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1、一、同角三角函数基本关系式一、同角三角函数基本关系式1.倒数关系倒数关系2.商数关系商数关系3.平方关系平方关系tan cot=1sin csc=1cos sec=1sin2+cos2=11+tan2=sec2 1+cot2=csc2 tan=cot=sin cos cos sin 二、诱导公式二、诱导公式奇变偶不变奇变偶不变,符号看象限符号看象限.3.本质本质 通过不相等的两个角的同名三角函数或两个互为余函数的通过不相等的两个角的同名三角函数或两个互为余函数的三角函数值相等或互为相反数三角函数值相等或互为相反数,反映了三角函数的周期性及反映了三角函数的周期性及各种对称性各种对称性.1.定义定
2、义2.口诀口诀 用自变量用自变量 的三角函数表示自变量为的三角函数表示自变量为 (k Z)的三角函的三角函数的公式叫诱导公式数的公式叫诱导公式.2k 1.已知已知 cot(-)=2,求求 sin(+)的的值值.32解解:cot(-)=2,又又 cot(-)=-cot,cot=-2.是第二或第四象限角是第二或第四象限角,且且 tan=-.12cos2=.1+tan2 145又又 sin(+)=-cos,32255,是第二象限角是第二象限角,255,是第四象限角是第四象限角.-sin(+)=32cos=255,是第四象限角是第四象限角.255,是第二象限角是第二象限角,-典型例题典型例题2.已知已
3、知 cot=m(m 0),求求 cos.解解:cot=m(m 0),角角 的终边不在坐标轴上的终边不在坐标轴上.若若 是第一或第二象限角是第一或第二象限角,则则 csc=1+cot2 =1+m2 .sin=csc 11+m21=.cos=sin cot=.m 1+m21+m2若若 是第三或第四象限角是第三或第四象限角,则则 csc=-1+cot2 =-1+m2 .sin=csc 11+m21=-.cos=sin cot=-.m 1+m2 1+m23.已知已知 sin+cos=(0 ),求求 tan 的值的值.23解法解法1 将将已知等式两边平方得已知等式两边平方得 sin cos=-0,187
4、0 0.由由 sin cos 0 知知 cos 0.sin-cos=(sin-cos)2=1-2sin cos =.43sin+cos=,sin-cos=,4323解方程组解方程组 得得 sin=,cos=.2+4 62-4 6tan=.sin cos-9-4 27解法解法2 将将已知等式两边平方得已知等式两边平方得 sin cos=-0,1870 0.由由 sin cos 0 知知 cos 0.tan=.sin cos -9-4 27sin,cos 是方程是方程 x2-x-=0 的根的根,且且 cos 为为小根小根.18723cos=,sin=.2+4 62-4 63.已知已知 sin+co
5、s=(0 ),求求 tan 的值的值.23解法解法3 由由已知已知 sin,cos 成等差数列成等差数列,设其公差为设其公差为 d,则则26sin=-d,26cos=+d.26由由 sin2+cos2=1得得:(-d)2+(+d)2=1.2626解得解得 d=-或或 .2323tan=.sin cos -9-4 27cos=,sin=.2+4 62-4 6当当 d=时时,sin =0,与与 0 0 矛盾矛盾,232-4 6d=-.233.已知已知 sin+cos=(0 ),求求 tan 的值的值.234.已知已知 f()=.(1)化简化简 f();sin(-)cos(2-)tan(-+)32c
6、ot(-)sin(-)(2)若若 是第三象限角是第三象限角,且且 cos(-)=,求求 f()的值的值;3215(3)若若 =-,求求 f()的值的值;331解解:(1)f()=sin cos cot -cot sin =-cos;(2)cos(-)=-sin,32由已知可得由已知可得 sin=-.15 是第三象限角是第三象限角,cos 0.cos=-1-sin2 =-256.256f()=-cos=.(3)=-=-6 2+,33153f(-)=-cos(-)33133153=-cos(-6 2+)=-cos 53=-cos =-.123 5.已知已知 0 ,tan +cot =,求求sin(
7、-)的值的值.522 2 2 3 解解:tan +cot =,2 2 sin 2由已知可得由已知可得 sin=.450 ,2 cos=1-sin2 35 =.sin(-)=sin cos -cos sin 3 3 3 =-12354532=(4-3 3).1016.已知已知 为锐角为锐角,且且 tan=,求求 的的值值.sin2 cos-sin sin2 cos2 12解解:tan=,12又又 为锐角为锐角,1+tan2 1cos2=.45cos=.52原式原式=2sin cos2-sin 2sin cos cos2 sin cos2 2sin cos cos2 =1 2cos =.54 7.
