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1、1.1.定义定义:若有全微分形式若有全微分形式则则全微分方程全微分方程或恰当方程或恰当方程例如例如所以是全微分方程所以是全微分方程.全微分方程全微分方程一、全微分方程及其解法一、全微分方程及其解法2.2.解法解法:全微分方程全微分方程应用曲线积分与路径无关应用曲线积分与路径无关.通解为通解为 用直接凑全微分的方法用直接凑全微分的方法.其中其中 x0,y0 是在是在G中适当选定的点中适当选定的点 M0 (x0 ,y0)的坐标，起点坐标选择的不同，至多使的坐标，起点坐标选择的不同，至多使u(x,y)相差一个常数相差一个常数 例例1 1解解是全微分方程是全微分方程,原方程的通解为原方程的通解为例例2
2、解解是全微分方程是全微分方程,将左端重新组合将左端重新组合原方程的通解为原方程的通解为二、积分因子法二、积分因子法问题问题:如何求方程的积分因子如何求方程的积分因子?定义定义:1.1.公式法公式法:求解不容易求解不容易特殊地特殊地:2.2.观察法观察法:凭观察凑微分得到凭观察凑微分得到常见的全微分表达式常见的全微分表达式可选用的积分因子有可选用的积分因子有例例3解解则原方程成为则原方程成为可积组合法可积组合法原方程的通解为原方程的通解为(公式法公式法)例例4 求微分方程求微分方程解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有原方程的通解为原方程的通解为例例5 求微分方程求微分方程解解将方程左端重新组合将方程左端重新组合,有有可积组合法可积组合法原方程的通解为原方程的通解为例例6解解1整理得整理得A A 常数变易法常数变易法:B B 公式法公式法:解解2 2整理得整理得A A 用曲线积分法用曲线积分法:B B 凑微分法凑微分法:C C 不定积分法不定积分法:原方程的通解为原方程的通解为三、一阶微分方程小结三、一阶微分方程小结思考题思考题方程方程是否为全微分方程？是否为全微分方程？思考题解答思考题解答原方程原方程是是全微分方程全微分方程.练练 习习 题题练习题答案练习题答案