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1、 第第二二章章 初等模型初等模型2.1 微积分在微积分在Matlab中的实现中的实现 2.2 线性代数线性代数在在Matlab中的实现中的实现 2.3 数据拟合数据拟合2.4 汽车刹车距离汽车刹车距离2.5 公平的席位分配公平的席位分配2.62.6 录像机计数器的用途录像机计数器的用途2.72.7 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效2.8 实物交换实物交换2.9 启帆远航启帆远航2.4 汽车刹车距离汽车刹车距离美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：美国的某些司机培训课程中的驾驶规则：背背景景与与问问题题 正常驾驶条件下正常驾驶条件下,车速每增车速每增10英里英里/小时，小时，后面与前车的距离应增一
2、个车身的长度。后面与前车的距离应增一个车身的长度。实现这个规则的简便办法是实现这个规则的简便办法是“2秒准则秒准则”：后车司机从前车经过某一标志开始默数后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何秒钟后到达同一标志，而不管车速如何判断判断“2秒准则秒准则”与与“车身车身”规则是否一规则是否一样；样；建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。问问题题分分析析常识：刹车距离与车速有关常识：刹车距离与车速有关10英里英里/小时小时(16公里公里/小时小时)车速下车速下2秒钟行秒钟行驶驶29英尺英尺(9米米)车身的平均长度车身的平均长度15英尺英尺
3、(=4.6米米)“2秒准则秒准则”与与“10英里英里/小时加一车身小时加一车身”规则规则不同不同刹刹车车距距离离反应时间反应时间司机司机状况状况制动系统制动系统灵活性灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候制动器作用力、车重、车速、道路、气候 最大制动力与车质量成正比，最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。使汽车作匀减速运动。车速车速常数常数反反应应距距离离制制动动距距离离常数常数假假 设设 与与 建建 模模 1.刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和2.反应距离反应距离 d1与车速与车速 v成正比成正比3.刹车时使用最大制动力刹车
4、时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变;F d2=m v2/2F mt1为反应时间为反应时间且且F与车的质量与车的质量m成正比成正比 反应时间反应时间 t1的经验估计值为的经验估计值为0.75秒秒参数估计参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.025计算刹车距离、刹车时间计算刹车距离、刹车时间车速车速(英里英里/小时小时)(英尺英尺/秒秒)实际刹车距离实际刹车距离（英尺）（英尺）计算刹车距离计算刹车距离（英尺）（英尺）刹车时间刹车时间（秒）（秒）2029.342（44）39.01.53
5、044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒准则秒准则”应修正为应修正为“t 秒秒准则准则”模模 型型车速车速(英里英里/小时小时)刹车时间刹车时间（秒）（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里车速（英里/小时）小时）010104040606080t（秒）秒）12342.5 5 公平的席位分配公平的席位分配系别系别 学生学生
6、比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 6.615 3.570 21.000 21问问题题三个系学生共三个系学生共200名（甲系名（甲系100，乙系，乙系60，丙系，丙系40），代表），代表会议共会议共20席，按比例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。席。现因学生转系，现因学生转系，三系人数为三系人数为103,63,34,问问20席如何分配。席如何分配。若增加为若增加为21席，又
7、如何分配。席，又如何分配。比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公公平平吗吗系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 11 6.6
