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1、会计学1方向导数方向导数(do sh)与梯大学数学高等数与梯大学数学高等数学学第一页，共33页。一、方向导数(do sh)的定义 讨论函数 在一点P沿某一方向的变化率问题),(yxfz 引射线引射线内有定义，自点内有定义，自点的某一邻域的某一邻域在点在点设函数设函数lPPUyxPyxfz)(),(),( ).(),(,pUPlyyxxPlx 上的另一点且上的另一点且为为并设并设为为的转角的转角轴正向到射线轴正向到射线设设 oyxlP xyP第1页/共33页第二页，共33页。 |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且, z 考虑考虑当 沿着 趋于 时，P Pl ),(),(
2、lim0yxfyyxxf 是否(sh fu)存在？的方向导数的方向导数沿方向沿方向则称这极限为函数在点则称这极限为函数在点在，在，时，如果此比的极限存时，如果此比的极限存趋于趋于沿着沿着当当之比值，之比值，两点间的距离两点间的距离与与函数的增量函数的增量定义定义lPPlPyxPPyxfyyxxf 22)()(),(),( 第2页/共33页第三页，共33页。记为.),(),(lim0 yxfyyxxflf 依依定定义义，函函数数),(yxf在在点点P沿沿着着x轴轴正正向向0 , 11 e、y轴轴正正向向1 , 02 e的的方方向向导导数数分分别别为为yxff ,；沿沿着着x轴轴负负向向、y轴轴负
3、负向向的的方方向向导导数数是是 yxff ,.方向(fngxing)导数的几何意义 ),(),(lim),(0000000yxfyyxxflyxfx 第3页/共33页第四页，共33页。 yyyxxx 00过直线 作平行于 z 轴的平面 与曲面(qmin) z = f ( x , y ) 所交的曲线记为 C C上上考考察察在在 对对应应的的方方向向与与lPP0 ),(),(0000yxfyyxxf 表示(biosh)C 的割线向量 的的交交角角的的正正切切值值与与lPP0即的斜率的斜率关于关于lPP0时时当当0 ),(),(0000yxyyxx 即割线(gxin)转化为切线第4页/共33页第五页
4、，共33页。上式极限(jxin)存在就意味着当点),(00yyxx ),(00yx趋于点 曲线(qxin)C在点 P0 有唯一的切线它关于 方向的斜率l就是方向导数),(00yxlf LCM0TP0PMl第5页/共33页第六页，共33页。定理如果函数定理如果函数),(yxfz 在点在点),(yxP是可微分是可微分的，那末函数在该点沿任意方向的，那末函数在该点沿任意方向 L L 的方向导数都的方向导数都存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其中其中 为为x轴到方向轴到方向 L L 的转角的转角证明(zhngmng)由于函数(hnsh)可微，则增量可表示为)(),(),( oyyfx
5、xfyxfyyxxf 两边同除以,得到(d do)第6页/共33页第七页，共33页。 )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向(fngxing)导数 lf ),(),(lim0yxfyyxxf .sincos yfxf cossin例例 1 1 求函数求函数yxez2 在点在点)0 , 1(P处沿从点处沿从点 )0 , 1(P到点到点)1, 2( Q的方向的方向导数的方向的方向导数.第7页/共33页第八页，共33页。解这这里里方方向向l即即为为1, 1 PQ,故故x轴到方向轴到方向l的转角的转角4 .; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1(
6、yxeyz所求方向导数所求方向导数 lz)4sin(2)4cos( .22 例例 2 2 求函数求函数22),(yxyxyxf 在点在点（1，1）沿与沿与x轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线l的方向导数的方向导数.并并问在怎样的方向上此方向导问在怎样的方向上此方向导 数有数有 （1）最大值；）最大值； （2）最小值；）最小值； （3）等于零？）等于零？第8页/共33页第九页，共33页。解由方向(fngxing)导数的计算公式知 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf ,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4si
7、n(2 故（1）当）当4 时，时，方方向向导导数数达达到到最最大大值值2;（2）当当45 时时，方方向向导导数数达达到到最最小小值值2 ;（3）当）当43 和和47 时，时，方向导数等于方向导数等于 0.第9页/共33页第十页，共33页。推广可得三元函数方向导数(do sh)的定义对于三元函数对于三元函数),(zyxfu ，它在空间一点，它在空间一点),(zyxP沿着方向沿着方向 L的方向导数的方向导数 ，可定义，可定义为为,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf （ 其中其中222)()()(zyx ）设设方方向向 L 的的方方向向角角为为 ,cos x,cos y,cos z 同
