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1、初等模型-数学模型2.1 公平的席位分配公平的席位分配系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 乙乙 63 31.5 丙丙 34 17.0总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分配席的分配 比例比例 结果结果10.815 6.615 3.570 21.000 21问问题题三个系学生共三个系学生共200名名(甲甲100，乙，乙60，丙，丙40)，代表会，代表会议共议共20席，按比例分配，三个系分别为席，按比例分配，三个系分别为10,6,4席席.因学生转系因学生转系,三系人数为三系人数为103,63,34,如何分配
2、如何分配20席席?若代表会议增加若代表会议增加1席，如何分配席，如何分配21席席?比比例例加加惯惯例例对对丙丙系系公公平平吗吗系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 乙乙 63 31.5 6.3 丙丙 34 17.0 3.4 总和总和 200 100.0 20.0 20系别系别 学生学生 比例比例 20席的分配席的分配 人数人数 （%）比例比例 结果结果 甲甲 103 51.5 10.3 10 乙乙 63 31.5 6.3 6 丙丙 34 17.0 3.4 4总和总和 200 100.0 20.0 2021席的分
3、配席的分配 比例比例 结果结果10.815 11 6.615 7 3.570 321.000 21背背景景Hamilton(比例加惯例比例加惯例)方法方法-1792年美国国会用于分配各州众议员名额年美国国会用于分配各州众议员名额已知已知:m方人数分别为方人数分别为 p1,p2,pm,记总人数为记总人数为 P=p1+p2+pm,待分配的总席位为待分配的总席位为N.记记 qi=Npi/P,称为第称为第i方的份额方的份额(i=1,2,m)各方先分配各方先分配qi的整数部分的整数部分qi,总余额为总余额为 记记ri=qi-qi,则第则第i方的分配名额方的分配名额ni为为要要求求已知份额向量已知份额向量
4、q=(q1,qm),找一个整数找一个整数分配向量分配向量n=(n1,nm),使使n与与q最最接近接近.Hamilton方法的不公平性方法的不公平性1.p1,p2,pm不变不变,N的增加会使某个的增加会使某个ni减少减少(上例上例).2.N不变不变,pi 比比pj的增长率大的增长率大,会使会使 ni减少减少 nj增加增加(如例如例1).3.p1,p2,pm不变不变,m增加增加1,N的增加会使某个的增加会使某个ni增加增加而某个而某个ni减少减少(如例如例2).pinii=110310i=2636i=3344总总和和 20020pi114(+10.6%)6338(+11.8%)215qi10.60
5、5.863.54 20ni116320pi10363346206qi10.506.423.470.61 21ni1163121例例1例例2“公平公平”分配方法分配方法衡量公平分配的数量指标衡量公平分配的数量指标 人数人数 席位席位 A方方 p1 n1B方方 p2 n2当当p1/n1=p2/n2 时，分配公平时，分配公平 p1/n1 p2/n2 对对A的绝对不公平度的绝对不公平度p1=150,n1=10,p1/n1=15p2=100,n2=10,p2/n2=10p1=1050,n1=10,p1/n1=105p2=1000,n2=10,p2/n2=100p1/n1 p2/n2=5但后者对但后者对A
