N/m,一
37、端固定于一端固定于o点，另一端连接一点，另一端连接一质量为质量为m=1kg的滑块，如图的滑块，如图4-20所示。设开始时，所示。设开始时，弹簧的长度为弹簧的长度为lo=0.2m(自然长度自然长度),滑块速度滑块速度 o=5m/s,方向与弹簧垂直。当弹簧转过方向与弹簧垂直。当弹簧转过90 时，其长度时，其长度l=0.5m，求此时滑块速度求此时滑块速度 的大小和方向。的大小和方向。角动量守恒：角动量守恒：m o lo=m lsin 图4-20olol omm52对对o点的角动量守恒：点的角动量守恒：m oR=解解火箭只受引力火箭只受引力(保守力保守力)作用，机械能守恒：作用，机械能守恒：解解得得Co图4-21 oAMRo3Rmdm 3Rsin 例题例题4-15质量为质量为m的火箭的火箭A，以水平速度，以水平速度 o沿地球沿地球表面发射出去，如图表面发射出去，如图4-21所示。火箭所示。火箭A的运动轨道与地的运动轨道与地轴轴oo 相交于距相交于距o为为3R的的C点。不考虑地球的自转和空点。不考虑地球的自转和空气阻力，求：气阻力，求：=？(设地球的质量为设地球的质量为M、半径为半径为R)53