第4章动量和角动量.pptx

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1、、质点的动量定理、质点的动量定理(动量的变化与作用量的关系）动量的变化与作用量的关系）由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：表示力的时间累积，叫时间表示力的时间累积，叫时间d t 内内合力合力 的冲量的冲量。1）微分形式：）微分形式：2）积分形式：）积分形式：若为恒力：若为恒力：1、冲量冲量(impulse)力对时间的积累产生的效果是什么呢力对时间的积累产生的效果是什么呢？冲量是力对时间的积累。冲量是力对时间的积累。2、动量定理动量定理1）微分形式：微分形式：由由 得：得：第1页/共72页 动量定理的微分式动量定理的微分式在一个过程中，质点所受合力的冲量等于质点动量的增量。在一个过程中，质点所受合力

2、的冲量等于质点动量的增量。2）积分形式：积分形式：对上式积分，对上式积分，动量定理的积分式动量定理的积分式即：即：1、反映了过程量与状态量的关系。、反映了过程量与状态量的关系。3、只适用于惯性系。、只适用于惯性系。说明说明 从动量定理可以知道从动量定理可以知道,在在相等的冲量相等的冲量作用下作用下,不同质量不同质量的物体的物体,其其速度变化速度变化是不相同的是不相同的,但它们的但它们的动量的变化动量的变化却是一样的却是一样的,所以从所以从过程角度来看过程角度来看,动量比速度能更能恰当地反映了物体的运动状态。动量比速度能更能恰当地反映了物体的运动状态。因此因此,一般描述物体作机械运动时的状态参量

3、一般描述物体作机械运动时的状态参量,用动量比用速度更用动量比用速度更确切些。确切些。动量动量是描述物体机械状态的状态参量。是描述物体机械状态的状态参量。第2页/共72页3、动量定理分量形式、动量定理分量形式即即系统所受合力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量系统所受合力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。在该方向上分量的增量。在直角坐标系中，动量定理的在直角坐标系中，动量定理的分量式分量式为为 在在低速运动低速运动情况下，质点的质量是恒量，动量定理可写为情况下，质点的质量是恒量，动量定理可写为第3页/共72页1)冲力冲力:碰撞过程中物体间相互作用碰撞过程中物体间相互作用时

4、间极短时间极短，相互作用，相互作用力力 很大很大，而且往往，而且往往随时间变化随时间变化，这种力通常称为，这种力通常称为冲力冲力。若冲力很大若冲力很大,其它外力可忽略时其它外力可忽略时,则：则：若其它外力不可忽略时若其它外力不可忽略时,则则 是合外力的平均。是合外力的平均。2)平均冲力平均冲力:冲力对碰撞时间的平均值。冲力对碰撞时间的平均值。即：即：4、动量定理的应用、动量定理的应用 增大、减小冲力作用增大、减小冲力作用增大、减小冲力作用增大、减小冲力作用第4页/共72页设质点系由设质点系由N个质点组成，它们的质量分别为个质点组成，它们的质量分别为m1,m2,mN第第i个质点的位矢为个质点的位

5、矢为，它所受的外力为，它所受的外力为，内力为，内力为动量为动量为,则第则第i个质点的动力学方程为个质点的动力学方程为、质点系的动力学方程、质点系的动力学方程对对N个质点的动力学方程求和，可得个质点的动力学方程求和，可得由于由于并令并令为质点系所受的所有外力的矢量和为质点系所受的所有外力的矢量和为质点系的总动量。则质点系动力学方程为为质点系的总动量。则质点系动力学方程为 它表明，质点系总动量的时间变化率等于作用于系统所有外力它表明，质点系总动量的时间变化率等于作用于系统所有外力的矢量和。内力可以改变质点系内每一个质点的动量，但所有的矢量和。内力可以改变质点系内每一个质点的动量，但所有内力对于系统

6、总动量的变化率的贡献等于零。在讨论质点系总内力对于系统总动量的变化率的贡献等于零。在讨论质点系总动量的改变时，只要考虑外力即可。动量的改变时，只要考虑外力即可。质点系的动力学方程质点系的动力学方程第5页/共72页1、微分形式：、微分形式：质点系质点系动量定理的微分式动量定理的微分式它表明它表明 在一个过程中，质点系所受合外力的冲量等于在一个过程中，质点系所受合外力的冲量等于 系统在同一时间内动量的增量。系统在同一时间内动量的增量。2、积分形式：积分形式：由质点系的动力学方程由质点系的动力学方程 得：得：对上式积分，对上式积分，质点系质点系动量定理的积分式动量定理的积分式即：即：、质点系的动量定

7、理、质点系的动量定理第6页/共72页3、动量定理分量形式动量定理分量形式即即质点系所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于质点系所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量在该方向上分量的增量。系统动量在该方向上分量的增量。在直角坐标系中，动量定理的分量式为在直角坐标系中，动量定理的分量式为 第7页/共72页 例题例题4-1 人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的撞人在跳跃时都本能地弯曲关节，以减轻与地面的撞击力。击力。若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？若有人双腿绷直地从高处跳向地面，将会发生什么情况？解解 设人的质量为设人的质量为M，从高，从高h 处跳向地面，落地的速率为