6、的的不公平不公平程度已大大降低程度已大大降低!虽二者虽二者的绝对的绝对不公平度相同不公平度相同若若 p1/n1 p2/n2，对对 不公平不公平A p1/n1 p2/n2=5当当 rB(n1+1,n2)rA(n1,n2+1),该席给该席给ArA,rB的定义的定义该席给该席给A否则否则,该席给该席给B 定义定义该席给该席给Q值较大的一方值较大的一方推广到推广到m方方分配席位分配席位计算计算该席给该席给Q值最大的一方值最大的一方Q 值方法值方法(Huntington)三系用三系用Q值方法重新分配值方法重新分配 21个席位个席位按人数比例的整数部分已将按人数比例的整数部分已将19席分配完毕席分配完毕甲
7、系：甲系：p1=103,n1=10乙系：乙系：p2=63,n2=6丙系：丙系：p3=34,n3=3用用Q值方法分配值方法分配第第20席和第席和第21席席第第20席席第第21席席同上同上Q3最大，第最大，第21席给丙系席给丙系甲系甲系11席席,乙系乙系6席席,丙系丙系4席席Q值方法值方法分配结果分配结果公平吗？公平吗？Q1最大，第最大，第20席给甲系席给甲系模型的公理化研究模型的公理化研究Q值方法比值方法比“比例加惯例比例加惯例”方法更公平吗？方法更公平吗？席位分配的公理席位分配的公理(1974)份额份额qi=Npi/P,分配名额分配名额ni=ni(N,p1,pm)已知已知p1,p2,pm,P,
8、N1)qi ni qi+1 (i=1,2,m)公平分配性公平分配性2)ni(N,p1,pm)ni(N+1,p1,pm)名额单调性名额单调性3)若若pi车身的平均长度车身的平均长度15英尺英尺(=4.6米米)“2秒准则秒准则”与与“10英里英里/小时加一车身小时加一车身”规则不同规则不同刹刹车车距距离离反应时间反应时间司机司机状况状况制动系统制动系统灵活性灵活性制动器作用力、车重、车速、道路、气候制动器作用力、车重、车速、道路、气候最大制动力与车质量成正比，最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动使汽车作匀减速运动.车速车速常数常数反反应应距距离离制制动动距距离离常数常数假假 设设 与与 建
9、建 模模 1.刹车距离刹车距离 d 等于反应距离等于反应距离 d1 与制动距离与制动距离 d2 之和之和.2.反应距离反应距离 d1与车速与车速 v成正比成正比.3.刹车时使用最大制动力刹车时使用最大制动力F，F作功等于汽车动能的改变作功等于汽车动能的改变;F d2=m v2/2F mt1为反应时间为反应时间且且F与车的质量与车的质量m成正比成正比.反应时间反应时间 t1的经验估计值为的经验估计值为0.75秒秒.参数估计参数估计 利用交通部门提供的一组实际数据拟合利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k.模模 型型最小二乘法最小二乘法 k=0.0256计算刹车距离、刹车时间计算刹车距离、刹车时间
10、车速车速(英里英里/小时小时)(英尺英尺/秒秒)实际刹车距离实际刹车距离（英尺）（英尺）计算刹车距离计算刹车距离（英尺）（英尺）刹车时间刹车时间（秒）（秒）2029.342（44）43.91.53044.073.5（78）82.51.84058.7116（124）132.12.15073.3173（186）192.22.56088.0248（268）263.83.070102.7343（372）346.53.680117.3464（506）439.54.3“2秒准则秒准则”应修正为应修正为“t 秒准则秒准则”模模 型型车速车速(英里英里/小时小时)刹车时间刹车时间（秒）（秒）201.5301.
