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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载重庆科创职业学院授课教案名师归纳总结 课名：高等数学（工本0023）教研窒：数理教研室第 1 页,共 12 页班级：编写时间：- - - - - - -课题：向量及其线性运算精选学习资料 - - - - - - - - - 第一节学习必备欢迎下载教学目的及要求：使同学对（自由）向量有初步明白,为后继内容的学习打下基础；将同学的思 维由平面引导到空间,使同学明确学习空间解析几何的意义和目的；教学重点：1. 向量的概念 2.向量的运算 3.空间直角坐标系的概念4. 向量的坐标表示式教学难点：空间思想的建立,向量平行与垂直的关系,向
2、量的坐标表示式小结与摸索： 本节叙述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步 旁批栏：学问, 引导同学对向量 （自由向量） 有清晰的懂得, 并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算；如何运用平行四边形法就进行向量的减法运算？如何运 用三角形法就进行多向量的加、减法运算？介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上、向量的模与 的分向量与向量的坐标（留意分向量与向量的坐标的区分）方向余弦的坐标表示式等概念；作业： 见作业本 7.名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 3 页,共
3、12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载c旁批栏：二、向量的线性运算b1加减法abc： 加法运算规律：平行四边形法就（有时也称三角形法就）,其满意的运算规律有交换律和结合律见图74 a74 加法运算图2a b c 即 a b c3向量与数的乘法 a ：设 是一个数,向量 a 与 的乘积 a 规定为1 0 时,a 与 a 同向,| a | | a | 2 0 时,a 0 3 0 时,a 与a反向,| a | | | a |其满意的运算规律有：结合律、安排律； 设 a 0表示与非零向量 a 同方向的单位向量,那么 a 0 aa定理 1：设
4、向量 a 0,那么,向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯独的实数 ,使 ba ；1解：例 1：在平行四边形ABCD 中,设ABa,ADb,试用 a 和 b 表示向量 MA 、MB 、MC和 MD ,这里 M 是平行四边形对角线的交点；（见图 75）ab abAC2AM,于是MA1ab 2由于MCMA,于是MC2图 74 名师归纳总结 由于又由于abBD2MD,于是MD1ba第 4 页,共 12 页2MB1baMDMB,于是2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 5 页,共 12 页- - - - - - -精选学
5、习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、空间直角坐标系 旁批1将数轴（一维） 、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图 7栏：1,其符合右手规章；即以右手握住 z 轴,当右手的四个手指从 x 轴的正向以 角度转向 y 轴的正向2时,大拇指的指向就是 z 轴的正向；2 空间直角坐标系共有八个卦限,各轴名称分别为：x 轴、 y 轴、 z 轴,坐标面分别为 xoy面、yoz面、zox面；坐标面以及卦限的划分如图 72 所示；图 71 右手规章演示图 图 72 空间直角坐标系图 图 73 空间两点 M 1M 2 的距离图3空间点Mx ,y,z的坐标表示
6、方法；通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来；留意：特殊点的表示a 在原点、坐标轴、坐标面上的点；b 关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法；空间两点间的距离如M1x 1,y1,z 1、M2x2,y2,z 2为空间任意两点,就M1M2的距离（见图73）,利用直角三角形勾股定理为：名师归纳总结 而d2M1M22M1N2NM22第 6 页,共 12 页M1p2pN2NM22M1Px2x 1PNy 2y 1NM2z 2z 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载旁批栏：所以2 2 2d M 1 M 2 x 2 x 1 y 2 y 1 z
7、2 z 1 特殊地：如两点分别为 M x , y , z ,o 0 0, 0, ,就d oM x 2 y 2 z 2例 1：求证以 M 1 4 , 1,3 、M 2 7 ,1, 2 、M 3 ,5 ,2 3 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形；证明 : M 1M 2 2 4 7 2 3 1 2 1 2 2 14M 2M 3 2 5 7 2 2 1 2 3 2 2 62 2 2 2M 3M 1 5 4 2 3 3 1 6由于 M 2 M 3 M 3 M 1,原结论成立；例 2：设 P 在 x 轴上,它到 1P 0 , 2 3, 的距离为到点 P 2 0 ,1, 1 的距离的两倍,求点 P 的坐标
