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1、恰当方程（全微分方程）,一、概念 二、全微分方程的解法,若有全微分形式,则,称为全微分方程。,定义:,例1：,所以是全微分方程.,方程 是否为全微分方程？,解：,通解则为 （C为任意常数）。,问题:,（1）如何判断全微分方程？,（2）如何求解全微分方程？,（3）如何转化为全微分方程？,是全微分方程,中连续且有连续的一阶偏导数，则,（1）证明必要性,证明：,因为 是全微分方程，,则存在原函数 ，使得,所以,将以上二式分别对 求偏导数，得到,又因为 偏导数连续，,，即,所以,（2）证明充分性,设,，求一个二元函数 使它满足,即,由第一个等式，应有,代入第二个等式，应有,这里,因此,，则,因此可以取
2、,此时,这里由于 ，故曲线积分与路径无关。因此,(1) 线积分法:,或,(2) 偏积分法,第一个等式对 积分,代入第二个等式求,，即可得,(3)凑微分法,直接凑微分得,例2：验证方程,是全微分方程，并求它的通解。,由于,解：,所以方程为全微分方程。,(1) 线积分法:,故通解为,(2) 偏积分法:,假设所求全微分函数为,则有,代入可得,因此,从而,即,(3) 凑微分法:,由于,方程的通解为：,根据二元函数微分的经验,原方程可写为,例3：验证方程,是全微分方程，并求它的通解。,由于,解：,所以方程为全微分方程。,(1) 线积分法:,故通解为,(2) 偏积分法:,假设所求全微分函数为,则有,所以,
3、从而,即,(3) 凑微分法:,方程的通解为：,根据二元函数微分的经验,原方程可写为,练习：验证方程,是全微分方程，并求它的通解。,方程的通解为：,积分因子法,一、概念 二、积分因子的求法,一、定义:,连续可微函数，使方程,成为全,.,.,例1,的积分因子，并求方程的通解。,解：,是全微分方程。,方程通解为,1.公式法:,求解不容易,特殊地:,(两边同除 ),a. 当 只与 有关时，,b. 当 只与 有关时，,2.观察法:,凭观察凑微分得到,常见的全微分表达式,一般可选用的积分因子有,等。,可选用的积分因子有,可选用的积分因子有,例2,解,则原方程成为,.,1.公式法:,原方程的通解为,2.观察法:,将方程左端重新组合,有,可选用的积分因子有,可选用的积分因子有,因此取积分因子为,原方程的通解为,分组求积分因子的思想。,练习,求微分方程,的通解。,