11、8402.1502.5603.0703.6804.3车速（英里车速（英里/小时）小时）010104040606080t（秒）（秒）12342.5 划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩赛艇赛艇 2000米成绩米成绩 t(分分)种类种类 1 2 3 4 平均平均单人单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21双人双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88四人四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32八人八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84艇长艇长l 艇宽艇宽b(米米)(米米)l/b 7.93 0.293 27.0 9.76 0.356 27.411.75
12、 0.574 21.018.28 0.610 30.0空艇重空艇重w0(kg)浆手数浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7对四种赛艇对四种赛艇(单人、双人、四人、八人单人、双人、四人、八人)4次国际次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某大赛冠军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系种关系.试建立数学模型揭示这种关系试建立数学模型揭示这种关系.问问题题准准备备调查赛艇的尺寸和重量调查赛艇的尺寸和重量l/b,w0/n 基本不变基本不变问题分析问题分析 前进阻力前进阻力 浸没部分与水的摩擦力浸没部分与水的摩擦力 前进动力前进动力 浆手的划浆功率浆手的划浆功率分析赛艇速度与浆手数量之
13、间的关系分析赛艇速度与浆手数量之间的关系.赛艇速度由前进动力和前进阻力决定赛艇速度由前进动力和前进阻力决定.划浆划浆功率功率 赛艇赛艇速度速度赛艇赛艇速度速度前进前进动力动力前进前进阻力阻力浆手浆手数量数量 艇艇重重浸没浸没面积面积 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定.运用合适的物理定律建立模型运用合适的物理定律建立模型.模型假设模型假设1）艇形状相同）艇形状相同(l/b为常数为常数),w0与与n成正成正比比2）v是常数，阻力是常数，阻力 f与与 sv2成正比成正比符号：艇速符号：艇速 v,浸没面积浸没面积 s,浸没体积浸没体积 A,空艇重
14、空艇重 w0,阻力阻力 f,浆手数浆手数 n,浆手功率浆手功率 p,浆手体重浆手体重 w,艇重艇重 W.艇的静态特性艇的静态特性艇的动态特性艇的动态特性3）w相同，相同，p不变，不变，p与与w成正比成正比浆手的特征浆手的特征模型模型建立建立f sv2,p wv (n/s)1/3s1/2 A1/3,A W(=w0+nw)n s n2/3v n1/9比赛成绩比赛成绩 t n 1/9np fv,模型检验模型检验n t1 7.212 6.884 6.328 5.84线性最小二乘法线性最小二乘法利用利用4次国际大赛冠军的平均次国际大赛冠军的平均成绩对模型成绩对模型 t n 1/9 进行检验进行检验.tn
15、12487.216.886.325.84与模型吻合！与模型吻合！划艇比赛的成绩划艇比赛的成绩 对实际数据做比较、分析，发现并提出问题对实际数据做比较、分析，发现并提出问题.利用物理基本知识分析问题利用物理基本知识分析问题.模型假设比较粗糙模型假设比较粗糙.利用合适的物理定律及简单的比例利用合适的物理定律及简单的比例方法建模方法建模(只考虑各种艇的相对速度只考虑各种艇的相对速度).模型结果与实际数据十分吻合模型结果与实际数据十分吻合(巧合！巧合！)2.6 动物的身长和体重动物的身长和体重(不讲不讲)背景与问题背景与问题 研究四足动物躯干的长度与体重的关系研究四足动物躯干的长度与体重的关系.家畜收
