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1、第九章第九章 常微分方程数值解法常微分方程数值解法 1 1 引言引言 一、有关常微分方程一、有关常微分方程 二、数值解法二、数值解法三、数值解法的三种类型三、数值解法的三种类型 一、有关常微分方程一、有关常微分方程1.1.什么是常微分方程的初值问题什么是常微分方程的初值问题？理理论论上上可可以以证证明明：只只要要函函数数f(xf(x，y)y)适适当当光光滑滑关于关于y y满足李普希兹满足李普希兹(LipschitzLipschitz)条件条件常微分方程常微分方程初值问题初值问题则则初值问题的解存在唯一。初值问题的解存在唯一。例例思考：思考：常微分方程中的未知数是什么？常微分方程中的未知数是什么
2、？2.2.常微分方程的一般解常微分方程的一般解(解析解解析解)对对一一些些典典型型的的微微分分方方程程(可可分分离离变变量量方方程程，一一阶阶线线性性方方程程等等等等)，有有可可能能找找出出它它们们的的一一般般解解表表达达式式，然然后后用用初初始始条条件件确确定定表表达式中的任意常数，这样解即能确定。达式中的任意常数，这样解即能确定。例如例如 求解求解解：解：分离变量得分离变量得 dy=2xdx 积分得积分得y=x2+c 由初值得由初值得c=0 故解为故解为y=x2 注：生产和科研中所处理的微分方注：生产和科研中所处理的微分方程往往很复杂且大多得不出一般解程往往很复杂且大多得不出一般解 二、常
3、微分方程的数值解二、常微分方程的数值解 由由于于在在实实用用上上对对初初值值问问题题，一一般般是是要要求求得得到到解解在在若若干干点点上上满满足足规规定定精精确确度度的的近近似似值值yi，或或者者是是得得到到一一个个满满足足精精确确度度要要求求的的便便于于计计算算的的近近似表达式。似表达式。故故常常微微分分方方程程的的数数值值解解就就是是求求出出在若干点上解的近似值。在若干点上解的近似值。定义：定义：常微分方程初值问题的数值解常微分方程初值问题的数值解 一一般般是是指指在在由由初初始始点点x0开开始始的的若若干干离离散散的的x值值处处，即即对对x0 x1x2xn，求求出出准准确确值值y(x1)
4、,y(x2),，y(xn)的的近近似值似值y1，y2，yn 本本章章只只讨讨论论x0,x1,xn等等距距的的情情况，设况，设 xi+1-xi=h,i=0,1,n-1上式中的上式中的h值称为步长值称为步长.对于对于常微分初值问题常微分初值问题一般解一般解 y=y(x)数值解数值解x x0 x1 x2 xn y y0 y1 y2 yn 注：本章使用的符号注：本章使用的符号y(xi)：一一 般般 解解 y=y(x)在在 x=xi 处的精确值处的精确值.yi：一一 般般 解解 y=y(x)在在 x=xi处处 的近似值的近似值.三、数值解法的三种类型三、数值解法的三种类型1.用差商代替导数用差商代替导数
5、 由导数定义由导数定义 故若故若h的值较小，则有的值较小，则有 代入代入y=f(x,y)可得可得 即即 y(x+h)y(x)+hf(x,y)故原初值问题可离散化为故原初值问题可离散化为 于是由初始值于是由初始值y(x0)=y0出发，可出发，可依次地计算出依次地计算出 y1=y0+hf(x0,y0)y2=y1+hf(x0+h,y1)yn=yn-1+hf(x0+(n-1)h,yn-1)2.使用泰勒公式使用泰勒公式 在微分方程在微分方程y=f(x,y)中，中，y是是x及及y(x)的函数的函数.由于精确值由于精确值y(x+h)在在h=0处的泰勒展式为处的泰勒展式为 根据根据y=f(x,y)y=f(x,
6、y)，得公式得公式若取泰勒展式的前两项，则有若取泰勒展式的前两项，则有y(x+h)y(x)+hy(x)又又因为因为y=f(x,y)，故，故 故若取泰勒展式的前三项，则可故若取泰勒展式的前三项，则可得公式得公式 与上类似，一般可取公式为如下形与上类似，一般可取公式为如下形式式 注注：应应用用泰泰勒勒公公式式求求数数值值解解，从从形形式式上上看看简简单单，其其实实具具体体构构造造这这种种公公式式往往往往是是相相当当困困难难的的，因因为为它它需需要要提提供供导导数数值值，y y(j j)n n当当阶阶数数提提高高时时，求求导导过过程程可可能能很很复复杂杂，因因此此泰泰勒勒公公式式通通常常不不直直接接
7、使使用用，但但可可以以用用它它来来启启发发思思路。路。3.使用数值积分的方法使用数值积分的方法对于微分方程对于微分方程 y=f(x,y)两边求两边求x0到到x的定积分的定积分 即即 或写为或写为 这就是与初值问题这就是与初值问题等价的积分方程。只要用某种数值等价的积分方程。只要用某种数值积分方法便可建立起近似公式。积分方法便可建立起近似公式。例：例：对积分部分应用左矩形公式，则对积分部分应用左矩形公式，则有有 例：例：对积分部分应用梯形公式，则有对积分部分应用梯形公式，则有 故其数值公式为故其数值公式为 其其特特点点是是y yi i+1+1表表示示成成x xi i，x xi i+1+1及及y yi i的的隐函数隐函数.