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1、3.4.1函数与方程（2）函数与方程 【必修1】第四章函数应用第一节函数与方程(2)利用二分法求方程的近似解学时:1学时学习引导一、自主学习1.阅读课本页2.回答问题：（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？（2）层次间有什么联系？（3）二分法求函数零点的步骤是什么？3.完成课本页练习及习题414.小结二、方法指导1.本节课内容的重点：利用二分法求方程的近似值2.仔细体会数形结合的思想3.留意用计算器算近似值的步骤【思索引导】一、提问题1.为什么要探讨利用二分法求方程的近似解?2.如何用框图表述利用二分法求方程实数解的过程？二、变题目1.设f(x)=3x+3x-8，用二分法求方程
2、3x+3x-8=0在x（1，2）内近似解的过程中得f(1)0，f(1.5)0，f(1.25)0则方程的根落在区间（）A.（1.25,1.5）B.(1,1.25)C.(1.5,2)D.不能确定2.用“二分法”求方程在区间（2，3）内的实根，取区间中点为，那么下一个有根的区间是。3.借助科学计算器用二分法求方程2x+3x=7的近似解（精确到0.1） 【总结引导】1.任何方程，只要它所对应的图象是连续曲线，而且有实根，就可用二分法借助于计算器或计算机求出方程根的近似值，二分的次数越多，根就越精确二分法体现了无限靠近的数学思想2.利用二分法求方程近似解的步骤是：确定区间，使在上连续，且；求区间的中点；
3、计算；（）若则就是方程的解（），则方程的解；（），则方程的解（）推断是否达到精确度要求，若区间两端点按精确度要求相等，则得到方程的近似解【拓展引导】1.函数的零点所在的大致区间是（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4) 2.有12个小球，质量匀称，只有一个球是比别的球重，你用天平称几次可以找出这个球?要求次数越少越好. 3.某同学解决一道方程近似解的问题解答如下：求方程2x3-6x2+3=0的近似实数解（精确到0.01）.解:f(-1)=-50,f(3)=30,可以取初始区间-1，3，以后用二分法逐步求解，请问他的解答正确吗？ 参考答案【思索引导】一、提问题因为二分法求方程
4、实数解的思想是特别简明的，利用计算器能很快解决近似值问题二分法的基本思想也将在以后的学习中不断帮助我们解决大量的方程求解问题2.利用二分法求方程近似解的过程，可以简约地用右图表示【变题目】1、A2、（2,2.5）3、【解析】：原方程即2x+3x=7,令f(x)=2x+3x-7,用计算器作出函数f(x)=2x+3x-7对应值表：x01234567f(x)=2x+3x-7-6-2310214075142f(1)f(2)0取区间1,2区间中点的值中点函数近似值(1,2)1.50.33(1,1.5)1.25-0.87(1.25,1.5)1.375-0.28(1.375,1.5)1.43750.02(1
5、.375,1.4375)由于|1.375-1.4375|=0.06250.1此时区间(1.375,1.4375)的两个端点精确到0.1的近似值都是1.4，所以原方程精确到0.1的近似解为1.4。 【拓展引导】1.（C）在上是增函数，0时在（0，1）内无零点。在（1，2）和（3，4）内均无零点。而,故在（2，3）内至少有一个零点。2.三次3.提示：不正确。对于这样的高次方程，首先要确定它的实数解的个数，一般可以利用函数的单调性或函数的图像来确定。对于此题：有三个零点 整合函数与方程教案 第三章单元小结（一） （一）教学目标1学问与技能整合函数与方程的基本学问和基本方法，进一步提升函数与方程思想.