16、购站家畜收购站(屠宰场屠宰场)希望从躯干长度估计体重希望从躯干长度估计体重.不陷入各种动物生理结构的研究不陷入各种动物生理结构的研究.问题分析问题分析 将将动动物物躯躯干干类类比比为为圆圆柱柱形形的的弹弹性性梁梁，四四肢肢为为支架，借助弹性力学的已有结果进行分析支架，借助弹性力学的已有结果进行分析.假假 设设 与与 建建 模模 1.躯干为圆柱体，长度躯干为圆柱体，长度 l,直径直径 d,断面面积断面面积 s.2.圆柱体为弹性梁，四肢为支架圆柱体为弹性梁，四肢为支架.3.动物在自身体重动物在自身体重 f 作用下，躯干作用下，躯干最大下垂为最大下垂为 b(梁的最大弯曲梁的最大弯曲).4.弹性力学的
17、已有结果：弹性力学的已有结果：dlbf 5.由由 f sl,得得b/l是动物躯干的相对下垂度是动物躯干的相对下垂度.在长期进化过程中每种动物的在长期进化过程中每种动物的 b/l 已经达到最已经达到最合适的数值，即合适的数值，即 b/l=常数常数(与动物尺寸无关与动物尺寸无关).b/l 太大，四肢无法支撑；太大，四肢无法支撑；b/l 太小，四肢的尺寸超过支撑躯干太小，四肢的尺寸超过支撑躯干的需要，不合乎生物进化论的需要，不合乎生物进化论.对于一种四足动物对于一种四足动物(如生猪如生猪)由统计数据确定系数由统计数据确定系数k.l3 d2 f sl,s d2,l3 d2 躯干的相对下垂度躯干的相对下
18、垂度b/l l 3/d2 dlbf假设与建模假设与建模 f l4f=kl4可以从躯干长度可以从躯干长度 l 估计动物体重估计动物体重 f.动物的身长和体重动物的身长和体重将将动动物物躯躯干干类类比比为为弹弹性性梁梁充充满满想想象象力力的的大胆假设大胆假设!转转化化为为有有确确切切研研究究成成果果的的弹弹性性梁梁在在自自重重下下的的挠曲问题挠曲问题.类比法是数学建模的一种常用方法类比法是数学建模的一种常用方法.问问题题甲有物品甲有物品X,乙有物品乙有物品Y,双方为满足更高的需要，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案商定相互交换一部分。研究实物交换方案.yxp.用用x,y分别
19、表示甲分别表示甲(乙乙)占有占有X,Y的数量。设交换前甲占的数量。设交换前甲占有有X的数量为的数量为x0,乙占有乙占有Y的的数量为数量为y0,作图：作图：若不考虑双方对若不考虑双方对X,Y的偏爱，则矩形内任一点的偏爱，则矩形内任一点 p(x,y)都是一种交换方案：甲占有都是一种交换方案：甲占有(x,y)，乙占有，乙占有(x0-x,y0-y).xyyo0 xo2.7 实物交换实物交换xyyoy1y20 x1x2xop1p2.甲的无差别曲线甲的无差别曲线分析与建模分析与建模如果甲占有如果甲占有(x1,y1)与占有与占有(x2,y2)具有同样的满意程度具有同样的满意程度,即即p1,p2对甲是无差别的
20、对甲是无差别的.MN将将所有与所有与p1,p2无差无差别别的点的点连连接起来接起来,得到一条得到一条无差无差别别曲曲线线MN.线上各点的满意度相同线上各点的满意度相同,线的形状反映对线的形状反映对X,Y的偏爱程度的偏爱程度.N1M1P3(x3,y3).比比MN各点满意度更高的点如各点满意度更高的点如p3，在另一条无差别曲，在另一条无差别曲线线M1N1上上,于是形成一族无差别曲线（无数条）于是形成一族无差别曲线（无数条）.p1.p2.c1 y0 xf(x,y)=c1无差别曲线族的性质：无差别曲线族的性质：单调减单调减(x增加增加,y减小减小)下凸下凸(凸向原点凸向原点)互不相交互不相交在在p1点
21、占有点占有x少、少、y多，多，宁愿以较多的宁愿以较多的 y换取换取较少的较少的 x;在在p2点占有点占有y少、少、x多，多，就要以较多的就要以较多的 x换取换取较少的较少的 y.甲的无差别曲线族记作甲的无差别曲线族记作f(x,y)=c1c1满意度满意度（f 等满意度曲线）等满意度曲线）甲的无差别曲线甲的无差别曲线物以稀为贵物以稀为贵xyOg(x,y)=c2c2 乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g(x,y)=c2具有具有相同性质（形状可以不同）相同性质（形状可以不同）.双方的交换路径双方的交换路径xyyoOxof=c1Oxyg=c2乙的无差别曲线族乙的无差别曲线族 g=c2(坐标系坐标系xOy
