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1、数学建模之初等模型第1页，本讲稿共24页问题问题:把若干不同半径的圆柱形钢杆水平地堆放在一个长把若干不同半径的圆柱形钢杆水平地堆放在一个长方体箱子里，若已知每根杆的半径和最底层各杆的中心坐方体箱子里，若已知每根杆的半径和最底层各杆的中心坐标，怎样求出其它杆的中心坐标标，怎样求出其它杆的中心坐标？2.1.1 圆杆堆垛问题圆杆堆垛问题第2页，本讲稿共24页模型准备模型准备:本问题是一个解析几何问题，利用解析几本问题是一个解析几何问题，利用解析几何的有关结论既可何的有关结论既可.模型假设模型假设：箱中的钢杆至少有两层以上箱中的钢杆至少有两层以上箱中最底层的杆接触箱底或紧靠箱壁箱中最底层的杆接触箱底或
2、紧靠箱壁除最底层之外的箱中每一根圆杆都恰有两根除最底层之外的箱中每一根圆杆都恰有两根杆支撑杆支撑第3页，本讲稿共24页模型构成：模型构成：1 1考虑三个圆杆的情况考虑三个圆杆的情况已知三个圆杆的半径和两根已知三个圆杆的半径和两根支撑杆的坐标来求另一个被支撑杆的坐标来求另一个被支撑杆坐标的三杆堆垛问题支撑杆坐标的三杆堆垛问题.符号说明符号说明：设两根支撑杆的半径分别为设两根支撑杆的半径分别为Rl,Rr，对应中心坐标分别为，对应中心坐标分别为(xl,yl),(xr,yr)被支撑杆的半径和坐标分别为被支撑杆的半径和坐标分别为Rt和和(xt,yt)连接三根圆杆的中心获得一连接三根圆杆的中心获得一个三角
3、形，用个三角形，用a,b,ca,b,c表示对应表示对应的三条边的三条边a=Rl+Rt b=Rr+Rt(xl,yl)(xr,yr)(xt,yt)RlRrRt 第4页，本讲稿共24页cos =d/c sin=e/cc=(d 2+e 2)1/2 d=xr xle=yr-ylcos =(a2+c2-b2)/2ac sin =(1-cos2)1/2 xt=xl+acos(+)=xl+a(cos cos -sin sin)yt=yl+asin(+)=yl+a(sin cos +cos sin)(xl,yl)(xr,yr)(xt,yt)RlRrRt 第5页，本讲稿共24页2 2考虑多个圆杆的情况考虑多个圆杆
4、的情况对对多于三杆的多于三杆的问题问题可以按支撑关系和先后可以按支撑关系和先后顺顺序依次求出序依次求出所有其它杆的坐所有其它杆的坐标标.例如，如果例如，如果长长方体箱子中有方体箱子中有6根根圆圆杆，已知杆，已知1，2，3号的号的圆圆杆在箱底，杆在箱底，4号杆由号杆由1，2号杆支撑，号杆支撑，5号杆由号杆由2，3号杆号杆支撑，支撑，6号杆由号杆由4，5号杆支撑，号杆支撑，则则可以可以调调用如上三杆用如上三杆问题问题的算法先由的算法先由1，2号杆算号杆算出出4号杆坐号杆坐标标，接着再用，接着再用2，3号杆算出号杆算出5号杆坐号杆坐标标，最后用最后用4，5号杆算出号杆算出6号杆坐号杆坐标标第6页，本
5、讲稿共24页问题问题:由于中国人口的增加和中国姓名结构的局限性，由于中国人口的增加和中国姓名结构的局限性，中国人姓名相重的现象日渐增多中国人姓名相重的现象日渐增多.请尝试提出一个合请尝试提出一个合理且可以有效解决此问题的中国人取名方案理且可以有效解决此问题的中国人取名方案.2.1.2 中国人重姓名问题中国人重姓名问题第7页，本讲稿共24页模型准备：模型准备：先先考考虑虑一一下下中中国国姓姓名名的的结结构构和和取取名名习习惯惯.中中国国的的姓姓名名是是由由姓姓和和名名来来组组成成的的.姓姓在在前前名名在在后后，目目前前姓姓大大约约有有57305730个个,但但常常用用姓姓只只有有20772077