8、15 7 3.570 321.000 21“公平公平”分配方分配方法法衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2当当p1/n1=p2/n2 时，分配公时，分配公平平 p1/n1 p2/n2 对对A的的绝对不公平度绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A的的不公平不公平程度已大大降低程度已大大降低!虽二者虽二者的的绝对绝对不公平度相同不公平度相同若
9、若 p1/n1 p2/n2，对对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5公平分配方案应公平分配方案应使使 rA,rB 尽量小尽量小设设A,B已分别有已分别有n1,n2 席，若增加席，若增加1席，问应分给席，问应分给A,还是还是B不妨设分配开始时不妨设分配开始时 p1/n1 p2/n2，即对即对A不公平不公平 对对A的的相对不公平度相对不公平度将绝对度量改为相对度量将绝对度量改为相对度量类似地定义类似地定义 rB(n1,n2)将一次性的席位分配转化为动态的席位分配将一次性的席位分配转化为动态的席位分配,即即“公平公平”分配方分配方法法若若 p1/n1 p2/n2，定义定义1）若）若 p1/(
10、n1+1)p2/n2，则这席应给则这席应给 A2）若）若 p1/(n1+1)p2/(n2+1)，应计算应计算rB(n1+1,n2)应计算应计算rA(n1,n2+1)若若rB(n1+1,n2)p2/n2 问：问：p1/n1rA(n1,n2+1),则这席应给则这席应给 B当当 rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),该席给该席给ArA,rB的定的定义义该席给该席给A否则否则,该席给该席给B 定义定义该席给该席给Q值值较大的一方较大的一方推广到推广到m方方分配席位分配席位该席给该席给Q值最大的一方值最大的一方Q 值方法值方法计算，三系用三系用Q值方法重新分配值方法重新分配 21个席位个席位按人
11、数比例的整数部分已将按人数比例的整数部分已将19席分配完毕席分配完毕甲系：甲系：p1=103,n1=10乙系：乙系：p2=63,n2=6丙系：丙系：p3=34,n3=3用用Q值方法分配值方法分配第第20席和第席和第21席席第第20席席第第21席席同上同上Q3最大，最大，第第21席席给丙系给丙系甲系甲系1111席，乙系席，乙系6 6席，丙系席，丙系4 4席席Q值方法值方法分配结果分配结果公平吗？公平吗？Q1最大，最大，第第20席席给甲系给甲系问问题题在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4450，问剩下的一段还能否录下，问剩下的一段还能否录下1小
12、时的节目？小时的节目？要求要求不仅回答问题，而且建立计数器读数与不仅回答问题，而且建立计数器读数与录像带转过时间的关系。录像带转过时间的关系。思考思考计数器读数是均匀增长的吗？计数器读数是均匀增长的吗？2.6 录像机计数器的用途录像机计数器的用途经试验，一盘标明经试验，一盘标明180分钟的录像带分钟的录像带从头走到尾，时间用了从头走到尾，时间用了184分，计数分，计数器读数从器读数从0000变到变到6061。录像机计数器的工作原理录像机计数器的工作原理主动轮主动轮压轮压轮0000左轮盘左轮盘右轮盘右轮盘磁头磁头计数器计数器录像带录像带录像带运动方向录像带运动方向录像带运动录像带运动右轮盘半径增
13、大右轮盘半径增大右轮转速不是常数右轮转速不是常数录像带运动速度是常数录像带运动速度是常数计数器读数增长变慢计数器读数增长变慢问题分析问题分析观察观察 计数器读数增长越来越慢！计数器读数增长越来越慢！模型假设模型假设 录像带的运动速度是常数录像带的运动速度是常数 v；计数器读数计数器读数 n与右轮转数与右轮转数 m成正比，记成正比，记 m=kn；录像带厚度（加两圈间空隙）为常数录像带厚度（加两圈间空隙）为常数 w；空右轮盘半径记作空右轮盘半径记作 r；时间时间 t=0 时读数时读数 n=0.建模目的建模目的建立建立时间时间t与读数与读数n之间的关系之间的关系（设（设v,k,w,r为已知参数）为已
14、知参数）模型建立模型建立建立建立t与与n的函数关系有多种方法的函数关系有多种方法1.右轮盘转第右轮盘转第 i 圈的半径为圈的半径为r+wi,m圈的总长度圈的总长度等于录等于录像像带在时间带在时间t内移动的长度内移动的长度vt,所以所以2.考察右轮盘面积的考察右轮盘面积的变化，等于录像带厚度变化，等于录像带厚度乘以转过的长度，即乘以转过的长度，即3.考察考察t到到t+dt录像带在录像带在右轮盘缠绕的长度，有右轮盘缠绕的长度，有模型建立模型建立思思 考考3 3种建模方法得到同一结果种建模方法得到同一结果但仔细推算会发现稍有差别，请解释。但仔细推算会发现稍有差别，请解释。模型中有待定参数模型中有待定