22、,且反向）且反向）甲的无差别曲线族甲的无差别曲线族 f=c1ABp P 双方满意的交换方案必双方满意的交换方案必在在AB（交换路径）上（交换路径）上!因为在因为在AB外的任一点外的任一点p,(双方双方)满意度低于满意度低于AB上的点上的点p.两族曲线切点连线记作两族曲线切点连线记作AB分析与建模分析与建模AB 交换方案的进一步确定交换方案的进一步确定交换方案交换方案 交换后甲的占有量交换后甲的占有量(x,y)0 x x0,0 y y0矩形内矩形内任一点任一点交换路交换路径径AB双方的无差别曲线族双方的无差别曲线族等价交等价交换原则换原则X,Y用货币衡量其价值，设用货币衡量其价值，设交换前交换前
23、x0,y0价值相同，则等价值相同，则等价交换原则下交换路径为价交换原则下交换路径为CD(x0,0),(0,y0)两点的连线两点的连线CD.AB与与CD的交点的交点p设设X单价单价a,Y单价单价b,则等价交换下则等价交换下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0 xo.xp.2.8 核军备竞赛核军备竞赛(不讲不讲)冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全,实行实行“核威慑战略核威慑战略”,核军备竞赛不断升级核军备竞赛不断升级.随着前苏联的解体和冷战的结束随着前苏联的解体和冷战的结束,双方通过了双方通过了一系列核裁军协议一系列核裁军协议.在什么情况下双方的核军备竞赛
24、不会无限扩张在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张,而存在暂时的平衡状态而存在暂时的平衡状态.当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导弹等措施时弹头导弹等措施时,平衡状态会发生什么变化平衡状态会发生什么变化.估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量,这个数量受哪些因素影响这个数量受哪些因素影响.背背景景与与问问题题以双方以双方(战略战略)核导弹数量描述核军备的大小核导弹数量描述核军备的大小.假定双方采取如下同样的假定双方采取如下同样的核威慑战略：核威慑战略：认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾认为对方可能
25、发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；己方在经受第一次核打击后，应保存足够的己方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击核导弹，给对方重要目标以毁灭性的打击.在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地导弹只能攻击对方的一个核导弹基地.摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定攻击精度和另一方的防御能力决定.模模型型假假设设图图的的模模型型y=f(x)甲有甲有x枚导弹枚导弹,乙所需的
26、最少导弹数乙所需的最少导弹数(乙安全线乙安全线)x=g(y)乙有乙有y枚导弹枚导弹,甲所需的最少导弹数甲所需的最少导弹数(甲安全线甲安全线)当当 x=0时时 y=y0，y0乙方的乙方的威慑值威慑值xyy00y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数为毁灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数.x1x0y1P(xm,ym)x=g(y)xy0y0y=f(x)y=f(x)乙安全区乙安全区甲甲安安全全区区双方双方安全区安全区P平衡点平衡点(双方最少导弹数双方最少导弹数)乙安全线乙安全线分析分析模型模型乙方乙方残存率残存率 s 甲