8、处跳向地面，落地的速率为v0，与地面碰撞的时间为与地面碰撞的时间为t，重心下移了，重心下移了s 。由由动量定理动量定理得：得：设人落地后作设人落地后作匀减速运动匀减速运动到静止，则：到静止，则：设人从设人从 2m 处跳下，重心下移处跳下，重心下移 1cm，则：，则：可能发生骨折。可能发生骨折。讨论讨论设人的体重为设人的体重为70 kg70 kg，此时平均冲力：，此时平均冲力：第8页/共72页 解解 选取车厢和车厢里的煤选取车厢和车厢里的煤 m 和即将和即将落入车厢的煤落入车厢的煤 d m 为研究的系统。取水平为研究的系统。取水平向右为正。向右为正。t 时刻系统的水平总动量：时刻系统的水平总动量

9、：t+dt 时刻系统的水平总动量时刻系统的水平总动量:dt 时间内水平总动量的增量：时间内水平总动量的增量：由动量定理得：由动量定理得：例题例题4-2 一辆装煤车以一辆装煤车以v=3m/s 的速率从煤斗下面通过，每的速率从煤斗下面通过，每秒落入车厢的煤为秒落入车厢的煤为m=500kg。如果使车厢的速率保持不变，。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？应用多大的牵引力拉车厢？（摩擦忽略不计（摩擦忽略不计)第9页/共72页对质点系，由对质点系，由知，当知，当时时动量守恒定律动量守恒定律应用动量守恒定律时应注意应用动量守恒定律时应注意 时时,系统的动量守恒系统的动量守恒.并不意味着每个质

10、点的动量不变并不意味着每个质点的动量不变 在内力的作用下，每个质点一般均不断改变着其动量。但总的在内力的作用下，每个质点一般均不断改变着其动量。但总的动量和保持不变，即内力不改变总动量，这一结论与内力的性动量和保持不变，即内力不改变总动量，这一结论与内力的性质无关。质无关。若外力与内力相比较小得多时，可认为近似满足动量守恒若外力与内力相比较小得多时，可认为近似满足动量守恒条件。例如碰撞、打击、爆炸等现象中重力和摩擦力等可忽条件。例如碰撞、打击、爆炸等现象中重力和摩擦力等可忽略不计略不计。当质点系所受的合外力为零时，质点系的总动量就保持不变。当质点系所受的合外力为零时，质点系的总动量就保持不变。

11、4.2 动量守恒定律动量守恒定律第10页/共72页 动量守恒定律由牛顿定律导出，但它比牛顿定律应用的范动量守恒定律由牛顿定律导出，但它比牛顿定律应用的范围更广泛。不仅适用于宏观现象而且适用于微观现象。围更广泛。不仅适用于宏观现象而且适用于微观现象。动量和力是矢量，可沿坐标轴分解，当沿某坐标方向所受合动量和力是矢量，可沿坐标轴分解，当沿某坐标方向所受合外力为零时，总动量沿该方向的分量守恒。外力为零时，总动量沿该方向的分量守恒。动量守恒定律只适用于惯性系。动量守恒定律只适用于惯性系。第11页/共72页第12页/共72页例题例题4-3 质量为质量为M，仰角为，仰角为的炮车发射了一枚质量为的炮车发射了

12、一枚质量为m的炮的炮弹，炮弹发射时相对炮身的速率为弹，炮弹发射时相对炮身的速率为u，不计摩擦，求，不计摩擦，求(1)炮弹炮弹出口时炮车的速率；出口时炮车的速率；()发射炮弹过程中，炮车移动的距离发射炮弹过程中，炮车移动的距离(炮膛长为炮膛长为L)。解解()选炮车和炮弹为系统选炮车和炮弹为系统,地地面为参考系面为参考系,系统所受合外力为系统所受合外力为N,mg,Mg都沿竖直方向，水平都沿竖直方向，水平方向合外力为零，系统总动量方向合外力为零，系统总动量x分量守恒。设炮弹出口时相对分量守恒。设炮弹出口时相对于地面的水平速度为于地面的水平速度为vx,炮身的炮身的反冲速度为反冲速度为vx,对地面参考系

13、有对地面参考系有由相对速度的概念可得由相对速度的概念可得得得第13页/共72页负号表示炮车反冲速度与负号表示炮车反冲速度与x轴正向相反。轴正向相反。（）若以（）若以u(t)表示炮弹在发射过程中任一时刻炮弹相对炮表示炮弹在发射过程中任一时刻炮弹相对炮车的速率，则此时炮车相对地面的速率车的速率，则此时炮车相对地面的速率设炮弹经设炮弹经t1s出口，在出口，在t1s内炮车沿水平方向移动了内炮车沿水平方向移动了解得解得负号表示炮身沿负号表示炮身沿x轴负向后退。轴负向后退。第14页/共72页P44 习题习题2-8 一根线密度为一根线密度为的均匀柔软链条，上端被人用手的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰

14、好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每提住，下端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离 s 时时对桌面的瞬时作用力。对桌面的瞬时作用力。解：链条对桌面的作用力由以下两部分组成：解：链条对桌面的作用力由以下两部分组成：已下落的已下落的s段对桌面的压力段对桌面的压力N1,正在下落的正在下落的dx段对桌面的冲力段对桌面的冲力N2，桌面对，桌面对dx段的作用力段的作用力为为N2，则，则取正在下落的取正在下落的dx段链条作为研究对象，它在段链条作为研究对象，它在dt时间之内速度由时间之内速度由变

15、为零，根据动量定理变为零，根据动量定理故链条对桌面的作用力故链条对桌面的作用力第15页/共72页第16页/共72页例题例题4-4 光滑水平面与半径为光滑水平面与半径为R的竖直光滑半圆环轨道相接，的竖直光滑半圆环轨道相接，两滑块两滑块A,B的质量均为的质量均为m,弹簧的劲度系数为弹簧的劲度系数为k，其一端固定在，其一端固定在O点，另一端与滑块点，另一端与滑块A接触，开始时滑块接触，开始时滑块B静止于半圆环轨道的底静止于半圆环轨道的底端，今用外力推滑块端，今用外力推滑块A,使弹簧压缩一段距离使弹簧压缩一段距离x后再释放，滑块后再释放，滑块A脱离弹簧后与脱离弹簧后与B作完全弹性碰撞，碰后作完全弹性碰

16、撞，碰后B将沿半圆环轨道上升，将沿半圆环轨道上升，升到升到C点与轨道脱离，点与轨道脱离，OC与竖直方向成与竖直方向成60，求弹簧被压缩，求弹簧被压缩的距离的距离x.解：解：设滑块设滑块A离开弹簧时速度离开弹簧时速度为为v,在弹簧恢复原形的过程中机械在弹簧恢复原形的过程中机械能守恒能守恒A脱离弹簧后速度不变，与脱离弹簧后速度不变，与B作完全弹性碰撞，交换速度，作完全弹性碰撞，交换速度，A静止，静止，B以初速以初速v沿圆环轨道上升。动量守恒沿圆环轨道上升。动量守恒B在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒在圆环轨道上运动时，它与地球系统的机械能守恒第17页/共72页例题例题4-5 两个带理想弹

17、簧缓冲器的小车两个带理想弹簧缓冲器的小车A、B,质量分别为质量分别为m1和和 m2,B不动，不动，A以速度以速度v0与与B相碰，如已知两车的缓冲弹簧的劲度相碰，如已知两车的缓冲弹簧的劲度系数分别为系数分别为k1和和k2，在不计摩擦力的情况下，求两车，在不计摩擦力的情况下，求两车相对静止相对静止时，时，其间的作用力多大？（弹簧的质量略而不计）其间的作用力多大？（弹簧的质量略而不计）解：当小车相碰达到解：当小车相碰达到共同速度共同速度v时两车相时两车相对静止。对静止。动量守恒动量守恒设相对静止时两弹簧分别压缩设相对静止时两弹簧分别压缩x1和和x2，因作用力相等，因作用力相等机械能守恒机械能守恒由由

18、先解出先解出第18页/共72页、质心、质心 质点系运动时，各质点的运动情况可能是各不相同的，很质点系运动时，各质点的运动情况可能是各不相同的，很复杂的，为了简洁描述质点系的运动状态，引入质量中心复杂的，为了简洁描述质点系的运动状态，引入质量中心(简简称质心：质点系的质量中心称质心：质点系的质量中心)的概念。的概念。N个质点组成的系统个质点组成的系统 位矢分别为位矢分别为 质点系的动量为质点系的动量为 4.3 质心质心 质心运动定理质心运动定理第19页/共72页取质量为取质量为并与质点系具有相同动量的质点并与质点系具有相同动量的质点C其位矢为其位矢为,其速度为其速度为，则有，则有C称为质称为质点

19、系的质心点系的质心，称为质心的位矢。称为质心的位矢。可可以以证证明明：质质心心相相对对质质点点系系的的位位置置与与坐坐标标系系的的选选取取无无关关，即即质心相对于质点系本身是一个特定的位置。质心相对于质点系本身是一个特定的位置。第20页/共72页引入质心后，质点系的动量与质点的动量表示式一样简洁。得引入质心后，质点系的动量与质点的动量表示式一样简洁。得质心质心C的坐标的坐标对质量连续分布的物体对质量连续分布的物体(1)几何形状对称的均匀物体，质心就是几何对称中心。几何形状对称的均匀物体，质心就是几何对称中心。(2)有有些些物物体体的的质质心心可可能能不不在在所所求求的的物物体体上上，但但有有明

