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1、3.3全微分方程全微分方程 积分因子法积分因子法3.3.1 全微分方程全微分方程微分形式的一阶微分方程可以写成微分形式的一阶微分方程可以写成(3.3.1)(3.3.1)如果上式左端恰是某个二元函数的全微分如果上式左端恰是某个二元函数的全微分,即即(3.3.2)(3.3.2)则称方程（则称方程（3.3.1）为全微分方程或者恰当方程。函数）为全微分方程或者恰当方程。函数 称为微分方程（称为微分方程（3.3.1）的原函数。）的原函数。例如方程例如方程就是一个全微分方程。因为它的左端就是一个全微分方程。因为它的左端 恰好是二元函数恰好是二元函数的全微分。函数的全微分。函数 就是方程的就是方程的一个原函
2、数。一个原函数。现在有两个基本问题：现在有两个基本问题：1 1 判断微分方程（判断微分方程（3.3.13.3.1）是全微分方程？）是全微分方程？2 2 如果方程（如果方程（3.3.13.3.1）是全微分方程，如何）是全微分方程，如何求得原函数？求得原函数？为了回答上述问题，首先查看当（为了回答上述问题，首先查看当（3.3.13.3.1）是全微分方程时，函数应该具备什么性是全微分方程时，函数应该具备什么性质？从方程（质？从方程（3.3.23.3.2）知应有）知应有(3.3.3)(3.3.3)和和 (3.3.4)将（将（3.3.3）和（）和（3.3.4）分别对）分别对 y 和和 x 求求导，得到导
3、，得到 由由 的连续性，可得的连续性，可得因此就有因此就有 (3.3.5)于是，条件（于是，条件（3.3.5）是（）是（3.3.1）成为全微）成为全微分方程的必要条件。现在证明（分方程的必要条件。现在证明（3.3.5）还）还是（是（3.3.1）成为全微分方程的充分条件。）成为全微分方程的充分条件。或者进一步证明，如果方程（或者进一步证明，如果方程（3.3.1）满足）满足条件（条件（3.3.5），我们就能找到函数，使它），我们就能找到函数，使它同时适合方程（同时适合方程（3.3.3）和（）和（3.3.4）。这样）。这样就回答了上面提出的两个问题。就回答了上面提出的两个问题。现在从关系式（现在从关
4、系式（3.3.33.3.3）出发，将）出发，将y y 看看成参数，两边对成参数，两边对x x 积分得积分得 这里这里g(g(y y)是是y y 的任意可微函数。下面来的任意可微函数。下面来选择选择g(g(x x),),使使u u 同时满足（同时满足（3.3.43.3.4）。）。因为因为所以所以(3.3.7)(3.3.7)(3.3.6)(3.3.6)现在证明（现在证明（3.3.7）的右与）的右与x无关，也就无关，也就是证明（是证明（3.3.7）的右端对）的右端对x的偏导数恒的偏导数恒等于零。事实上等于零。事实上在我们的假设下，上述交换求导的顺序在我们的假设下，上述交换求导的顺序是合理的。于是（是
5、合理的。于是（3.3.7）的右端只是）的右端只是 y的函数，积分之，有的函数，积分之，有 将（将（3.3.83.3.8）代入到（）代入到（3.3.63.3.6），即得到），即得到 (3.3.9)(3.3.9)因此，全微分方程的通解是因此，全微分方程的通解是 (3.3.10)其中其中C为任意常数。为任意常数。(3.3.8)(3.3.8)求原函数的求原函数的u u 也可以化成定积分来做。也可以化成定积分来做。将方程（将方程（3.3.33.3.3两边对两边对x x积分，得积分，得 (3.3.11)(3.3.11)其中其中g g(y y)为为y y 的任意可微函数。为了使的任意可微函数。为了使u u满
6、足（满足（3.3.43.3.4），应该有），应该有(3.3.12)(3.3.12)由参变量积分的性质和条件由参变量积分的性质和条件（3.3.53.3.5），），上式即是上式即是或从而有从而有积分后，得积分后，得因为只需要一个因为只需要一个g g(y y)就够了，所以取就够了，所以取c c=0,=0,于是所要求的原函数就是于是所要求的原函数就是(3.3.14)(3.3.14)而方程（而方程（3.3.13.3.1）的通解就是）的通解就是(3.3.15)(3.3.15)全微分方程（全微分方程（3.3.1）满足初始条件）满足初始条件 的解是的解是 (3.3.16)例例3.3.1 求微分方程求微分方程的
7、通解。的通解。解解 这里这里 因为因为 所以方程是全微分方程。下面求所以方程是全微分方程。下面求u u.先由先由两边对两边对x x积分，得积分，得 为了确定为了确定g g(y y),),将上式对将上式对y y求导，并将它与求导，并将它与 比较即得比较即得 于是于是 积分，并取积分常数为零，得到积分，并取积分常数为零，得到因此得方程的通解是因此得方程的通解是例例3.3.2 求解下列初值问题求解下列初值问题解解 因为因为所以这个方程是一个全微分方程，故所求初值所以这个方程是一个全微分方程，故所求初值问题的解为问题的解为即即亦即亦即或或 在判断微分方程是全微分方程以后，在判断微分方程是全微分方程以后