27、方一枚导弹攻击乙方一个甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率基地，基地未被摧毁的概率.sx个基地未被摧毁，个基地未被摧毁，yx个基地未被攻击个基地未被攻击.xy甲方以甲方以 x枚导弹攻击乙方枚导弹攻击乙方 y个基地中的个基地中的 x个个,y0=sx+yxx=yy0=sy乙的乙的xy个基地被攻击个基地被攻击2次次,s2(xy)个未被摧毁个未被摧毁;y(xy)=2y x个被攻击个被攻击1次次,s(2y x)个未被摧毁个未被摧毁.y0=s2(xy)+s(2y x)x=2yy0=s2yyx2yy=y0+(1-s)xy=y0/sy=y0/s2 a交换比交换比(甲乙导弹数量比甲乙导弹数量比)x=
28、a y,分析分析模型模型x=y,y=y0/sx=2y,y=y0/s2y0威慑值威慑值s残存率残存率y=f(x)y是一条上凸的曲线是一条上凸的曲线y0变大，曲线上移、变陡变大，曲线上移、变陡.s变大，变大，y减小，曲线变平减小，曲线变平.a变大，变大，y增加，曲线变陡增加，曲线变陡.xy0y0 xy,y=y0+(1-s)xx=yx=2yyx2y,甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标.乙方威慑值乙方威慑值 y0变大变大xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级.（其
29、它因素不变）（其它因素不变）乙安全线乙安全线 y=f(x)上移上移模型解释模型解释 平衡点平衡点PP 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架.乙安全线乙安全线y=f(x)不变不变甲方残存率变大甲方残存率变大威慑值威慑值x 0和交换比不变和交换比不变x减小，甲安全线减小，甲安全线x=g(y)向向y轴靠近轴靠近xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)模型解释模型解释 甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少.PP 双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标双方发展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标.(
30、x,y仍为双方核导弹的数量仍为双方核导弹的数量)双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加.y0减小减小 y下移且变平下移且变平xy0y0 x0P(xm,ym)x=g(y)y=f(x)a 变大变大 y增加且变陡增加且变陡双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析.模型解释模型解释 乙安全线乙安全线 y=f(x)核核 军军 备备 竞竞 赛赛 对对“核威慑战略核威慑战略”做一些合理、简化假设，用图的做一些合理、简化假设，用图的模型描述双方核武器相互制约、达到平衡的过程模型描述双方核武器相互制约、达到平衡的过程.
31、提出提出安全曲线安全曲线概念，给出它的一般形式概念，给出它的一般形式.通过更精细的分析找到影响安全线的通过更精细的分析找到影响安全线的3个参数：个参数：威威慑值、残存率和交换比慑值、残存率和交换比，给出安全线的分析表达式，给出安全线的分析表达式.利用模型对核军备竞赛中的一些现象作出合理解释利用模型对核军备竞赛中的一些现象作出合理解释.帆船在海面上乘风远航，确定帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向最佳的航行方向及帆的朝向.简化问题简化问题AB 风向风向北北航向航向帆船帆船海面上东风劲吹，设帆船海面上东风劲吹，设帆船要从要从A点驶向正东方的点驶向正东方的B点，点，确定起航时的航向确定
32、起航时的航向，帆帆 以及帆的朝向以及帆的朝向 .2.9 启帆远航启帆远航模型分析模型分析 风风(通过帆通过帆)对船的推力对船的推力w 风对船体部分的阻力风对船体部分的阻力p推力推力w的分解的分解 wp阻力阻力p的分解的分解w=w1+w2w1w2w1=f1+f2f1f2p2p1p=p1+p2模型模型假设假设 w与帆迎风面积与帆迎风面积s1成正比，成正比，p与船迎风面积与船迎风面积s2成正比，比例系数相同且成正比，比例系数相同且 s1远大于远大于 s2.f1航行方向的推力航行方向的推力p1 航行方向的阻力航行方向的阻力w1=wsin(-)f1=w1sin=wsin sin(-)p1=pcos 模型