8、理：当函数在此点可微时，那末函数在该点同理：当函数在此点可微时，那末函数在该点沿任意方向沿任意方向 L的方向导数都存在，且有的方向导数都存在，且有.coscoscos zfyfxflf 第10页/共33页第十一页，共33页。例例 3 3 设设n是曲面是曲面632222 zyx 在点在点)1 , 1 , 1(P处的指向外侧的法向量，求函数处的指向外侧的法向量，求函数2122)86(1yxzu 在此处沿方向在此处沿方向n的方向的方向导数导数.解令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故 zyxFFFn , ,2, 6, 4 ,142264
9、222 n方向(fngxing)余弦为,142cos ,143cos .141cos 第11页/共33页第十二页，共33页。PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 故PPzuyuxunu)coscoscos( .711 第12页/共33页第十三页，共33页。二、梯度(t d)的概念?:最快最快沿哪一方向增加的速度沿哪一方向增加的速度函数在点函数在点问题问题P定义定义 设函数设函数),(yxfz 在平面区域在平面区域 D 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点DyxP ),(，都可定出一个向量都可
10、定出一个向量jyfixf ，这向量称为函数，这向量称为函数),(yxfz 在点在点),(yxP的梯度，记为的梯度，记为 ),(yxgradfjyfixf .设设jie sincos 是是方方向向 l上上的的单单位位向向量量，由方向导数公式知由方向导数公式知第13页/共33页第十四页，共33页。sin,cos, yfxf sincosyfxflf eyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf 其中其中),(,eyxgradf 当当1),(cos( eyxgradf时，时，lf 有有最最大大值值. 函数在某点的梯度是这样一个向量，它的函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最
11、大方向导数的方向一致方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为而它的模为方向导数的最大值梯度的模为方向导数的最大值梯度的模为 22| ),(| yfxfyxgradf.gradfgradf P第14页/共33页第十五页，共33页。当当xf 不不为为零零时时，x轴到梯度的转角的正切为轴到梯度的转角的正切为xfyf tan),(yxfz 在几何上 表示一个曲面曲面被平面 所截得cz ,),( czyxfz所得(su d)曲线在xoy面上投影如图oyx1),(cyxf2),(cyxfPcyxf),(),(yxgradf梯度(t d)为等高线上的法向量等高线第15页/共33页第十六页，共33页。等高
12、线的画法(hu f)第16页/共33页第十七页，共33页。例如(lr),图形及其等高线图形图形及其等高线图形函数函数xyzsin 第17页/共33页第十八页，共33页。梯度(t d)与等高线的关系：向导数向导数的方的方于函数在这个法线方向于函数在这个法线方向模等模等高的等高线，而梯度的高的等高线，而梯度的值较值较值较低的等高线指向数值较低的等高线指向数从数从数线的一个方向相同，且线的一个方向相同，且在这点的法在这点的法高线高线的等的等的梯度的方向与点的梯度的方向与点在点在点函数函数cyxfPyxPyxfz ),(),(),(第18页/共33页第十九页，共33页。此时(c sh) f ( x ,
13、 y ) 沿该法线方向的方向导数为2222yxyyyxxxffffffffnf 0 gradf 故应从(yn cn)数值较低的等高线指向数值较高的等高线，梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数，这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。第19页/共33页第二十页，共33页。梯度(t d)的概念可以推广到三元函数 三元函数三元函数),(zyxfu 在空间区域在空间区域 G 内具有内具有一阶连续偏导数，则对于每一点一阶连续偏导数，则对于每一点GzyxP ),(，都可定义一个向量都可定义一个向量(梯度梯度).),(kzfjyfixfzyxgradf 类似于二元函数，此梯度也是一个向量(xingli
14、ng)，其方向与取得最大方向导数的方向一致，其模为方向导数的最大值.第20页/共33页第二十一页，共33页。类似地类似地,设曲面设曲面czyxf ),(为函数为函数),(zyxfu 的等量面，此函数在点的等量面，此函数在点),(zyxP的梯度的方向与的梯度的方向与过点过点 P的等量面的等量面czyxf ),(在这点的法线的一在这点的法线的一个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较个方向相同，且从数值较低的等量面指向数值较高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方高的等量面，而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数向的方向导数.第21页/共33页第二十二页，共33页。例例 4 4 求函数求函