8、，也可以采用所谓也可以采用所谓“分项组合分项组合”的方法的方法来求解。先把那些本身构成全微分的来求解。先把那些本身构成全微分的项分出，再把剩下的项凑成全微分。项分出，再把剩下的项凑成全微分。这样需要熟记一些简单二元函数的全这样需要熟记一些简单二元函数的全微分，如微分，如(3.3.17)例例3.3.3 用用“分项组合分项组合”方法求解微分方程方法求解微分方程 解解 把方程重新把方程重新“分项组合分项组合”，得，得 即即 或者写成或者写成 于是方程的通解就是于是方程的通解就是这里这里C C是任意常数。是任意常数。如果存在如果存在连续连续可微的函数可微的函数，使得，使得 为为全微分方程，即存在函数全
9、微分方程，即存在函数,使使 则则称称为为方程方程(3.3.1)的的积积分因子。分因子。这时这时 是方程是方程(3.3.18)的通解，因而也是方程的通解，因而也是方程(3.3.1)的通解。的通解。3.3.2 积分因子积分因子(3.3.18)(3.3.19)(3.3.20)由关系式由关系式(3.3.17)可以看到，同一个方程可以看到，同一个方程可以有不同的可以有不同的积积分因子分因子可以可以证证明，只要方程有解存在，明，只要方程有解存在，则则必有必有积积分因子存在，分因子存在，并且并且积积分因子不是唯一的。因此，在具体求解分因子不是唯一的。因此，在具体求解过过程中，程中，由于求出的由于求出的积积分
10、因子不同，通解可能具有不同的形式。分因子不同，通解可能具有不同的形式。为为方程方程(3.3.1)的的积积分因子的分因子的即即 这这是一个以是一个以为为未知函数的一未知函数的一阶线阶线性偏微分方程。性偏微分方程。根据根据3.3.1节的讨论，节的讨论，充分必要条件是充分必要条件是 一一阶线阶线性偏微分方程的解法将在第六章介性偏微分方程的解法将在第六章介绍绍。在某些。在某些特殊情况下，求出方程特殊情况下，求出方程(3.3.21)的一个特解是容易的。的一个特解是容易的。所以方程所以方程(3.3.21)也就提供了也就提供了寻寻求特殊形式的求特殊形式的积积分因子分因子的一个途径。的一个途径。则则这时这时方
11、程方程(3.3.21)变变成成 即即 由此可知，方程由此可知，方程(3.3.1)有只与有只与x有关的有关的积积分因子的充分必要分因子的充分必要条件是条件是 如果存在一个只与如果存在一个只与x有关的积分因子有关的积分因子(3.3.22)这这里里只是只是 x 的函数。假的函数。假设设条件条件(3.3.23)成立，成立，则则同理，方程同理，方程(3.3.1)有只与有只与 y 有关的有关的积积分因子的充要条件是分因子的充要条件是 这这里里(3.3.23)根据方程根据方程(3.3.22)，可以求得方程，可以求得方程(3.3.1)的一个积分因子的一个积分因子 (3.3.24)只是只是 y 的函数。从而可以
12、求得方程的函数。从而可以求得方程(3.3.1)的一个的一个积分因子积分因子 例例3.3.5 使用使用积积分因子法求解一分因子法求解一阶线阶线性方程性方程 解解 将方程将方程(3.2.1)写成写成 这这里里 所以所以 因而因而线线性微分方程性微分方程(3.2.1)只与只与 x 有关的有关的积积分因子分因子为为 (3.2.1)(3.3.25)以以乘以微分方程乘以微分方程(3.3.25)得到得到 即即 或写成或写成 因此方程的通解是因此方程的通解是 或者将或者将 y 解出得解出得 例例3.3.6 求解微分方程求解微分方程 解解 因因为为 所以原方程不是全微分方程。但因所以原方程不是全微分方程。但因为
13、为 有关，故方程存在只与有关，故方程存在只与 y 有关的有关的积积分因子分因子 以以乘方程两乘方程两边边，得到，得到 或写成或写成 因而，方程的通解因而，方程的通解为为 除上述特殊情形之外，还可以通过观察法进行除上述特殊情形之外，还可以通过观察法进行“分项组合分项组合”而求得积分因子。而求得积分因子。例例3.3.7 求解微分方程求解微分方程 所以原方程不是全微分方程。但可以把原方程改写成所以原方程不是全微分方程。但可以把原方程改写成解解 因为因为 则则可以看出方程具有可以看出方程具有积积分因子分因子因因为为在上是两端在上是两端之后，有之后，有 即即 从而得到方程的通解是从而得到方程的通解是 或
14、写成或写成 同乘以同乘以例例3.3.8 求解微分方程求解微分方程 解解 因因为为 方程不是全微分方程，并且容易看出方程不存在只与方程不是全微分方程，并且容易看出方程不存在只与 x 或或可知它有可知它有积积分因子分因子。因。因为为方程两方程两边边同乘同乘后化成后化成 只与只与 y 有关的积分因子。但若将方程改写成有关的积分因子。但若将方程改写成 即即 因此原方程的通解是因此原方程的通解是或或 全微分方程有着很具体的全微分方程有着很具体的物理背景物理背景。设设在在 xoy 面上有一面上有一 现现在求在求这样这样的曲的曲线线 c,使它与使它与 (3.3.26)个力场个力场力场处处垂直，即处处有力场处处垂直，即处处有 设设力力场场存在存在势势函数函数从而有从而有 因此方程因此方程(3.3.26)是全微分方程。它的通解是是全微分方程。它的通解是 由此式确定的曲由此式确定的曲线线是力是力场场的等位的等位线线，沿等位，沿等位线线力力场场不做不做功，当然是功，当然是处处处处与力与力场场垂直了。垂直了。