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1、第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算一、向量的概念一、向量的概念二、向量的加法与数乘运算二、向量的加法与数乘运算三、小结三、小结向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：一、向量的概念一、向量的概念或或自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.1.向量及其表示向量及其表示相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.2.两向量的夹角两向量的夹角则有向线段则有向线段 与与 夹角夹角 (0 ),称称为为向量向量 与向量与向量 的夹角的夹角.特殊地，当两个向量中有一个零向量时，规定特殊地，当两个向量中有一个零向量时
2、，规定它们的夹角可在它们的夹角可在 0 与与 之间任意取值之间任意取值.3.向量的模向量的模向量向量 的大小或长度称为向量的模的大小或长度称为向量的模(norm).).|或或向量向量 或或 的模记为的模记为 .模长为模长为1 1的向量的向量.零向量零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.单位向量单位向量：记为记为 或或4.相等向量相等向量负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.5.两向量平行两向量平行零向量与任何向量平行零向量与任何向量平行.两向量两向量平行平行时，把它们的起点放在同一点，则它时，把它们的起点放在同一点，则它们的终点、公共起点在一条直线上们的终点、公共
3、起点在一条直线上.两向量两向量平行平行,又称两向量又称两向量共线共线 或或线性相关线性相关.1.加法加法1)平行四边形法则平行四边形法则2)三角形法则三角形法则二、向量的加法与数乘运算二、向量的加法与数乘运算向量的加法可推广到有限个向量相加向量的加法可推广到有限个向量相加n个向量相加个向量相加2.减法减法3.向量与数的乘法向量与数的乘法(数乘数乘)特别地特别地,当当 l=-1l=-1时时 ,两个向量的平行关系两个向量的平行关系 这是两向量平行的判别法这是两向量平行的判别法.由单位向量的定义，由单位向量的定义，任何非零向量可以表示为它的模与同向的单位任何非零向量可以表示为它的模与同向的单位向量的
4、数乘向量的数乘.向量的加法及向量与数相乘满足：向量的加法及向量与数相乘满足：向量的加法及数乘合称为向量的加法及数乘合称为向量的线性运算向量的线性运算.例例1 1 试用向量方法证明：对角线互相平分的试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形四边形必是平行四边形.证证与与 平行且相等平行且相等,结论得证结论得证.对数轴对数轴 Ou 上的任意一点上的任意一点 P,轴上有向线段轴上有向线段 都可唯一的表示为都可唯一的表示为 P 的坐标的坐标 u 与轴上单位向量与轴上单位向量 的乘积，即的乘积，即解解同理同理三、小结三、小结向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与数的乘法（注意与纯量的区别）注意与纯量的区别）（平行四边形法则）平行四边形法则）（注意数乘后的方向）注意数乘后的方向）