15、数 yxzyxu2332222 在点在点 )2 , 1 , 1 (处的梯度，并问在处的梯度，并问在 哪些点处梯度为零？哪些点处梯度为零？解由梯度(t d)计算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu 在在)0 ,21,23(0 P处梯度为处梯度为 0.第22页/共33页第二十三页，共33页。例5 求函数)(12222byaxz 沿曲线12222 byax在点)2,2(ba处的内法线方向的方向导数解一用方向(fngxing)导数计算公式 即要求出从 x 轴正向沿逆时针转到内法线(f xin)方向的转角在1
16、2222 byax两边(lingbin)对x 求导02222 dxdybyax第23页/共33页第二十四页，共33页。解得yaxbdxdy22 abdxdyM 0（切线(qixin)斜率）故法线斜率为ba tan内法线方向(fngxing)的方向(fngxing)余弦为22cosbab 22cosbaa 而由)(12222byaxz 得222,2byyzaxxz byzaxzMM2,200 第24页/共33页第二十五页，共33页。 coscosyzxzlz )(2()(22222baabbaba )( 2122baab 解二用梯度(t d)梯度是这样一个(y )向量，其方向与取得最大方向导数的
17、方向一致，它的模等于方向导数的最大值, 即梯度是函数在这点增长最快的方向 从等高线的角度(jiod)来看，f ( x , y ) 在点 P 的梯度 第25页/共33页第二十六页，共33页。方向(fngxing)与过点P 的等高线 f ( x , y ) = C 在这点的法线的一个方向(fngxing)相同，且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线)(1),(2222byaxyxfz 等高线为f ( x , y ) = C 即Cbyax 12222212111CCCC 若若椭圆122221Cbyax 222221Cbyax 大于椭圆因此12222 byax在点)2,2(ba处的内法线恰好是梯度方
18、向第26页/共33页第二十七页，共33页。故22)()(|yzxzgradzlz Pbyax424244 )(2122baab 1),(cyxf 2),(cyxf 第27页/共33页第二十八页，共33页。三、小结(xioji)1、方向导数(do sh)的概念（注意方向导数与一般(ybn)所说偏导数的区别）2、梯度的概念（注意梯度是一个向量）3、方向导数与梯度的关系.),(最快的方向最快的方向在这点增长在这点增长梯度的方向就是函数梯度的方向就是函数yxf思考题讨讨论论函函数数22),(yxyxfz 在在)0 , 0(点点处处的的偏偏导导数数是是否否存存在在？方方向向导导数数是是否否存存在在？第2
19、8页/共33页第二十九页，共33页。思考题解答(jid)xfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同理：同理：)0,0(yz yyy |lim0故两个偏导数均不存在故两个偏导数均不存在.沿沿任任意意方方向向,zyxl 的的方方向向导导数数, )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向导导数数均均存存在在且且相相等等.第29页/共33页第三十页，共33页。练 习 题一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数22yxz 在点在点)2 , 1(处沿从点处沿从点)2 ,
20、 1(到点到点 )32 , 2( 的方向的方向导数为的方向的方向导数为_._.2 2、 设设xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 则则 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知场已知场,),(222222czbyaxzyxu 沿沿则则u场的梯度场的梯度方向的方向导数是方向的方向导数是_._.4 4、 称向量场称向量场a为有势场为有势场, ,是指向量是指向量a与某个函数与某个函数 ),(zyxu的梯度有关系的梯度有关系_._.第30页/共33页第三十一页，共33页。三三、 设设vu,都都是是zyx,的的函函数数, ,vu,的的各各偏偏导导数数都都存存在在且且连连
21、续续, ,证证明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在点点),(000zyxM处处沿沿点点的的向向径径0r的的方方向向导导数数, ,问问cba,具具有有什什么么关关系系时时此此方方向向导导数数等等于于梯梯度度的的模模? ?二、求函数二、求函数)(12222byaxz 在点在点)2,2(ba处沿曲线处沿曲线 12222 byax在这点的内法线方向的方向导数在这点的内法线方向的方向导数. .第31页/共33页第三十二页，共33页。一、一、1 1、321 ； 2 2、 kji623； 3 3、graduczbyax 222222)2()2()2(； 4 4、gradua . .二、二、)(2122baab . .四、四、cbazyxzyxuruM ;),(22020200000. .练习题答案第32页/共33页第三十三页，共33页。