6、个个左左右右，名名通通常常由由至多两个字组成至多两个字组成.姓姓名名是是由由汉汉字字排排列列而而成成，构构成成姓姓名名的的汉汉字字多多，则则姓姓名名总总数数就就多多.要要想想有有效效地地克克服服重重姓姓名名问问题题，就就该该增增加加姓名的姓名的汉汉字数字数.靠靠机机械械地地增增加加名名字字的的个个数数解解决决重重姓姓名名问问题题,或或完完全全改改变变现现有有的的姓姓名名是是不不明明智智.应应该该采采用用兼兼顾顾现现有有姓姓名习惯来做这件事名习惯来做这件事.本本问题问题可以用可以用简单简单的排列的排列组组合原理来解决合原理来解决.第8页，本讲稿共24页模型假设模型假设：中国的所有姓名共有中国的所
7、有姓名共有N个个,其中姓有其中姓有S个个姓名中父亲姓氏在姓名首位姓名中父亲姓氏在姓名首位第9页，本讲稿共24页模型构成：模型构成：三项原则：三项原则：扩大姓名集合扩大姓名集合考虑中国姓名的特色考虑中国姓名的特色兼顾原有取名习惯兼顾原有取名习惯这里提出体现父母姓的这里提出体现父母姓的复姓名方式复姓名方式来解决重姓名问题来解决重姓名问题.方便起见，要引入的新的取名方法称为方便起见，要引入的新的取名方法称为FM取名方取名方法法.第10页，本讲稿共24页一个一个FMFM姓名的结构为：姓名的结构为：主姓名主姓名辅姓名辅姓名主姓名就是现在人们所使用的姓名主姓名就是现在人们所使用的姓名辅姓名可以只是母亲的姓
8、，也可以是利用母亲辅姓名可以只是母亲的姓，也可以是利用母亲的姓另起的一个姓名，不过这个姓名要名在前的姓另起的一个姓名，不过这个姓名要名在前姓在后以区别于主姓名姓在后以区别于主姓名中间的中间的是间隔号是间隔号例如：父亲姓王，母亲姓孙，给孩子取的名字是王例如：父亲姓王，母亲姓孙，给孩子取的名字是王建国以及孙靖，则孩子的建国以及孙靖，则孩子的FMFM姓名为姓名为 王建国王建国靖孙靖孙 或或 王建国王建国孙孙第11页，本讲稿共24页模型分析：模型分析：在在“FMFM姓名体系姓名体系”下下,“FMFM姓名姓名”集合中集合中姓名总数变为姓名总数变为 N*S+N*N=N*(S+N)N*S+N*N=N*(S+
9、N)这表明这表明“FMFM体系体系”将原来的姓名集合增加了将原来的姓名集合增加了S+NS+N倍倍.注意注意到其中到其中N N是很大的，这种扩充是显著的是很大的，这种扩充是显著的.再者，原来再者，原来“主姓名重名主姓名重名”的个数在的个数在“FMFM体系体系”中会减中会减少，而少，而FMFM姓名样本空间扩大了姓名样本空间扩大了S+NS+N倍，由概率论知识可知，倍，由概率论知识可知，重姓名的概率将变得比原来的重姓名的概率将变得比原来的1/(S+N)1/(S+N)还小还小.笔者在对本校的笔者在对本校的500500名学生采用名学生采用“FMFM体系体系”做验证，重姓做验证，重姓名概率由原来的名概率由原
10、来的2%2%变为零！变为零！第12页，本讲稿共24页若若取最保守的估计取最保守的估计,有有Q/Q 是仅与是仅与h h有关的函数有关的函数.可以从图形来考察它的取值情况！可以从图形来考察它的取值情况！第13页，本讲稿共24页问题问题:将一块积木作为基础，在它上面叠放其他的积将一块积木作为基础，在它上面叠放其他的积木，问上下积木之间的木，问上下积木之间的“向右前伸向右前伸”可以达到多少？可以达到多少？2.1.3 搭积木问题搭积木问题第14页，本讲稿共24页模型准备模型准备:本问题涉及重心的概念，关于重心的结果有，查阅相关文本问题涉及重心的概念，关于重心的结果有，查阅相关文献，有下述结果献，有下述结
11、果:设设 xOy 平面上有平面上有n n个质点，它们的坐标分别为个质点，它们的坐标分别为 (x1,y1)，(x2,y2)，,(xn,yn)，对应的质量分别为，对应的质量分别为m1,m2,mn,则该质点系的重心坐标满足：则该质点系的重心坐标满足：第15页，本讲稿共24页模型假设：模型假设：所有积木的长度和重量均为一个单位所有积木的长度和重量均为一个单位每块积木的密度都是均匀的，密度系数相同每块积木的密度都是均匀的，密度系数相同参与叠放的积木有足够多参与叠放的积木有足够多最底层的积木可以完全水平且平稳地放在地最底层的积木可以完全水平且平稳地放在地面上面上第16页，本讲稿共24页模型构成：模型构成：
