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1、 微专题：函数的零点问题微专题：函数的零点问题 贾贾 军军 2019年年6月月5日日TheproblemistheheartofmathematicsHalmos1.1.方程方程lnx+2x-6=0;lnx+2x-6=0;3.3.函数函数f(x)=ef(x)=ex x+4x4x零点所在区间为零点所在区间为(k(k，k k1)1)，kZ kZ，则，则k k ；一、一、初步体验初步体验2.2.函数函数f(x)f(x)lgxlgxsinxsinx零点的个数零点的个数。在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金在人类用智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座。桥中，方程的求解
2、是其中璀璨的一座。公元公元5050100100年编成的年编成的九章算术九章算术；1111世纪，世纪，北宋数学家贾宪；北宋数学家贾宪；1313世纪，南宋数学家秦九韶；世纪，南宋数学家秦九韶；1616世世纪，四次方程的一般性解法，在随后的三百多年里，纪，四次方程的一般性解法，在随后的三百多年里，方程解法的发展停滞了。方程解法的发展停滞了。直到直到1919世纪挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了世纪挪威年轻数学家阿贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解五次以上一般方程没有根式解.问题问题1：一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根、的根、二次函数图像及二次函数图像及二次函数与二次函数
3、与x轴交点的关系？（以轴交点的关系？（以a0为例）为例）判别式判别式=b24ac0=00函数函数y=ax2+bx+c(a0)的的图象图象xyx1x20 xy0 x1xy0函数的图象函数的图象与与 x 轴的交点轴的交点(x1,0),(x2,0)(x1,0)没有交点没有交点方程方程ax2+bx+c=0(a0)的根的根两个不相等两个不相等的实数根的实数根x1、x2有两个相等的有两个相等的实数根实数根x1=x2没有实数根没有实数根没有零点没有零点函数函数y=ax2+bx+c(a0)的零点的零点定义：定义：对于函数对于函数y=f(x),使使f(x)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的零点。的
4、零点。使使f(x)=0的实数的实数x叫叫二、探究归纳二、探究归纳问题问题2：函数函数y=f(x)的零点与方程的零点与方程f(x)=0的根，异同？的根，异同？1、联系：、联系：数值上相等；数值上相等；存在性相同：存在性相同：函数函数y=f(x)有零点有零点 方程方程f(x)=0有实数根有实数根 函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点2、区别：、区别：零点对于函数而言，根对于方程而言。零点对于函数而言，根对于方程而言。温馨温馨温馨温馨提示提示提示提示函数的零点是实数，而不是点。函数的零点是实数，而不是点。零点不是点，大厂不是厂零点不是点，大厂不是厂!(光年光年)方程方程f(x)=0
5、有实数根有实数根函数函数y=f(x)有零点有零点等价关系：等价关系：等价关系：等价关系：零点的求法：零点的求法：零点的求法：零点的求法：图象法图象法代数法代数法数数数数形形函数函数y=f(x)的图象与的图象与x轴有交点轴有交点解法解法1：利用函数利用函数y=lnx与y=-2x+6图像交点的个数判断；图像交点的个数判断；解法解法2：利用函数利用函数f(xf(x)=lnx+2x-6)=lnx+2x-6的的图像来判断；图像来判断；解法解法3：利用函数的单调性；利用函数的单调性；解法解法4：利利用计算器或计算机列出用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表的对应值表;x123456789f(x)-4-
6、1.31.13.45.67.810.0 12.1 14.2回归：回归：判断函数判断函数f(xf(x)=lnx+2x-6)=lnx+2x-6是否有零点？是否有零点？解法解法5：用用函数零点存在性定理。函数零点存在性定理。问题问题4：函数在区间（a,b）上有零点，则f(a)f(b)0。问题问题5：不间断函数在区间a,b上有f(a)f(b)0，则在区间（a,b）上有零点。函数零点存在性定理：函数零点存在性定理：如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上的图象是不间断的一条上的图象是不间断的一条曲线曲线,并且并且f(a)f(b)0,则函数则函数y=f(x)在区间在区间(a,b)上有零点。上有零点