20、明确确的的物物理意义。理意义。(3)重重心心是是重重力力合合力力的的作作用用点点，尺尺寸寸不不大大的的物物体体，质质心心与与重重心重合。心重合。说明说明第21页/共72页、质心运动定理、质心运动定理由质心位矢由质心位矢对对t求导，得求导，得为质心运动的加速度。由于为质心运动的加速度。由于 质心运动定理质心运动定理作用于质点系的合外力等于质点系的总质量乘上质心的加速度作用于质点系的合外力等于质点系的总质量乘上质心的加速度第22页/共72页说明说明 质心的运动只由质点系所受的合外力决定，内力对质心的质心的运动只由质点系所受的合外力决定，内力对质心的运动不产生影响。运动不产生影响。当当时，时，内力不

21、改变质心的运动状态。内力不改变质心的运动状态。质点系受的合外力在某个方向为零时，质点系受的合外力在某个方向为零时，在该方向的投影等在该方向的投影等于恒矢量，该方向动量守恒。于恒矢量，该方向动量守恒。质心运动定理不能描述各质点的运动情况，每个质点的质心运动定理不能描述各质点的运动情况，每个质点的实际运动应是质心的运动和质点相对质心运动的叠加。实际运动应是质心的运动和质点相对质心运动的叠加。质点系各质点由于内力和外力的作用，其运动情况可能质点系各质点由于内力和外力的作用，其运动情况可能很复杂，但质心的运动可能很简单。很复杂，但质心的运动可能很简单。第23页/共72页上一张幻灯片第24页/共72页

22、例题例题4-6 一长为一长为L，密度分布不均匀的细棒，其质量线密度，密度分布不均匀的细棒，其质量线密度=0 x/L，0为常量，为常量，x从轻端算起，求其质心。从轻端算起，求其质心。解解 取坐标原点与轻端相重合，取坐标原点与轻端相重合，x轴沿棒长方向，如图，取质元轴沿棒长方向，如图，取质元第25页/共72页例题例题4-74-7 质量分别为质量分别为m1和和m2的两质点组成的质的两质点组成的质点系，质心处于静止状态。质量为点系，质心处于静止状态。质量为m1的质点以的质点以半径半径r1，速率，速率v1绕质心作匀速圆周运动，求质点绕质心作匀速圆周运动，求质点m2的运动规律。的运动规律。解解 如图所示，

23、取质心为坐标系的原点，可得如图所示，取质心为坐标系的原点，可得 两质点的位矢满足如下方程两质点的位矢满足如下方程 由于质心静止，所以质心的动量为零，即由于质心静止，所以质心的动量为零，即即动量的大小为即动量的大小为第26页/共72页SI 中中：kgm 2/s的方向：用的方向：用右手螺旋法则右手螺旋法则确定。确定。b）相对性相对性(1)参考系不同，矢径不同，动量不同，角动量也不同。参考系不同，矢径不同，动量不同，角动量也不同。(2)原点原点O选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。选取的不同，则位置矢量不同，角动量也不同。质点对参考点的角动量质点对参考点的角动量、角动量（动量矩）、角动量（动量

24、矩）a）矢量性矢量性 4.4 角动量定理角动量定理 1.1.质点的角动量质点的角动量 第27页/共72页C C）的直角坐标系中的的直角坐标系中的分量式分量式1)作圆周运动质点作圆周运动质点 m 对圆心对圆心O 的角动量的角动量方向：方向：与与 同向，垂直于转动平面，同向，垂直于转动平面，与质点转动绕向成与质点转动绕向成右手螺旋关系右手螺旋关系结论：结论：结论：结论：做匀速圆周运动的质点做匀速圆周运动的质点对圆心的角动量是恒量。对圆心的角动量是恒量。第28页/共72页方向：由右手螺旋定则确定。方向：由右手螺旋定则确定。质点对质点对O点的角动量为：点的角动量为：（3）若）若O 取在直线上，则：取在

25、直线上，则：说明说明 质量为质量为m 的质点作直线运动。的质点作直线运动。t 时刻质点对时刻质点对O点的角动量为：点的角动量为：2)作直线运动质点的角动量作直线运动质点的角动量（1）若物体作匀速直线运动，对同一参考点）若物体作匀速直线运动，对同一参考点O，则，则（2 2）对不同的参考点，质点有不同的恒定角动量）对不同的参考点，质点有不同的恒定角动量大小：大小：第29页/共72页2、质点系的角动量：、质点系的角动量：质点系的角动量等于各个质点对同一参考点的角动量之和质点系的角动量等于各个质点对同一参考点的角动量之和、质点的角动量定理、质点的角动量定理对动量，有：对动量，有：对角动量？对角动量？定

