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1、上页 下页 返回 结束 第八章空间解析几何与向量代数2/19/2023上页 下页 返回 结束 第一节第一节 向量及其线性运算向量及其线性运算第八章一、向量的概念一、向量的概念二、向量的线性运算二、向量的线性运算三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 既有大小又有方向的量叫做既有大小又有方向的量叫做向量向量.在数学中在数学中,用用有向线段有向线段表示向量表示向量.有向线段的长度表示向量的大小有向线段的长度表示向量的大小;有向线段的方
2、向表示向量的方向有向线段的方向表示向量的方向.一、向量的概念一、向量的概念2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 向量的模向量的模单位向量单位向量零向量零向量零向量的起点和终点重合零向量的起点和终点重合,方向可看作是任意的方向可看作是任意的.2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 零向量与任何向量都平行零向量与任何向量都平行.2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回
3、结束 多个向量相加的情况多个向量相加的情况2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 三角不等式三角不等式2.2.向量的减法向量的减法2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 向量与数的乘积的运算规律向量与数的乘积的运算规律向量的加减法及数乘统称为向量的加减法及数乘统称为向量的线性运算向量的线性运算.换言之，换言之，任一非零向量总可以写成它自身的模与一个任一非零向量总可以写成它自身的模与一个与它同方向的单位向量的数乘与它同方向的单位向量的数乘.2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 2/
4、19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 例例2 2 化简化简解：解：2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 定理定理1 1则则已知已知 b a,b0a,b 同向同向ab a,b 反向反向充分性充分性证明：证明：2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 必要性必要性2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 数轴与向量数轴与向量数轴可由一个点、一个方向及单位长度确定，故数轴可由一个点、一个方向及单位长度确定，故给定一个点及一个单位向量即可确定一条数轴。给定一个点及一个单位向量即可确定一条数轴。O
5、x如图，点如图，点O O 及单位向量及单位向量确定了数轴确定了数轴 Ox.P在轴上任取一点在轴上任取一点P P,则有则有 ，从而存在唯一从而存在唯一的的 x R 使得使得 且有且有2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 三个坐标轴的正方三个坐标轴的正方向符合向符合右手法则右手法则.三、空间直角坐标系三、空间直角坐标系2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 面面面面面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限.2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 向量的坐标表示向量的坐标表示2/19/2023
6、徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 向径向径坐标轴上的点坐标轴上的点 P,Q,R 坐标面上的点坐标面上的点 A,B,C点点 M特殊点的坐标特殊点的坐标 :有序数组有序数组(称为点称为点 M 的的坐标坐标)原点原点 O(0,0,0);在直角坐标系下点的坐标在直角坐标系下点的坐标ABC2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 设设则则平行向量对应坐标成比例平行向量对应坐标成比例:四、利用坐标作向量的线性运算四、利用坐标作向量的线性运算2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返
7、回 结束 2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 上页 下页 返回 结束 如图所示如图所示,由于由于这就是这就是M点的坐标点的坐标.例例3 3解：解：2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 得得定比分点公式定比分点公式:点点 M 为为 AB 的中点的中点 ,于是得于是得中点公式中点公式说明说明:2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 1.1.向量的模向量的模五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 两点间的距离公式两点间的距离公式空间两点间距离公式空间两点间
8、距离公式2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 例例4 4证明：证明：2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 解：解：所求点为所求点为2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 因为因为例例6 6解：解：2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 2.2.方向角与方向余弦方向角与方向余弦2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 例例7 7解：解：2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 例例8 8解：解：2/19/
9、2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影3 3、向量在轴上的投影、向量在轴上的投影2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 向量的投影的性质向量的投影的性质2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 性质性质1 1说明：说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零投影为零；(4)相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 2/19/2023徐州工程学院数理学院上页 下页 返回 结束 例例9 9解：解：2/19/2023徐州工程学院数理学院