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1、2023/3/20南京邮电大学 邱中华1第一节第一节 二次型的基本概念二次型的基本概念定义一、二次型及其矩阵称为一个(n元)二次型.本书只讨论实二次型，即系数全是实数的二次型。第1页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华2于是上述二次型可以写成如下求和形式 第2页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华3第3页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华4记则上述二次型可以用矩阵形式表示为 A称为二次型 的矩阵。第4页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华5A的秩称为该二次型的秩。A称为二次型 的矩阵。A是一个实对称矩阵。事实上，由一个实对称矩阵也可构造唯一的实
2、二次型，也就是说，实二次型与实对称矩阵是互相唯一确定的，所以，研究二次型的性质可以转化为研究它的矩阵A所具有的性质。第5页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华6例1设二次型 求二次型的矩阵A和二次型的秩。解所以r(A)=3，即二次型的秩等于3。第6页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华7例2求二次型 的矩阵A和二次型的秩，解所以二次型 f 的矩阵为第7页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华8二、线性变换二、线性变换在平面解析几何中，为了确定二次方程 所表示的曲线的性态，通常利用转轴公式：第8页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华9定义关系式 记则
3、上述线性变换可以写成矩阵形式：第9页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华10C 称为该线性变换的矩阵。如果C 为正交矩阵，则此线性变换称为正交变换。容易验证，转轴公式是一个正交变换。第10页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华11三、矩阵的合同关系三、矩阵的合同关系 由于C是可逆矩阵，所以A和B秩相等,从而两个二次型的秩相等。第11页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华12定义 与矩阵的相似关系类似，矩阵之间的合同关系也具有以下性质。(1)反身性：(2)对称性：(3)传递性：A AA BB AA BB CA C证明 只证(3)，其余留作练习。第12页/共91
4、页2023/3/20南京邮电大学 邱中华13第二节 二次型的标准形第13页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华14一、二次型的标准形一、二次型的标准形定义下面介绍二次型化为标准形的方法。第14页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华151、用正交变换法化二次型为标准形用正交变换法化二次型为标准形定理 任何二次型都可以通过正交变换化为标准形。而由正交阵性质可知，因此这样的正交 第15页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华16用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：用正交变换化二次型为标准形的具体步骤：第16页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华17例1
5、 用正交变换将二次型 解化为标准形，并求所作的正交变换。二次型的矩阵第17页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华18第18页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华19再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵正交化，第19页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华20于是所求正交变换为标准形为第20页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华21解化为标准形，并求所作的正交变换。二次型的矩阵例2 用正交变换将二次型 第21页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华22第22页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华23第23页/共91页202
6、3/3/20南京邮电大学 邱中华24正交化，第24页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华25第25页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华26再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵所作正交变换为标准形为第26页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华27例3解第27页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华28由题意,这两个矩阵相似,第28页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华29第三节第三节 惯性定理与二次型的规范形惯性定理与二次型的规范形一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来
7、说是不唯一的。但是，标准形中系数不为零的项数是确定的，项数等于二次型的秩 实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二次型所确定，这就是下面的“惯性定理”。第29页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华30定理(惯性定理)p为正惯性指数,正负惯性指数的差 称为二次型的符号差.为负惯性指数,无论用何种可逆线性变换把它化为标准形,其中正的系数个数(称正惯性指数)和负的系数个数(称负惯性指数)唯一确定.证略第30页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华31继续作可逆线性变换，矩阵形式为第31页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华
8、32二次型化为称之为二次型的规范形.定理 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为规范形,且规范形是唯一的.化二次型为规范形时，所作的线性变换不一定是正交变换。第32页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华33定理 任一实对称矩阵 A 与对角阵第33页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华34推论 两个 n 阶实对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩和正惯性指数分别相等。第四节 正定二次型与正定矩阵第34页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华35一一、基本概念、基本概念定义如果二次型的取值有正有负，就称为不定二次型。设 A 为实对称矩阵，对任意非零向量X，第35页/共