26、义了角动量，需要找出当运动状态变化时，角动量的定义了角动量，需要找出当运动状态变化时，角动量的变化遵守的规律。即要找到变化遵守的规律。即要找到将角动量将角动量 对对时间求导时间求导，可得：，可得：第30页/共72页定义：作用于质点上的定义：作用于质点上的合力对参考点的力矩合力对参考点的力矩2、在直角坐标系中、在直角坐标系中单位：牛单位：牛米（米（Nm）1、大小：、大小：d 为为力臂力臂。方向：由方向：由右手螺旋定则右手螺旋定则确定。确定。第31页/共72页4、作用于质点的、作用于质点的合力矩等于合力的力矩。合力矩等于合力的力矩。质点的角动量定理质点的角动量定理质点所受的质点所受的合力矩合力矩等

27、于它的等于它的角动量的时间变化率角动量的时间变化率。力矩满足叠加原理：作用于一个质点上的力矩满足叠加原理：作用于一个质点上的各个力的力各个力的力矩的矢量和（合力矩）矩的矢量和（合力矩）等于等于各个力的合力的力矩各个力的合力的力矩。和和 是对同一惯性系中同一参考点而言的是对同一惯性系中同一参考点而言的说明说明3、相对性：依赖于参考点、相对性：依赖于参考点O 的选择。的选择。第32页/共72页（1）、质点角动量）、质点角动量微分形式微分形式（2）、质点角动量定理）、质点角动量定理积分形式积分形式角动量定理角动量定理质点角动量的增量等于质点受到的角冲量。质点角动量的增量等于质点受到的角冲量。力矩对时

28、间的积累产生的效应是角动量的变化。力矩对时间的积累产生的效应是角动量的变化。第33页/共72页 例例题题4-8 4-8 质质量量为为m、线线长长为为l 的的单单摆摆，可可绕绕点点O 在在竖竖直直平平面面内内摆摆动动，初初始始时时刻刻摆摆线线被被拉拉成成水水平平，然然后后自自由由放放下下。求求:摆摆线线与与水水平平线线成成角角时时，摆摆球球所所受受到到的的力力矩矩及及摆摆球球对对点点O 的的角角动动量量；摆球到达点摆球到达点 B 时，角速度的大小。时，角速度的大小。解解 任意位置时受力为：重力；张力。任意位置时受力为：重力；张力。由由角动量定理角动量定理：瞬时角动量瞬时角动量：重力对重力对O 点

29、的力矩为：点的力矩为：方向方向：垂直于纸面向里。：垂直于纸面向里。张力对张力对O 点的力矩为零点的力矩为零。第34页/共72页第35页/共72页、质点系的角动量定理、质点系的角动量定理作用力和反作用力对同一点力矩的矢量和等于零。作用力和反作用力对同一点力矩的矢量和等于零。2、积分形式：、积分形式：质点系角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量。质点系角动量的增量等于系统合外力矩的角冲量。1、微分形式：、微分形式：质质点点系系所所受受的的合合外外力力矩矩等等于于系系统统角角动动量量对对时时间变化率间变化率 质点系的角动量定理。质点系的角动量定理。第36页/共72页方向：垂直板面向外，大小：方向：垂直

30、板面向外，大小：方向：垂直板面向里，大小：方向：垂直板面向里，大小：作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。作用力与反作用力对同一点的力矩的矢量和为零。设：设：只取决于系统所受的外力矩之和，而与内力矩无关，只取决于系统所受的外力矩之和，而与内力矩无关，内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的内力矩只改变系统内各质点的角动量，但不影响系统的 总角动量。总角动量。说明说明第37页/共72页、质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律若质点所受的合力矩若质点所受的合力矩 若对某一参考点，质点所受力矩的矢量和恒为零，则此质若对某一参考点，质点所受力矩的矢量和恒为零，则此质点对该参考点的角动量

31、保持不变。点对该参考点的角动量保持不变。质点的角动量守恒定律质点的角动量守恒定律 4.5 角动量守恒定律角动量守恒定律例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。例如，地球卫星绕地球转动时，相对地球的角动量守恒。1、有心力有心力，与位矢与位矢 在同一直线上，从而在同一直线上，从而 。2、当作用在质点上的合外力矩对、当作用在质点上的合外力矩对某一方向的分量为零某一方向的分量为零时，时，则质点的角动量沿此方向的分量守恒。则质点的角动量沿此方向的分量守恒。并不等于：并不等于：注意：注意：讨论讨论第38页/共72页 解解 如图，行星在太阳引力作如图，行星在太阳引力作用下沿椭圆轨道运动，用下沿椭圆

32、轨道运动，t时间内行时间内行星径矢扫过的面积星径矢扫过的面积由于行星只受由于行星只受有心力作用有心力作用，其，其角动量守恒角动量守恒 例题例题4-9 利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相利用角动量守恒定律证明开普勒第二定律：行星相对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积对太阳的径矢在单位时间内扫过的面积(面积速度面积速度)是常量。是常量。面积速度面积速度:第39页/共72页 例题例题4-10 我国在我国在1971年发射的科学实验卫星在以地心为年发射的科学实验卫星在以地心为焦点的椭圆轨道上运行已知卫星近地点的高度焦点的椭圆轨道上运行已知卫星近地点的高度h1=226km，远，远地点的高度地点的高