15、参数一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。一种确定参数的办法是测量或调查，请设计测量方法。思思 考考参数估计参数估计另一种确定参数的方法另一种确定参数的方法测试分析测试分析将模型改记作将模型改记作只需估计只需估计 a,b理论上，已知理论上，已知t=184,n=6061,再有一组再有一组(t,n)数据即可数据即可实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合实际上，由于测试有误差，最好用足够多的数据作拟合现有一批测试数据：现有一批测试数据：t 0 20 40 60 80n 0000 1141 2019 2760 3413 t 100 120 140 160 184n 4004 454
16、5 5051 5525 6061用最小二乘法可得用最小二乘法可得模模 型型 检检 验验应该另外测试一批数据检验模型：应该另外测试一批数据检验模型：模模 型型 应应 用用回答提出的问题：由模型算得回答提出的问题：由模型算得 n=4450 时时 t=116.4分，分，剩下的录像带能录剩下的录像带能录 184-116.4=67.6分钟的节目。分钟的节目。揭示了揭示了“t 与与 n 之间呈二次函数关系之间呈二次函数关系”这一普遍规律，这一普遍规律，当录像带的状态改变时，只需重新估计当录像带的状态改变时，只需重新估计 a,b 即可。即可。2d墙墙室室内内 T1室室外外 T2dd墙墙l室室内内 T1室室外
17、外 T2问问题题双层玻璃窗与同样多材料的单层双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失玻璃窗相比，减少多少热量损失假假设设热量传播只有传导，没有对流热量传播只有传导，没有对流T1,T2不变，热传导过程处于稳态不变，热传导过程处于稳态材料均匀，热传导系数为常数材料均匀，热传导系数为常数建建模模热传导定律热传导定律Q1Q2Q 单位时间单位面积传导的热量单位时间单位面积传导的热量 T温差温差,d材料厚度材料厚度,k热传导系热传导系数数2.7 双层玻璃窗的功效双层玻璃窗的功效dd墙墙l室室内内 T1室室外外 T2Q1TaTb记双层玻璃窗传导的热量记双层玻璃窗传导的热量Q1Ta内层玻璃的外
18、侧温度内层玻璃的外侧温度Tb外层玻璃的内侧温度外层玻璃的内侧温度k1玻璃的热传导系数玻璃的热传导系数k2空气空气的热传导系数的热传导系数建模建模记单层玻璃窗传导的热量记单层玻璃窗传导的热量Q22d墙墙室室内内 T1室室外外 T2Q2双层与单层窗传导的热量之比双层与单层窗传导的热量之比k1=4 10-3 8 10-3,k2=2.5 10-4,k1/k2=16 32对对Q1比比Q2的的减少量减少量作最保守的估计，作最保守的估计，取取k1/k2=16建模建模hQ1/Q24200.060.030.026模型应用模型应用取取 h=l/d=4,则则 Q1/Q2=0.03即双层玻璃窗与同样多材即双层玻璃窗与
19、同样多材料的单层玻璃窗相比，可料的单层玻璃窗相比，可减少减少97%的热量损失。的热量损失。结果分析结果分析Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数导系数 k2 2,而这要求空气非常干燥、不流通。而这要求空气非常干燥、不流通。房间通过天花板、墙壁房间通过天花板、墙壁 损失的热量更多。损失的热量更多。双层窗的功效不会如此之大双层窗的功效不会如此之大问问题题甲有物品甲有物品X,乙有物品乙有物品Y,双方为满足更高的需要，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。商定相互交换一部分。研究实物交换方案。yxp.用用x,y分别表示甲分别表示甲
20、(乙乙)占有占有X,Y的数量。设交换前甲占的数量。设交换前甲占有有X的数量为的数量为x0,乙占有乙占有Y的数量为的数量为y0,作图：作图：若不考虑双方对若不考虑双方对X,Y的的偏爱，则矩形内任一点偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案：甲占有都是一种交换方案：甲占有(x,y)，乙占有乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0 xo2.8 实物交换实物交换xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，具有同样的满意程度，即即p1,p2对甲是无差别的，对甲是无差别的，
21、MN将将所有与所有与p1,p2无差无差别的点的点连接接起来，得到一条起来，得到一条无差无差别曲曲线MN,线上各点的满意度相同线上各点的满意度相同,线的形状反映对线的形状反映对X,Y的偏爱程度，的偏爱程度，N1M1p3(x3,y3).比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲线在另一条无差别曲线M1N1上。上。于是形成一族无差别曲线（无数条）。于是形成一族无差别曲线（无数条）。p1.p2.c1 y0 xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质：单调减单调减(x增加增加,y减减小小)下凸下凸(凸向原点凸向原点)互不相交互不相交在在p1点占有点占有x少、少