9、91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华36二、正定矩阵、正定二次型的判别二、正定矩阵、正定二次型的判别由定义，可得以下结论：充分性是显然的；下面用反证法证必要性：代入二次型，得 第36页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华37 由上述两个结论可知，研究二次型的正定性，只要通过非退化线性变换，将其化为标准形，就容易由以下定理判别其正定性。第37页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华38定理准则1实对称矩阵A正定的充分必要条件是A的特征值全为正。第38页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华39解例1 判别二次型是否正定。二次型对应的矩阵为 第39页/共91
10、页2023/3/20南京邮电大学 邱中华40全为正，因此二次型正定。第40页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华41准则2第41页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华42解例2 判别二次型是否正定。二次型对应的矩阵为 它的顺序主子式为：因此 A是正定的，即二次型 f 正定。第42页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华43解例3 设有实二次型 问 t 取何值时，该二次型为正定二次型？f 的矩阵为 顺序主子式为：解得第43页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华44三、正定矩阵的性质三、正定矩阵的性质1、若 A 为正定矩阵，则 A 的行列式为正，因而可
11、逆。都是正定阵，2、若 A 为正定矩阵,则其中 k 为正整数。这是因为：第44页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华453、若 A 为正定矩阵，则 A 的主对角元全为正。证4、若 A 和 B 为正定矩阵，则 A+B 也为正定矩阵。证 对任意非零向量X，第45页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华465、实对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得 实际上，正定二次型的规范形为即A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E，即存在可逆矩阵P，使第46页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华47证因为于是第47页/共91页2023/3/20南京邮电大学
12、邱中华48类似结论有：第48页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华49 显然，A是负定（半负定）的当且仅当-A是正定（半正定）的。由此，容易得出以下结论：（2）A负定的充分必要条件是A的特征值全负；（3）A半负定的充分必要条件是A的特征值非正；（4）A负定的充分必要条件是A的奇数阶顺序主子式全为负而偶数阶顺序主子式全为正；（1）A半正定的充分必要条件是A的特征值非负；（5）若A负定，则A的对角元全为负。注意:1.最后一条只是必要条件。2.A的顺序主子式全非负，A也未必是半正定的。第49页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华50例4 设矩阵 显然A的顺序主子式但对角元有正
13、有负，显然A是不定的。第50页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华51例5判定下列二次型是否为有定二次型。解(1)f 的矩阵为 顺序主子式 所以 f 是负定的。第51页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华52例5判定下列二次型是否为有定二次型。(2)f 的矩阵为 顺序主子式 所以 f 是不定的。解第52页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华53备用例题备用例题1、解C是正定的。且C是实对称阵，故C是正定矩阵。第53页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华54证必要性：充分性:将上述过程逆推,即可得证.第54页/共91页2023/3/20南京邮电大学
14、 邱中华55四、二次曲面第五节第五节一、曲面方程的概念二、旋转曲面 三、柱面曲面及其方程 第55页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华56一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即说明:动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.引例:显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,不在此平面上的点的坐标不满足此方程.解:设轨迹上的动点为轨迹方程.第56页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华57定义定义1.如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:(1)曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程;则 F(x,y,z)=
15、0 叫做曲面 S 的方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点的几何轨迹时,(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示的几何形状(必要时需作图).第57页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华58故所求方程为例例1.求动点到定点求动点到定点方程.特别,当M0在原点时,球面方程为解:设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹表示上(下)球面.第58页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华59例例2.研究方程研究方程解:配方得此方程表示:说明:如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配
16、方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为 一个球面,或点,或虚轨迹.第59页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华60定义2.一条平面曲线二、旋转曲面二、旋转曲面 绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.例如:第60页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华61建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定 yoz 面上曲线 C:则有则有该点转到第61页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华62思考：思考：当曲线当曲线 C 绕
17、绕 y 轴旋转时，方程如轴旋转时，方程如何？何？第62页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华63例例3.试试建建立立顶顶点点在在原原点点,旋旋转转轴轴为为z 轴轴,半半顶顶角为角为的圆锥面方程.解:在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方第63页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华64例例4.求坐标面求坐标面 xoz 上的双曲线上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为第64页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华65三、柱面三