33、度h2=1823km，卫星经过近地点时的速率，卫星经过近地点时的速率v1=8.13km/s，试求卫星通过远地点时的速率和卫星运行周期，试求卫星通过远地点时的速率和卫星运行周期（地球半径（地球半径R=6.37103km）解解 卫星轨道如图所示由卫星轨道如图所示由于卫星所受地球引力为于卫星所受地球引力为有心力有心力，所，所以卫星对地球中心的以卫星对地球中心的角动量守恒角动量守恒在远地点时，位矢的大小为在远地点时，位矢的大小为 若坐标原点取在地心，则卫若坐标原点取在地心，则卫星在轨道的近地点时，位矢的大星在轨道的近地点时，位矢的大小为小为第40页/共72页 设卫星在远地点时的速率为设卫星在远地点时的

34、速率为v2,且近地点和远地点处的且近地点和远地点处的速度与该处的径矢垂直，故由速度与该处的径矢垂直，故由角动量守恒定律角动量守恒定律可得可得故有故有 设椭圆轨道的面积为设椭圆轨道的面积为S，卫星的面积速度为，卫星的面积速度为dS/dt，则卫，则卫星的运动周期星的运动周期a、b分别为椭圆轨道的长半轴和短半轴，分别为分别为椭圆轨道的长半轴和短半轴，分别为可得可得第41页/共72页 例题补例题补 用绳系一小球使它在光滑的水平面上作用绳系一小球使它在光滑的水平面上作匀速率匀速率圆周圆周运动，运动，其半径为其半径为r0，角速度为，角速度为 。现通过圆心处的小孔缓慢地往。现通过圆心处的小孔缓慢地往下拉绳使

35、半径逐渐减小。求当半径缩为下拉绳使半径逐渐减小。求当半径缩为r 时小球的角速度。时小球的角速度。解解 选取平面上绳穿过的小孔选取平面上绳穿过的小孔O为原点。为原点。所以小球对所以小球对O 点的点的角动量守恒角动量守恒。因为绳对小球的的拉力因为绳对小球的的拉力 沿绳指向小孔，沿绳指向小孔，则力则力 对对O 点的力矩点的力矩：第42页/共72页、质点系的角动量守恒定律：、质点系的角动量守恒定律：角动量守恒定律角动量守恒定律1、角动量守恒的条件是合外力矩等于零。、角动量守恒的条件是合外力矩等于零。合外力为零不一定合外力为零不一定 合外力矩等于零。合外力矩等于零。2、系统角动量守恒，各质点的角动量可交

36、换。、系统角动量守恒，各质点的角动量可交换。3、适用于惯性系，也可适用于微观现象。、适用于惯性系，也可适用于微观现象。当质点系所受合外力矩对某参考点为零时，质点系的角动量当质点系所受合外力矩对某参考点为零时，质点系的角动量对该参考点守恒对该参考点守恒。例：例：力偶的合力等于零，合力矩不等于零。力偶的合力等于零，合力矩不等于零。说明说明第43页/共72页4 4、力偶、力偶 力偶矩力偶矩大小相等、方向相反、不在同一条直线大小相等、方向相反、不在同一条直线上的一对力称为力偶。上的一对力称为力偶。合力矩：合力矩：第44页/共72页状态量状态量外界外界作用量作用量基本基本原理原理守恒守恒定律定律动动 量

37、量角动量角动量能能 量量冲量冲量角冲量角冲量功功动量定理动量定理角动量定理角动量定理功能原理功能原理守恒守恒条件条件第45页/共72页 例题例题4-11 两人质量相等两人质量相等,位于同一高度，各由绳子一端开始位于同一高度，各由绳子一端开始爬绳，绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先到达顶点？爬绳，绳子与轮的质量不计，轴无摩擦。他们哪个先到达顶点？解解 选两人及轮为系统，选两人及轮为系统，O 为参考点，取垂直板面向外为正。为参考点，取垂直板面向外为正。系统所受外力如图。系统所受外力如图。产生力矩的只有重力。产生力矩的只有重力。第46页/共72页即两人同时到达顶点。即两人同时到达顶点。由角动量

38、定理：由角动量定理：第47页/共72页方法二方法二:(角动量守恒角动量守恒)1、若其中一个人不动若其中一个人不动，外力矩情况依然外力矩情况依然，内力矩对角动量内力矩对角动量 无贡献无贡献，因而角动量守恒因而角动量守恒。即轻者先即轻者先到到达达。2、若、若m1m2，则则系统所受的合外力矩为零，则系统所受的合外力矩为零，则角动量守恒角动量守恒。讨论讨论第48页/共72页 例题例题4-12 如图所示，静止在水平光滑桌面上长为如图所示，静止在水平光滑桌面上长为L的轻质细杆的轻质细杆和和的小球，系统的小球，系统的小球的小球 l/3 处的处的O点在水平面桌面上转动点在水平面桌面上转动的小球以水平速度的小球