8、；解：由于 P 在 x 轴上,设 P 点坐标为 x 0, , 0 2 2 2 2 2 2 2 2PP 1 x 2 3 x 11 PP 2 x 1 1 x 22 2PP 1 2 PP 2,x 11 2 x 2 x 1所求点为： 0,1 , 0 , 0,1 , 0 四、利用坐标作向量的线性运算1向量在坐标系上的分向量与向量的坐标通过坐标法,使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应关系,同样地,为了沟通数与向量的讨论,需要建立向量与有序数之间的对应关系；设 a =M1M2是以M1x 1,y 1,z 1为起点 、M2x2,y2,z2为终点的向量,i、j、k 分别表示沿x,y,z 轴正向的单位向量
9、,并称它们图为这一坐标系的基本单位向量,由图75,并应用向量的加法规章知：名师归纳总结 或M1M2x2x 1i + y2y1j+z 2z 1k 第 7 页,共 12 页a = axi + ayj + azk 上式称为向量a 按基本单位向量的分解式；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载旁批栏：有序数组ax、 ay、az与向量 a 一一对应,ax、ay、az就叫做向量a 的坐标,并记为a ax,ay,az ；上式叫做向量a 的坐标表示式；x2,y2,z 2的向量可以表示为于是,起点为M1x 1,y 1,z 1终点为M2M1M2x2x 1,y
10、 2y 1,z 2z 1特殊地,点Mx ,y ,z对于原点 O 的向径OMx ,y ,z 留意 ：向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标有本质区分：向量 a 的坐标是三个数 ax、ay、 az；向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量 ax i 、 ayj 、 azk.2向量运算的坐标表示设aax,ay,az,bbx,by,b z即aaxiayjazk,bbxibyjbzk就名师归纳总结 1 加法：abaxbxiaybyjazbzk第 8 页,共 12 页2 减法：abaxbxiaybyjazbzk（）数乘：aaxiayjazk,即或abaxb x,ayby,azbzabaxbx,ayby,azbz
11、baaax,ay,az（）平行： 如 a 0 时,向量b/a相当于b x,by,bzax,ay,az也相当于向量的对应坐标成比例,即- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载0,小于等于）来旁批五、向量的模、方向角、投影（一）向量的模与方向余弦的坐标表示式栏：设aax,ay,az, 可以用它与三个坐标轴的夹角、（均大于等于表示它的方向, 称、为非零向量a 的方向角, 见图 76,其余弦表示形式cos、cos、cos称为方向余弦；1 模aa2a2a2xyz2 方向余弦axM1M2cosacos图76由性质1知a yM1M2cosacos,当azM
12、1M2cosacosaa2a2a20时,有xyzcosax2 a xax2a2aacos21M1M2同向yzcosaya2aya2aa2 yxzcosaz2 a xaza2aa2 yz任意向量的方向余弦有性质：cos2cos2与非零向量a 同方向的单位向量为：,azcos,cos,cosa0a1ax,ayaaM1M2的模、方向余弦、方向角以及与例： 已知两点 M 12,2,2 、M 21,3,0,运算向量的单位向量；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载旁批栏：解：M1M21-2 ,3-2,0-2 =
13、-1 ,1,-2 M1M21 21222220cos,cos,coscos1,cos1,cos2222,3,334a设a0为与M1M2同向的单位向量,由于即得a01,1,2222（二）向量的投影1几个概念1 轴上有向线段的值： 设有一轴 u ,AB 是轴 u 上的有向线段, 假如数 满意 AB ,且当 AB与轴 u 同向时 是正的,当 AB 与轴 u 反向时 是负的,那么数 叫做轴 u 上有向线段 AB 的值 ,记做 AB,即 AB ；设 e 是与 u 轴同方向的单位向量,就 AB e2 设 A、 B、C 是 u 轴上任意三点,不论三点的相互位置如何,总有 AC AB BC3 两向量夹角的概念
14、：设有两个非零向量 a 和 b,任取空间一点 O,作 OA a,OB b,规定不超过 的 AOB称为向量 a 和 b 的夹角,记为 a,b 4 空间一点 A 在轴 u 上的投影： 通过点 A 作轴 u 的垂直平面, 该平面与轴 u 的交点 A 叫做点 A在轴 u 上的投影；5 向量 AB 在轴 u 上的投影： 设已知向量 AB 的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的投影分别为点 A 和B ,那么轴 u 上的有向线段的值 A B 叫做向量 AB 在轴 u 上的投影,记做 Pr ju AB；2投影定理名师归纳总结 性质 1：向量在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角的余弦：PrjuABA
15、Bcos第 10 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载旁批栏：小结与摸索： 本节叙述了空间解析几何的重要性以及向量代数的初步学问,引导同学对向量（自由向量）有清晰的懂得,并会进行相应的加减、乘数、求单位向量等向量运算；如何运用平行四边形法就进行向量的减法运算？如何运用三角形法就进行多向量的加、减法运算？介绍了向量在轴上的投影与投影定理、向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标（注意分向量与向量的坐标的区分）、向量的模与方向余弦的坐标表示式等概念；作业： 见作业本 7.名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 12 页,共 12 页- - - - - - -