22、、y多，多，宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取较少的较少的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，多，就要以较多的就要以较多的 x换取换取较少的较少的 y。甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度满意度（f 等满意度曲线）等满意度曲线）xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有相同具有相同性质（形状可以不同）性质（形状可以不同）双方的交换路径双方的交换路径xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c2(坐坐标系标系xOy,且反向）且反向）甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1ABp
23、P 双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必在在AB（交换路径）上交换路径）上因为在因为在AB外的任一点外的任一点p,(双方双方)满意度低于满意度低于AB上的点上的点p两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作ABABp 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量(x,y)0 x x0,0 y y0矩形内任矩形内任一点一点交换路交换路径径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族等价交等价交换原则换原则X,Y用货币衡量其价值，设交换用货币衡量其价值，设交换前前x0,y0价值相同，则等价交换原价值相同，则等价交换原则下交换路径为则下交换路径为CD(x0
24、,0),(0,y0)两点的连线两点的连线CDAB与与CD的的交点交点p设设X单价单价a,Y单价单价b,则等价交换下则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0 xo.x帆船在海面上乘风远航，确定帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向最佳的航行方向及帆的朝向简化问题简化问题AB 风向风向北北航向航向帆船帆船海面上东风劲吹，设帆船海面上东风劲吹，设帆船要从要从A点驶向正东方的点驶向正东方的B点，点，确定起航时的航向确定起航时的航向，帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 2.9 启帆远航启帆远航模型分析模型分析 风风(通过帆通过帆)对船的推力对船的推力w 风对船体部分的阻力风对船体
25、部分的阻力p推力推力w的分解的分解 wp阻力阻力p的分解的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型模型假设假设 w与帆迎风面积与帆迎风面积s1成正比，成正比，p与船迎风面积与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且成正比，比例系数相同且 s1远大于远大于 s2，f1航行方向的推力航行方向的推力p1 航行方向的阻力航行方向的阻力w1=wsin(-)f1=w1sin=wsin sin(-)p1=pcos 模型模型假设假设 wpw1w2f1f2p2p1 w2与帆面平行，可忽略与帆面平行，可忽略 f2,p2垂直于船身，可由舵抵消垂直于船身，可由舵抵消模型模型建立建立w=
26、ks1,p=ks2船在正东方向速度分量船在正东方向速度分量v1=vcos 航向速度航向速度v与力与力f=f1-p1成正比成正比v=k1(f1-p1)v1v2)令令 =/2,v1=k1 w(1-cos)/2-pcos cos 求求 使使v1最大最大（w=ks1,p=ks2）1)当当 固定时求固定时求 使使f1最大最大f1=wcos(-2)-cos/2 =/2 时时 f1=w(1-cos)/2最大最大=k1(f1-p1)cos f1=w1sin=wsin sin(-)p1=pcos 求求,使使 v1最最大大模型建立模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解模型求解60 75 1 t 2v1最大最大备注备注 只讨论起航时的航向，是静态模型只讨论起航时的航向，是静态模型 航行过程中终点航行过程中终点B将不在正东方将不在正东方 记记 t=1+2s2/s1,k2=k1w/2=(k1w/2)1-(1+2p/w)cos cos w=ks1,p=ks21/4cos s2