39、以水平速度沿和细杆垂直方向与沿和细杆垂直方向与的小球作对心碰撞，碰后以的小球作对心碰撞，碰后以求碰后细杆获得的角速度求碰后细杆获得的角速度 （质量忽略不计）两端分别固定质量为（质量忽略不计）两端分别固定质量为可绕距质量为可绕距质量为今有一质量为今有一质量为质量为质量为/2的速度返回，的速度返回，解解 取三个小球和细杆组成的系统，取三个小球和细杆组成的系统，O点为参考点，各质点受的重力和桌点为参考点，各质点受的重力和桌面的支持力大小相等方向相反，对面的支持力大小相等方向相反，对O点的力矩的矢量和为零。点的力矩的矢量和为零。O点对细杆点对细杆的作用力对点的力矩为零系统所受的作用力对点的力矩为零系统

40、所受的合外力矩为零所以，系统的角动的合外力矩为零所以，系统的角动量守恒量守恒 第49页/共72页解解 取小球与地球为系统，机械能守恒取小球与地球为系统，机械能守恒。由角动量守恒得由角动量守恒得联立解得联立解得例题例题4-13 质量为质量为m的小球的小球A,以速度以速度v0沿质量为沿质量为M半径为半径为R的地球的地球表面切向水平向右飞出，地轴表面切向水平向右飞出，地轴OO与与v0平行，小球平行，小球A的运动轨道的运动轨道与轴与轴OO相交于点相交于点C,OC=3R,若不考虑地球的自转和空气阻力，若不考虑地球的自转和空气阻力，求小球求小球A在点在点C的速度与的速度与OO轴之间的夹角轴之间的夹角。第5

41、0页/共72页3、碰撞分类、碰撞分类 弹性碰撞弹性碰撞碰撞后形变消失，无机械能损失；碰撞后形变消失，无机械能损失；非弹性碰撞非弹性碰撞碰撞后，形变不能恢复。碰撞后，形变不能恢复。部分机械能变成热部分机械能变成热能；能；完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞碰撞后粘在一起，不再分开，以相同的速碰撞后粘在一起，不再分开，以相同的速度运动，机械能损失最大。度运动，机械能损失最大。1 1、碰撞是两个或多个物体在相遇时，物体之间在接触（或接、碰撞是两个或多个物体在相遇时，物体之间在接触（或接近）中发生强烈相互作用且持续时间极短，而物体的运动状态近）中发生强烈相互作用且持续时间极短，而物体的运动状态急剧变化的过程，

42、物体之间相互作用时间极短的现象。急剧变化的过程，物体之间相互作用时间极短的现象。2 2、碰撞的特点：作用时间极短，内力远大于外力，运动状态突、碰撞的特点：作用时间极短，内力远大于外力，运动状态突然发生改变。然发生改变。a.无外力或无外力或内力远大于外力内力远大于外力：动量守恒：动量守恒b.无外力矩：角动量守恒（质点对定轴转动的刚体）无外力矩：角动量守恒（质点对定轴转动的刚体）4.6 碰碰 撞撞第51页/共72页第52页/共72页第53页/共72页第54页/共72页、正碰、正碰1.碰撞定律碰撞定律两个小球相互碰撞，如果碰后的相对运动和碰前的相对运动是同两个小球相互碰撞，如果碰后的相对运动和碰前的

43、相对运动是同一条直线的，这种碰撞称为正碰或对心碰撞。一条直线的，这种碰撞称为正碰或对心碰撞。m1m2m2m1m2m1牛顿认为牛顿认为 碰撞后的分离速度碰撞后的分离速度(v2-v1)与碰撞前两球的接近速度与碰撞前两球的接近速度(v10-v20)成正比，比值由两球的材料决定，即成正比，比值由两球的材料决定，即e 称为恢复系数称为恢复系数当当e=0 时为完全非弹性碰撞时为完全非弹性碰撞 时时 弹性碰撞弹性碰撞.1e=时时 非弹性碰撞非弹性碰撞.第55页/共72页动量守恒动量守恒 m1m2m2m1m2m12.2.一维正碰一维正碰和碰撞定律和碰撞定律联立解得联立解得当当e=1 时为弹性碰撞时为弹性碰撞正

44、碰中质量相等的两个小球在弹性碰撞中彼此交换速度正碰中质量相等的两个小球在弹性碰撞中彼此交换速度。一个质量很小的物体与一个质量很大的静止物体相碰，质量小的一个质量很小的物体与一个质量很大的静止物体相碰，质量小的物体改变运动方向，而质量大的静止物体几乎保持不动。物体改变运动方向，而质量大的静止物体几乎保持不动。第56页/共72页 3.3.碰撞过程中动能的损失碰撞过程中动能的损失 当当e=0 时为完全非弹性碰撞时为完全非弹性碰撞表示碰后两物体以同一速度运动，并不分开。表示碰后两物体以同一速度运动，并不分开。第57页/共72页、斜碰（二维碰撞）、斜碰（二维碰撞）系统的动量守恒系统的动量守恒 y方向上有