18、、柱面引例.分析方程表示怎样的曲面.的坐标也满足方程解:在 xoy 面上，表示圆C,沿曲线C平行于 z 轴的一切直线所形成的曲面称为圆故在空间过此点作柱面.对任意 z,平行 z 轴的直线 l,表示圆柱面在圆C上任取一点 其上所有点的坐标都满足此方程,第65页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华66定义定义3.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面.表示抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.z 轴的椭圆柱面.z 轴的平面.表示母线平行于(且 z 轴在平面上)表示母线平行于C 叫做准线,l 叫做母线.第66页/共91页2023/3/20南京邮电
19、大学 邱中华67一般地一般地,在三维空间在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2.母线第67页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华68四、二次曲四、二次曲面面三元二次方程 适当选取直角坐标系可得它们的标准方程,下面仅 就几种常见标准型的特点进行介绍.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法 其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为 0)第68页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华691 1.椭球面椭
20、球面(1)范围：(2)与坐标面的交线：椭圆第69页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华70与的交线为椭圆：(4)当 ab 时为旋转椭球面;同样的截痕及也为椭圆.当abc 时为球面.(3)截痕:为正数)第70页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华712.抛物面抛物面(1)椭圆抛物面(p,q 同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）特别,当 p=q 时为绕 z 轴的旋转抛物面.(p,q 同号)第71页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华723.双曲面双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）平面 上的截痕情况:双曲线:第72页/共91
21、页2023/3/20南京邮电大学 邱中华73虚轴平行于x 轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z 轴;相交直线:双曲线:第73页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华74(2)双叶双曲双叶双曲面面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面的区别:双曲线单叶双曲面双叶双曲面第74页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华754.椭圆锥面椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的两直线.可以证明,椭圆上任一点与原点的连线均在曲面上.(椭圆锥面也可由圆锥面经 x 或 y 方向的伸缩变换得到。)第75页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华76例例8.直线直线绕 z
22、轴旋转一周,求此旋转转曲面的方程.提示:在 L 上任取一点旋转轨迹上任一点,则有得旋转曲面方程第76页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华77化为标准型，并指出 表示何种二次 曲面.例9.求一正交变换，将二次型解对应特征向量为第77页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华78再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵二次型的标准形第78页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华79一、空间曲线的一般方程二、空间曲线的参数方程 三、空间曲线在坐标面上的投影第六节第六节空间曲线及其方程 第79页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华80一、空间曲线的一般方程
23、一、空间曲线的一般方程空间曲线可视为两曲面的交线,其一般方程为方程组例如,方程组表示圆柱面与平面的交线 C.C第80页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华81又如又如,方程组方程组表示上半球面与圆柱面的交线C.第81页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华82二、空间曲线的参数方程二、空间曲线的参数方程将曲线C上的动点坐标x,y,z表示成参数t 的函数:称它为空间曲线的 参数方程.例如,圆柱螺旋线的参数方程为上升高度,称为螺距.第82页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华83例例1.将下列曲线化为参数方程表将下列曲线化为参数方程表示示:解:(1)根据第一方程引
24、入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为第83页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华84例例2.求空间曲线求空间曲线 :绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程.解:点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点 则这就是旋转曲面满足的参数方程.第84页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华85例如例如,直线直线绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 ,得旋转曲面方程为第85页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华86绕 z 轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为 又如又如,xoz 面上的半圆周面上的半圆周说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如第86页/共91页20
25、23/3/20南京邮电大学 邱中华87三、空间曲线在坐标面上的投影三、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程第87页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华88例如例如,在xoy 面上的投影曲线方程为第88页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华89又如又如,所围的立体在 xoy 面上的投影区域为:上半球面和锥面在 xoy 面上的投影曲线二者交线所围圆域:二者交线在xoy 面上的投影曲线所围之域.第89页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华90例例3.求平面曲线绕 z 轴旋转的曲面与平面 的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.解：旋转曲面方程为交线为此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为 此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的第90页/共91页2023/3/20南京邮电大学 邱中华91感谢您的观看。第91页/共91页