33、模型假设假设 wpw1w2f1f2p2p1 w2与帆面平行，可忽略与帆面平行，可忽略.f2,p2垂直于船身，可由舵抵消垂直于船身，可由舵抵消.模型模型建立建立w=ks1,p=ks2船在正东方向速度分量船在正东方向速度分量v1=vcos 航向速度航向速度v与力与力f=f1-p1成正比成正比.v=k1(f1-p1)v1v2)令令 =/2,v1=k1 w(1-cos)/2-pcos cos 求求 使使v1最大最大（w=ks1,p=ks2）1)当当 固定时求固定时求 使使f1最大最大f1=wcos(-2)-cos/2 =/2 时时 f1=w(1-cos)/2最最大大=k1(f1-p1)cos f1=w
34、1sin=wsin sin(-)p1=pcos 求求,使使 v1最大最大模型建立模型建立v1=vcos wpw1w2f1f2p2p1v1v模型求解模型求解60 75 1 t 2v1最大最大备备注注 只讨论起航时的航向，是静态模型只讨论起航时的航向，是静态模型.航行过程中终点航行过程中终点B将不在正东方，应调整将不在正东方，应调整 和和 .记记 t=1+2s2/s1,k2=k1w/2=(k1w/2)1-(1+2p/w)cos cos w=ks1,p=ks21/4cos s22.10 量纲分析与无量纲化量纲分析与无量纲化物物理理量量的的量量纲纲长度长度 l 的量纲记的量纲记 L=l质量质量 m的量
35、纲记的量纲记 M=m时间时间 t 的量纲记的量纲记 T=t动力学中动力学中基本量纲基本量纲 L,M,T速度速度 v 的量纲的量纲 v=LT-1导出量纲导出量纲加速度加速度 a 的量纲的量纲 a=LT-2力力 f 的量纲的量纲 f=LMT-2引力常数引力常数 k 的量纲的量纲 k对无量纲量对无量纲量，=1(=L0M0T0)2.10.1 量纲齐次原则量纲齐次原则=fl2m-2=L3M-1T-2量纲齐次原则量纲齐次原则等式两端的量纲一致等式两端的量纲一致量纲分析量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系.例：单摆运动例：单摆运动lmgm求摆动周期求摆动周期 t
36、的表达式的表达式设物理量设物理量 t,m,l,g 之间有关系式之间有关系式 1,2,3 为待定系数，为待定系数，为无量纲量为无量纲量(1)的量纲表达式的量纲表达式对比对比对对 x,y,z的两组量测值的两组量测值x1,y1,z1 和和x2,y2,z2,p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为什么假设这种形式为什么假设这种形式?设设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单的量纲单位缩小位缩小a,b,c倍倍p=f(x,y,z)的形式为的形式为量纲齐量纲齐次原则次原则单摆运动单摆运动单摆运动中单摆运动中 t,m,l,g 的一般表达式的一般表达式y1y4 为待定常数为待定常数,为无量纲
37、量为无量纲量设设 f(q1,q2,qm)=0 ys=(ys1,ys2,ysm)T,s=1,2,m-rF(1,2,m-r)=0 与与 f(q1,q2,qm)=0 等价等价,F未未定定.Pi定理定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn 是是基本量纲基本量纲,n m,q1,q2,qm 的量纲可表为的量纲可表为量纲矩阵记作量纲矩阵记作线性齐次方程组线性齐次方程组有有 m-r 个基本解，记作个基本解，记作为为m-r 个相互独立的无量纲量个相互独立的无量纲量,且且则则g=LT-2,l=L,=L-3M,v=LT-1,s=L2,f=LMT-2量纲分析
38、示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力航船阻力航船阻力 f航船速度航船速度v,船体尺寸船体尺寸l,浸没面积浸没面积 s,海水密度海水密度,重力加速度重力加速度g.m=6,n=3Ay=0 有有m-r=3个基本解个基本解rank A=3rank A=rAy=0 有有m-r个基本解个基本解ys=(ys1,ys2,ysm)T s=1,2,m-rm-r 个无量纲量个无量纲量量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力 F(1,2,3)=0与与(g,l,v,s,f)=0 等价等价为得到阻力为得到阻力 f 的显式表达式的显式表达式F=0 未定未定F(1,2,m-r)=0 与与