7、。问题问题3：函数f(x)在区间a,b上有f(a)f(b)0，则在区间（a,b）上有零点。0yx0yx三、再认定理三、再认定理 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,b上图象是连续不断的一条曲线，并上图象是连续不断的一条曲线，并且且f(a)f(b)0，那么，函数那么，函数y=f(x)在区间在区间(a,b)上有零点。上有零点。函数零点存在性定理：函数零点存在性定理：问题问题6：（1）如果函数具备上述两个条件时，函数有多少零点呢？）如果函数具备上述两个条件时，函数有多少零点呢？（2）在什么样的条件下，零点的个数是）在什么样的条件下，零点的个数是唯唯一的呢？一的呢？如果函数如果函数 y=f(x
8、)在在a,b上图象是上图象是连续连续的，并且在闭区间的两个端点上的，并且在闭区间的两个端点上的函数值的函数值互异互异（即（即f(a)f(b)0）,且且是是单调单调函数，那么，这个函数在函数，那么，这个函数在(a,b)内必有唯一的一个零点。内必有唯一的一个零点。回归变式：回归变式：函数函数f(x)=ef(x)=ex x-4x4x的零点有几个的零点有几个？四、实战演练四、实战演练角度角度1：确定函数的零点个数或其存在范围：确定函数的零点个数或其存在范围，则函数f(x)的零点个数是_ 判断函数零点个数的判断函数零点个数的3种方法：种方法：方程法、定理法、图像法方程法、定理法、图像法角度角度2：应用函
9、数的零点求参数的值：应用函数的零点求参数的值若方程f(x)=mx-恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是?利用函数零点的情况求参数值（或范围）的利用函数零点的情况求参数值（或范围）的3种方法：种方法：直接法、分离参数法、数形结合法直接法、分离参数法、数形结合法角度角度3：复合函数的零点（选讲）：复合函数的零点（选讲）若关于x的函数y=f2(x)-bf(x)+1恰有8个不同的零点，则实数b的取值范围是?1、如果二次函数、如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点，有两个不同的零点，则则m的取值范围是的取值范围是?2、函数、函数f(x)=x3 3x+5的零点所在的大致区间为的零点
10、所在的大致区间为?五、归类巩固五、归类巩固3、已知函数、已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的的图象是连续不断的，有如下的x,f(x)对应值表：对应值表：x1234567f(x)23971151226那么函数在区间那么函数在区间1，6上的零点至少有多少个？上的零点至少有多少个？四法：四法：函数与方程、数形结合、化归与转化、特殊到一般函数与方程、数形结合、化归与转化、特殊到一般一课：一课：函数的零点函数的零点二定：二定：定义、定理定义、定理三等：三等：方程根、与方程根、与x轴交点、零点轴交点、零点六、回顾总结六、回顾总结五核：五核：数学运算、数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观数学运算、数学
11、抽象、逻辑推理、数学建模、直观 想象想象函数函数方程方程零点零点根根数数 值值存在性存在性个个 数数函函 数数 零零 点点 方方 程程 根，根，数数 形形 结结 合合 转转 化化 神。神。零零 点点 存存 在在 端端 点点 判，判，函函 数数 连连 续续 要要 记记 住。住。数缺形时少直观，形少数时难入微。数缺形时少直观，形少数时难入微。-华罗庚华罗庚零零 存存 整整 取取我对数学的理解:1.1.揭示问题本质揭示问题本质,让思维方式更清晰；让思维方式更清晰；2.2.激活储备知识激活储备知识,让解题思路更自然；让解题思路更自然；3.3.谨慎处理资源谨慎处理资源,让学习习惯更科学。让学习习惯更科学
12、。检测与作业检测与作业1 1、函数函数f(x)f(x)lnxlnx2x2x1 1零点的个数为零点的个数为_；2 2、已知函数、已知函数f(x)f(x)|x|x2|2|1 1，g(x)g(x)kxkx若方程若方程f(x)f(x)g(x)g(x)有两个不相等的实根，则实数有两个不相等的实根，则实数k k的取值范的取值范围是围是_；3 3、已知函数、已知函数f(x)f(x)axax3 3bxbx4 4，当，当x x2 2时，函数时，函数f(x)f(x)有极值有极值4/34/3(1)(1)求函数的解析式；求函数的解析式；(2)(2)若关于若关于x x的方程的方程f(x)f(x)k k有三个零点，求实数有三个零点，求实数k k的取的取值范围值范围.励志Thanks!Thanks!