8、已知已知 tan(-)=2,求求:(1);(2)2sin(3+)cos(+)+sin(-)sin(-).4cos2-3sin2+1 sin2-2sin cos-cos2 3252解解:(1)tan(-)=2,又又 tan(-)=-tan,tan=-2.原式原式=5cos2-2sin2 sin2-2sin cos-cos2 1+tan2 2tan2-tan =5-2tan2 tan2-2tan-1 =-.73(2)由由(1)知知 tan=-2,原式原式=2(-sin)(-sin)+(-cos)sin =2sin2-sin cos =cos2(2tan2-tan)=2.8.角角 的终边上的点的终边
9、上的点 P 与与 A(a,b)关于关于 x 轴对称轴对称(a 0,b 0),角角 的终边上的点的终边上的点 Q 与与 A 点关于直线点关于直线 y=x 对称对称,求求 sin sec+tan cot+sec csc 的值的值.解法解法1 依题意依题意 P(a,-b),Q(b,a),设设 r=a2+b2,则则:sin=-,sec=,tan=-,cot=,sec=,csc=.brrbbabarara原式原式=-+(-)+brrbbabarara=-1-+=0.a2+b2 a2b2a2解法解法2 依题意依题意 -=2k+(k Z),即即 =2k+.2 2 原式原式=sin +tan cot(2k+)
10、+cos(2k+)2 12 cos 1sin(2k+)2 1=sin +tan(-tan)+-sin 1cos 1cos 1=-1-tan2+sec2 =0.课后练习课后练习1.已知已知 sin+sin2=1,求求 cos2+cos4 的值的值.解解:由由 sin+sin2=1 得得 sin=1-sin2=cos2.cos2+cos4=sin+sin2=1.2.已知已知 cos=(m-1),求求 sin,cot.m2+12m 解解:由已知由已知 cos 0,角角 的终边在第二或第三象限或为的终边在第二或第三象限或为 x 轴的非正半轴轴的非正半轴.当当角角 的终边在第二象限或为的终边在第二象限或
11、为 x 轴的非正半轴轴的非正半轴时时,sin=1-cos2 =,m2+1 m2-1 2m tan=.sin cos m2-1 当当角角 的终边在第三象限的终边在第三象限时时,sin=-1-cos2 =,1+m2 1-m2 2m tan=.sin cos 1-m23.设设 sin,cos 是方程是方程 2x2-(3+1)x+m=0 的两根的两根,求求:(1)+及及 m 的值的值;(2)方程两根方程两根 sin,cos 及此及此时时 的值的值.1-cot sin 1-tan cos 解解:(1)由已知由已知 sin+cos=,sin cos=.3+1 22m1-cot sin 1-tan cos
12、+=+1-sin 1-cos cos sin sin cos =cos-sin cos2-sin2 =+cos-sin cos2 sin-cos sin2 =sin+cos=.3+1 2(sin+cos)2=1+2sin cos,2m()2=1+2 .3+1 2解得解得 m=.32解解:(2)由由(1)知知原方程为原方程为 2x2-(3+1)x+=0.32 =2k+或或 =2k+(k Z).3 6 3.设设 sin,cos 是方程是方程 2x2-(3+1)x+m=0 的两根的两根,求求:(1)+及及 m 的值的值;(2)方程两根方程两根 sin,cos 及此及此时时 的值的值.1-cot si
13、n 1-tan cos 解得解得 x1=,x2=.1232sin=,cos=,12sin=,cos=,12 或或32325.已知已知 tan(-)=a2,|cos(-)|=-cos,求求 sec(+)的值的值;4.已知已知 cos(-)=a(|a|1),求求 cos(+)+sin(-)的值的值;566 23解解:cos(-)=a(|a|1),6 cos(+)=cos-(-)566 =-cos(-)=-a,6 =cos(-)=a,6 sin(-)=sin +(-)236 2 cos(+)+sin(-)5623=-a+a=0.解解:tan(-)=a2,又又 tan(-)=-tan,tan=-a2.
14、|cos(-)|=-cos,又又|cos(-)|=|cos|,|cos|=-cos.cos 0.sec(+)=-cos 1=1+tan2 =1+a4.6.若若 +=0,试判断试判断 cos(sin)sin(cos)的符号的符号;1-cos2 sin 1-sin2 cos|cos|sin|sin|cos 解解:由已知由已知 +=0,sin 与与 cos 异号异号.是第二或第四象限角是第二或第四象限角.当当 是第二象限角时是第二象限角时,-1cos 0,0sin 1.sin(cos)0.cos(sin)sin(cos)0.故故 cos(sin)sin(cos)的符号为的符号为“+”号号.-1,1
15、,2 2 -cos 0,0sin .2 2 解解:是第二象限角是第二象限角,7.已知已知 sin=,cos=,若若 是第二象限角是第二象限角,求实求实数数 a 的值的值.1+a 3a-1 1+a 1-a 0sin 1,-1cos 0.1+a 3a-1 1+a 1-a 0 1,-1 0,解得解得 0a .13又又 sin2+cos2=1,1+a 3a-1 1+a 1-a()2+()2=1.整理得整理得 9a2-10a+1=0.解得解得 a=或或 a=1(舍去舍去).19故实数故实数 a 的值为的值为 .19 8.在在 ABC 中中,sinA+cosA=,AC=2,AB=3,求求 tanA 的值的
16、值和和 ABC 的面积的面积.22解解:=sinA+cosA=2 sin(A+45),22sin(A+45)=.120A180,A=105,tanA=tan105=tan(45+60)=1+31-3=-2-3.sinA=sin105=sin(45+60)=sin45cos60+cos45sin6012 ABC 的面积的面积 SABC=AC ABsinA 2+6 4=2 3 12=(2+6).342+6 4=.补充例题补充例题1.已知已知 cotx=m,x(2k-,2k)(k Z),求求 cosx 的的值值.(2)已知已知 tan=2,求求 sin cos 的值的值;(3)已知已知 sin+co
17、s=,求求 cos4+sin4 的的值值.123.已知已知 sin,cos 是方程是方程 x2+px+p+1=0 的两根的两根,求实数求实数 p 的值的值.5.设设 f()=sin(cos),g()=cos(sin),(1)若若 f()g()0,求角求角 的取值范围的取值范围;(2)设设 0 ,若若 f()的最的最大值、最小值分别是大值、最小值分别是 a、b,g()的最大值、最小值分别是的最大值、最小值分别是 c、d,试比较试比较 a,b,c,d 的大小的大小.1+m2 1+m2 m-253223-1 2k-2k(k Z)3 2 2 (1)2k+2k+(k Z);(2)bdac.2.(1)已知已知 tan=2,求求 2sin2-sin cos+cos2 的的值值;35-24.若若 =cot-csc,求求 的取值范的取值范围围.1-cos 1+cos