12、1 1考虑两块积木的叠放情况考虑两块积木的叠放情况x此时使叠放后的积木平衡此时使叠放后的积木平衡主主要取决于上面的积木要取决于上面的积木，而下，而下面的积木只起到支撑作用面的积木只起到支撑作用.假设在叠放平衡的前提下，假设在叠放平衡的前提下，上面的积木超过下面积木右上面的积木超过下面积木右端的端的最大前伸距离为最大前伸距离为x.上面积木在位移最大且不掉下来时，上面积木在位移最大且不掉下来时，x=1/2.x=1/2.第17页，本讲稿共24页2 2考虑考虑 n n 块积木的叠放情况块积木的叠放情况两两块积块积木的情况解决了，如果再加一木的情况解决了，如果再加一块积块积木的叠放情况如木的叠放情况如何
13、呢？何呢？如果增加的如果增加的积积木放在原来两木放在原来两块积块积木的上木的上边边，那么此，那么此积积木是木是不能再向右前伸了不能再向右前伸了!?!?除非再移除非再移动动底下的底下的积积木，但木，但这样这样会使会使问题问题复复杂杂化化.x第18页，本讲稿共24页为利于问题的讨论，我们把前两块搭好的积木看作一个为利于问题的讨论，我们把前两块搭好的积木看作一个整体整体,且不再移动它们之间的相对位置，而把且不再移动它们之间的相对位置，而把增加的积木增加的积木插入在最底下的积木下方插入在最底下的积木下方.于是，问题又归结为两块积木的叠放问题，不过，这于是，问题又归结为两块积木的叠放问题，不过，这次是质
14、量不同的两块积木叠放问题次是质量不同的两块积木叠放问题.第19页，本讲稿共24页利用归纳法利用归纳法假假设设已已经经叠放好叠放好n(nn(n 1)1)块积块积木，下面我木，下面我们们就就n+1n+1块积块积木的叠木的叠放放问题问题来来讨论讨论.要求新增加的一块积木插入最底层，我们选择这新插入的积木要求新增加的一块积木插入最底层，我们选择这新插入的积木的最右端为坐标原点建立如图坐标系的最右端为坐标原点建立如图坐标系.考虑上面的考虑上面的n n块积木的重心关系块积木的重心关系.我们把上面的我们把上面的n n块积木分成块积木分成两部分两部分:从最高层开始的前从最高层开始的前n-1n-1块积木，记块积
15、木，记它们的水平重心为它们的水平重心为x x1 1,总质量为总质量为n-1n-1与最底层积木相连的第与最底层积木相连的第n n块积块积 木木,记它的水平重心为记它的水平重心为x x2 2,质量质量为为1 1第20页，本讲稿共24页把上面的把上面的n n块积木看作一个整体，记它的重心水平坐标块积木看作一个整体，记它的重心水平坐标 ，显然显然n n块积木的质量为块积木的质量为n n.在保证平衡的前提下，上面在保证平衡的前提下，上面n n块积木的水平重心应该恰好在最底块积木的水平重心应该恰好在最底层积木的右端，即有层积木的右端，即有 =0.=0.第21页，本讲稿共24页假设第假设第n n块积木超过最
16、底层积木右端的最大前伸距离为块积木超过最底层积木右端的最大前伸距离为z z.同样在保证平衡的前提下，从最高层开始的前同样在保证平衡的前提下，从最高层开始的前n-1n-1块积木的总重块积木的总重心的水平坐标为心的水平坐标为z z，即有，即有x x1 1=z.=z.第第n n块积木的水平重心坐标为块积木的水平重心坐标为x x2 2=.=.第22页，本讲稿共24页于是，于是，第23页，本讲稿共24页设设从从第第n+1n+1块块积积木木的的右右端端到到第第1 1块块积积木木的的右右端端最最远远距距离离为为d dn+1n+1，则有，则有说明随着积木数量的无限增加，最顶层的积木可以前伸到无说明随着积木数量的无限增加，最顶层的积木可以前伸到无限远的地方限远的地方.第24页，本讲稿共24页