6、2过程与方法通过学生自我回顾、反思、整理、归纳所学学问，从而构建本节的学问体系3情感、看法与价值观在学习过程中，学会整合学问，提升自我学习的品质，养成合作、沟通、创新的良好学习品质.（二）教学重点与难点重点：整合单元学问；难点：提升综合运用单元学问的实力.（三）教学方法动手练习与合作沟通相结合，在整合学问中构建单元学问体系，在综合练习中提升综合运用单元学问的实力.（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图回顾反思构建体系1函数与方程单元学问网络2学问梳理二次函数的零点与一元二次方程根的关系对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)，当f(x)=0时，就是一元二次方程ax2+bx+c=0
7、，因此，二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的零点就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根；也即二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象抛物线与x轴相交时，交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.函数的零点的理解（1）函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零.(2)依据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)=0的根，因此推断一个函数是否有零点，有几个零点，就是推断方程f(x)=0是否有实根，有几个实根.函数零点的判定推断一个函数是否有零点，首先看函数f(x)在区间a，b上的图象是否连续，并且是否存在f(a)f(b)0，若满意，那么函数y=f(x)在区
8、间（a，b）内必有零点.用二分法求方程的近似解要留意以下问题：（1）要看清题目要求的精确度，它确定着二分法步骤的结束.（2）初始区间的选定一般在两个整数间，不同的初始区间结果是相同的，但二分的次数却相差较大.（3）在二分法的第四步，由|ab|，便可推断零点近似值为a或b.用二分法求曲线的近似交点应留意以下几点：（1）曲线的交点坐标是方程组的解，最终转化为求方程的根；（2）求曲线y=f(x)和y=g(x)的交点的横坐标，事实上就是求函数y=f(x)g(x)的零点，即求方程f(x)g(x)=0的实数解.1师生合作，绘制单元学问网络图2学生回顾口述学问要点，老师总结、归纳，师生共同进行学问疏理.整理
9、学问，培育归纳实力；师生共同回顾、再现学问与方法.经典例题剖析 例1利用计算器，求方程2x+2x5=0的近似解.(精确到0.1) 例2确定函数f(x)=+x4的零点个数.例3（1）试说明方程2x36x2+3=0有3个实数解，并求出全部解的和（精确到0.01）（2）探究方程2x36x2+5=0，方程2x36x2+8=0全部解的和，你由此可以得到什么结论？ 1学生自主完成例1、例2、例3，求解学生代表板书解答过程，老师点评，总结.例1【解析】设f(x)=2x+2x5，由于函数在R上是增函数，所以函数f(x)在R上至多一个零点.f(1)=10，f(2)=30，f(1)f(2)0，函数f(x)=2x+
10、2x5在(1,2)内有一个零点，则二分法逐次计算，列表如下：取区间中点值中点函数值(1,2)1.50.83(正数)(1,1,5)1.250.12(负数)(1.25,1.5)1.3750.34(正数)(1.25,1.375)1.31250.11(正数)(1.25,1.3125)|1.31251.25|=0.06250.1，函数f(x)的零点近似值为1.3125.方程2x+2x5=0的近似解是1.3125.例2【解析】设，则f(x)的零点个数即y1与y2的交点个数，作出两函数图象如图.由图知，y1与y2在区间(0,1)内有一个交点，当x=4时，y1=2，y2=0，当x=8时，y1=3，y2=4，在
11、(4,8)内两曲线又有一个交点，又和y2=x4均为单调函数.两曲线只有两个交点，即函数有两个零点.例3【解析】（1）设函数f(x)=2x36x2+3，f(1)=50，f(0)=30，f(1)=10，f(2)=50，f(3)=30，函数y=f(x)的图象是连续的曲线，方程2x36x2+3=0有3个实数解首先以区间1，0为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：端点或中点的横坐标a0=1，b0=0x0=(1+0)/2=0.5x1=(10.5)/2=0.75x2=(0.750.5)/2=0.625x3=(0.750.625)/2=0.6875x4=(0.68750.625)/2=0.65625x