39、f(q1,q2,qm)=0 等价等价量纲分析示例：量纲分析示例：波浪对航船的阻力波浪对航船的阻力量纲分析法的评注量纲分析法的评注 物理量的选取物理量的选取 基本量纲的选取基本量纲的选取 基本解的构造基本解的构造 结果的局限性结果的局限性 ()=0中包括哪些物理量是至关重要的中包括哪些物理量是至关重要的.基本量纲个数基本量纲个数n;选哪些基本量纲选哪些基本量纲.有目的地构造有目的地构造 Ay=0 的基本解的基本解.方法的普适性方法的普适性函数函数F和无量纲量未定和无量纲量未定.不需要特定的专业知识不需要特定的专业知识.2.10.2 量纲分析在物理模拟中的应用量纲分析在物理模拟中的应用 例例:航船
40、阻力的物理模拟航船阻力的物理模拟通过航船模型确定原型船所受阻力通过航船模型确定原型船所受阻力 模型船的参数模型船的参数(均已知均已知)可得原可得原型船所型船所受阻力受阻力已知模已知模型船所型船所受阻力受阻力 原型船的参数原型船的参数(f1未知，其他已知未知，其他已知)注意：二者的注意：二者的 相同相同 按一定尺寸比例造模型船，按一定尺寸比例造模型船，量测量测 f，可算出，可算出 f1 物理模拟物理模拟2.10.3 无量纲化无量纲化例：火箭发射例：火箭发射m1m2xrv0g星球表面竖直发射火箭。初速星球表面竖直发射火箭。初速v,星星球半径球半径r,星球表面重力加速度星球表面重力加速度g.研究火箭
41、高度研究火箭高度 x 随时间随时间 t 的变化规律的变化规律.t=0 时时 x=0,火箭质量火箭质量m1,星球质量星球质量m2牛顿第二定律，万有引力定律牛顿第二定律，万有引力定律3个独立参数个独立参数用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数x=L,t=T,r=L,v=LT-1,g=LT-2变量变量 x,t 和独立参数和独立参数 r,v,g 的量纲的量纲用用参数参数r,v,g的组合的组合,分别分别构造与构造与x,t具有相同具有相同量纲量纲的的xc,tc（特征尺度）（特征尺度）无量纲变量无量纲变量如利用新变量利用新变量将被简化将被简化令令 xc,tc的不同构造的不同构造1）令
42、为无量纲量为无量纲量用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数的不同简化结果的不同简化结果3）令 为无量纲量为无量纲量2）令 为无量纲量为无量纲量用无量纲化方法减少独立参数个数用无量纲化方法减少独立参数个数1)2)3)的共同点的共同点只含只含1个参数个参数无量纲量无量纲量 解解1)2)3)的重要差别的重要差别考察无量纲量考察无量纲量在在1)2)3)中能否忽略以中能否忽略以 为因子的项？为因子的项？1)忽略忽略 项项无解无解不能忽略不能忽略 项项无量纲无量纲化方法化方法2)3)忽略忽略 项项不能忽略不能忽略 项项忽略忽略 项项1)2)3)的重要差别的重要差别无量纲无量纲化方法化
43、方法火箭发射过程火箭发射过程中引力中引力m1g不变不变 即即 x+r r原原问问题题可以忽略可以忽略 项项是原问题是原问题的近似解的近似解1)2)3)的重要差别的重要差别无量纲化方法无量纲化方法为什么为什么3)能忽略能忽略 项，得到原问题近似解，而项，得到原问题近似解，而1)2)不能不能?1）令）令2）令）令3）令）令火箭到达最高点时间为火箭到达最高点时间为v/g,高度为高度为v2/2g,大体上具有单位尺度大体上具有单位尺度项可以忽略项可以忽略项不能忽略项不能忽略无量纲化方法无量纲化方法 选择特征尺度的一般讨论见：选择特征尺度的一般讨论见：林家翘著林家翘著自然科学中确定性问题的应用数学自然科学中确定性问题的应用数学无无 量量 纲纲 化化 无量纲化无量纲化是研究物理问题常用的数学方法是研究物理问题常用的数学方法.选择选择特征尺度特征尺度主要依赖于物理知识和经验主要依赖于物理知识和经验.恰当地选择特征尺度可以减少独立参数恰当地选择特征尺度可以减少独立参数个数，还可以辅助确定舍弃哪些次要因素个数，还可以辅助确定舍弃哪些次要因素.