45、方向上有 x方向上（方向上（按正碰）按正碰）有有 与一维碰撞一样，二维碰撞也分为弹性碰撞和非弹性碰撞。与一维碰撞一样，二维碰撞也分为弹性碰撞和非弹性碰撞。对于弹性碰撞仍然遵守机械能守恒定律。对于弹性碰撞仍然遵守机械能守恒定律。对于二维碰撞，如果两球是光滑的，可将碰撞时两球的连心线对于二维碰撞，如果两球是光滑的，可将碰撞时两球的连心线选为选为x轴，与连心线垂直方向为轴，与连心线垂直方向为y轴，如图所示。在轴，如图所示。在x轴方向上两轴方向上两球互相压缩。在球互相压缩。在y轴方向上两球没有互相压缩，因此，碰撞前后轴方向上两球没有互相压缩，因此，碰撞前后两球在两球在y轴方向的分速度分别保持原有数值。

46、轴方向的分速度分别保持原有数值。第58页/共72页 例题例题4-154-15 质量分别为质量分别为m和和m的两个小球，系于等的两个小球，系于等长线上，构成连于同一悬挂点的单摆，如图所示。长线上，构成连于同一悬挂点的单摆，如图所示。将将m拉至拉至h高处，由静止释放。在下列情况下，求高处，由静止释放。在下列情况下，求两球上升的高度。（两球上升的高度。（1 1）碰撞是完全弹性的；）碰撞是完全弹性的；（2 2）碰撞是完全非弹性的。）碰撞是完全非弹性的。解解 （1）碰撞前小球）碰撞前小球m的速度的速度 ，由于碰撞是完全弹性的，由于碰撞是完全弹性的，所以满足动量守恒，并且碰撞前后动能相等。设两小球碰撞后的

47、速所以满足动量守恒，并且碰撞前后动能相等。设两小球碰撞后的速度分别为度分别为v和和v，则有，则有 可解得可解得第59页/共72页上升的高度分别为上升的高度分别为H和和H（2 2）完全非弹性碰撞，设两球的共同速度为）完全非弹性碰撞，设两球的共同速度为u，由动量守恒定律可得，由动量守恒定律可得 二球上升的高度为二球上升的高度为第60页/共72页例题例题4-16：热中子被静止氦核散射。氦核热中子被静止氦核散射。氦核M,热中子热中子m,且且M/m=4,散射为弹性碰撞。中子的散射角散射为弹性碰撞。中子的散射角111，求中子在散，求中子在散射过程中损失了多少能量？射过程中损失了多少能量？解：解：系统的动量

48、守恒和机械能守恒系统的动量守恒和机械能守恒化简得化简得三式联立得三式联立得散射后与散射前中子动能之比为散射后与散射前中子动能之比为所以动能损失了所以动能损失了50%50%。第61页/共72页 例题例题 两半径为两半径为r的匀质小球靠在一起，处于静止状态。另的匀质小球靠在一起，处于静止状态。另有一半径为有一半径为2 2r的材料相同的大球以速度的材料相同的大球以速度v0 0与之作弹性碰撞，如与之作弹性碰撞，如图所示，图所示，v0 0的方向正好位于两小球球心中垂线上，求碰撞后大的方向正好位于两小球球心中垂线上，求碰撞后大球的速度。球的速度。解解 小小球球的的质质量量为为m，则则大大球球的的质质量量为

49、为M=8m,取取v0的的方方向向为为x轴轴的的正正向向，由由对对称称性性可可知知，碰碰撞撞后后大大球球的的速速度度仍仍沿沿x轴轴方方向向，设设为为vM M，碰碰撞撞后后两两小小球球的的速速度度大大小小相相等等，设设为为 ;运运动方向与动方向与x轴夹角相同，设为轴夹角相同，设为第62页/共72页联立解得联立解得由机械能守恒得：由机械能守恒得：由几何关系知：由几何关系知：由由 方向动量守恒得：方向动量守恒得：将将 及及 代入上两式，得代入上两式，得第63页/共72页、对称性与守恒定律、对称性与守恒定律1、对对称称性性对对某某种种几几何何形形体体施施行行某某种种操操作作，使使它它的的形形状状和和位位

50、置置都都不不显显现现任任何何可可觉觉察察的的变变化化。称称这这种种形形体体具具有有几几何何对对称称性性。雪花、昆虫、晶体雪花、昆虫、晶体。举例：球体通过任意中心轴的旋转，旋转对称性举例：球体通过任意中心轴的旋转，旋转对称性若球体上加记号若球体上加记号“”，不再具有旋转对称性，称为，不再具有旋转对称性，称为“对称性破对称性破缺缺”。系统从一个状态系统从一个状态 另一个状态另一个状态变换或操作变换或操作。一一个个变变换换使使系系统统从从一一个个状状态态 另另一一个个与与之之等等价价的的状状态态，称称该该系系统对这一变换统对这一变换(操作操作)是对称的是对称的。叫该系统的一个。叫该系统的一个对称操作