12、5=(0.656250.625)/2=0.640625x6=(0.656250.640625)/2=0.6484375x7=0.64453125 计算端点或中点的函数值定区间f(1)=5，f(0)=31，0f(x0)=f(0.5)=1.2501，0.5f(x1)=f(0.75)00.75，0.5f(x2)=f(0.625)00.75，0.625f(x3)=f(0.6875)00.6875，0.625f(x4)=f(0.65625)00.65625，0.625f(x5)=f(0.640625)00.65625，0.640625f(x6)=f(0.64843725)00.6484375，0.640
13、625f(x7)00.64453125，0.640625由上表计算可知，区间0.64453125，0.640625的左、右两端点精确到0.01所取的近似值都是0.64，所以0.64可以作为方程2x36x2+3=0在区间1，0上的一个近似解同理可求得方程2x36x2+3=0在区间0，1和2，3内且精确到0.01的近似解分别为0.83，2.81所以方程2x36x2+3=0全部解的和为0.64+0.83+2.81=3（2）利用同样方法可求得方程2x36x2+5=0和方程2x36x2+8=0全部解的和也为3由于3只与未知数的系数比相等，即(62)=3，所以猜想：一般地，对于一元三次方程ax3+bx3+
14、cx+d=0有三个根xl，x2，x3，则和为x1+x2+x3=动手尝试练习提升综合应用学问的实力.备选例题例1求函数y=x32x2x+2的零点，并画出它的图象.【解析】因为x32xx+2=x2(x2)(x2)=(x2)(x21)=(x2)(x1)(x+1)，所以已知函数的零点为1，1，2.3个零点把x轴分成4个区间：，1，1，1，2，.在这4个区间内，取x的一些值(包括零点)，列出这个函数的对应值表：x1.510.500.511.522.5y4.3801.8821.1300.6302.63在直角坐标系内描点连线，这个函数的图象如图所示.例2求函数f(x)=x3+x22x2的一个为正实数的零点（
15、误差不超过0.1）.【解析】由于f(1)=20，f(2)=60，可以取区间1，2作为计算的初始区间.用二分法逐次计算，列表如下：端点（中点）坐标计算中点的函数值取区间|anbn|1，21x0=(1+2)/2=1.5f(x0)=0.62501，1.50.5x1=(1+1.5)/2=1.25f(x1)=0.98401.25，1.50.25x2=(1.25+1.5)/2=1.375f(x2)=0.26001.375，1.50.125x3=(1.375+1.5)/2=1.438由上表的计算可知，区间1.375，1.5的长度小于0.2，所以这个区间的中点x3=1.438可作为所求函数误差不超过0.1的一
16、个正实数零点的近似值.函数f(x)=x3+x22x2的图象如图所示.事实上还可用二分法接着算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值. 3.4.1 环境问题 2 高三地理高考第一轮单元复习 环境问题 巩固夯实基础 一、人类与环境 1.关系 （1）人类的生存和发展要占据肯定的空间，并从环境中获得物质和能量。 （2）人类的新陈代谢和消费活动中的废弃物要排放到环境中。 2.环境问题产生的根本缘由 （1）人类向环境索取资源的速度超过了资源本身及其替代品的再生速度。 （2）人类向环境排放废弃物的数量超过了环境的自净实力。 二、环境问题的表现 1.环境污染：大气污染、水污染、土壤污染、固体废弃物污染、噪声
17、污染、放射性污染、海洋污染等。 2.生态破坏：滥伐森林、水土流失、土地荒漠化、土壤盐碱化、水源枯竭、森林削减、物种削减、大气中二氧化碳增加和臭氧破坏等。 三、环境问题的分布 函数方程 竞赛讲座15-函数方程一、相关学问函数方程的解是 函数方程的解是 二、函数方程的题型很多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的才智具有明显的挑战意味，因此，函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。1、确定函数的形式尚无一般解法，需因题而异，其解是多样的：有无限多解的，有有限个解的，有可能无解（如：方程无解）。2、确定函数的性质3、确定函数值三、求函数的解析式1、换元法例题1、设函数满意条件，求。 例
18、题2、设函数定义于实数集，且满意条件，求。 ：函数在处没有定义，但对全部非零实数有：，求。答案：求满意条件的。 2、赋值法例题1、设函数定义于实数集上，且，若对于随意实数、，都有：，求。 例题2、设函数定义于自然数集上，且，若对于随意自然数、，都有：，求。 四、究函数的性质例题、设函数定义于上，且函数不恒为零，若对于随意实数、，恒有：。求证：求证：求证： ：若对常数和随意，等式都成立，求证：函数是周期函数。：设函数定义于实数集上，函数不恒为零，且对于随意实数、，都有：，求证：。 第10页 共10页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页第 10 页 共 10 页