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1、知识逻辑关系图二次曲面曲面方程定义曲面交线为空间曲线一般式方程几种常见曲面方程空间曲线投影截痕法空间曲线参数式方程曲面围成的空间区域在坐标面投影二次曲面定义柱面坐标如何表示空间区域球面坐标如何表示空间区域重点：常见曲面方程难点：曲面围成的空间区域在坐标面投影第1页/共62页复习：复习：1、平面一般式方程、平面一般式方程 2、直线方程一般式方程、直线方程一般式方程第2页/共62页求到两定点A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的化简得即引例引例:解解:设轨迹上的动点为轨迹方程.一、二次曲面第3页/共62页定义定义.如果曲面 S 与方程 F(x,y,z)=0 有下述关系:(1)曲面 S 上
2、的任意点的坐标都满足此方程;则 F(x,y,z)=0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程,曲面 S 叫做方程 F(x,y,z)=0 的图形图形.(2)不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程,第4页/共62页故所求方程为 求动点到定点求动点到定点特别,当M0在原点时,球面方程为 设轨迹上动点为即依题意距离为 R 的轨迹表示上(下)球面.（一）球面第5页/共62页例例.研究方程研究方程解解:配方得此方程表示:说明说明:如下形式的三元二次方程(A 0)都可通过配方研究它的图形.其图形可能是的曲面.表示怎样半径为的球面.球心为 一个球面球面,或点点,或虚轨迹虚轨迹.第6页/共62页P(x,y,z)如果定直
3、线为z轴，讨论此柱面的方程？柱面上任取一点P(x,y,z)沿母线与xoy平面交点P(x,y,0)P(x,y,0)P(x,y,0)在准线上，从而柱面上任一点P的坐标均满足方程F(x,y)=0.准线C方程柱面方程：F(x,y)=0定义定义.平行定直线并沿定曲线 C 移动的直线 l 形成的轨迹叫做柱面柱面.C 叫做准线准线,l 叫做母线母线.（二）柱面（二）柱面第7页/共62页一般地一般地,在三维空间在三维空间柱面,柱面,平行于 x 轴;平行于 y 轴;平行于 z 轴;准线 xoz 面上的曲线 l3.母线柱面,准线 xoy 面上的曲线 l1.母线准线 yoz 面上的曲线 l2.母线第8页/共62页例
4、例.分析方程表示怎样的曲面.解解:，表示准线为xoy面的圆C,圆柱面圆柱面.母线平行于z轴第9页/共62页 表示抛物柱面抛物柱面,母线平行于 z 轴;准线为xoy 面上的抛物线.z 轴的平面平面.表示母线平行于(且 z 轴在平面上)第10页/共62页第11页/共62页MM0第12页/共62页定义定义.一条平面曲线（三）旋转曲面（三）旋转曲面 绕其平面上一条定直线定直线旋转一周所形成的曲面叫做旋转曲面旋转曲面.该定直线称为旋转旋转轴轴 .例如例如:第13页/共62页建立建立yoz面上曲线面上曲线C 绕绕 z 轴旋转所成曲面轴旋转所成曲面的的方程方程:故旋转曲面方程为当绕 z 轴旋转时,若点给定
5、yoz 面上曲线 C:则有则有该点转到第14页/共62页思考：思考：当曲线当曲线 C 绕绕 y 轴旋转时，方程如轴旋转时，方程如何？何？第15页/共62页例例1.试试建建立立顶顶点点在在原原点点,旋旋转转轴轴为为z 轴轴,半半顶顶角为角为的圆锥面方程.解解:在yoz面上直线L 的方程为绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为两边平方第16页/共62页例例2.求求 xoz面上的双曲线面上的双曲线分别绕 x轴和 z 轴旋转一周所生成旋转曲面方程.解解:绕 x 轴旋转绕 z 轴旋转叫做单叶旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为叫做双叶旋转双曲面.第17页/共62页例例3 3解解由于高度不变,故所求旋转曲面方
6、程为第18页/共62页第19页/共62页空间曲线的一般方程空间曲线的一般方程1、空间曲线的一般方程空间曲线C可看作空间两曲面的交线.二、空间曲线的一般方程注：表示同一条曲线的方程不唯一。第20页/共62页例例2 2 方程组 表示怎样的曲线？解解表示圆柱面，表示平面，交线为椭圆.例例1 1 柱面 f(x,y)=0的准线方程：第21页/共62页例例3 3 方程组 表示怎样的曲线？解解上半球面,圆柱面,交线如图.第22页/共62页(2)(1)练习第23页/共62页空间曲线的向量函数表示空间曲线的向量函数表示空间曲线的参数方程第24页/共62页螺旋线的参数方程取时间t为参数，解解第25页/共62页例例
7、.将下列曲线化为参数方程表将下列曲线化为参数方程表示示:解解:(1)根据第一方程引入参数,(2)将第二方程变形为故所求为得所求为第26页/共62页例例.求空间曲线求空间曲线 :绕 z 轴旋转时的旋转曲面方程.解解:点 M1绕 z 轴旋转,转过角度 后到点 则这就是旋转曲面满足的参数方程.第27页/共62页例如例如,直线直线绕 z 轴旋转所得旋转曲面方程为 消去 t 和 ,得旋转曲面方程为第28页/共62页绕 z 轴旋转所得旋转曲面(即球面)方程为 又如又如,xoz 面上的半圆面上的半圆周周说明说明:一般曲面的参数方程含两个参数,形如第29页/共62页第30页/共62页三、画二次曲面的截痕法三、
8、画二次曲面的截痕法 三元二次方程 画二次曲面的基本方法:截痕法截痕法 基本类型:椭球面、抛物面、双曲面、锥面的图形通常为二次曲面二次曲面.(二次项系数不全为 0)第31页/共62页例例 方程 的图形是怎样的？根据题意有图形上不封顶，下封底解解最底点（1，2，-1）第32页/共62页1.椭圆锥面椭圆锥面椭圆在平面 x0 或 y0 上的截痕为过原点的直线.第33页/共62页2.椭球面椭球面 椭球面与三个坐标面的交线：图形有界，并且关于坐标面对称。图形有界，并且关于坐标面对称。第34页/共62页椭球面的几种特殊情况：椭球面的几种特殊情况：旋转椭球面旋转椭球面由椭圆 绕 轴旋转而成方程可写为球面球面方
9、程可写为第35页/共62页3.3.单叶双曲面单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x 轴；虚轴平行于z 轴）双曲线:yoz双曲线:3)x第36页/共62页第37页/共62页4.双叶双曲面双叶双曲面双曲线椭圆双曲线第38页/共62页假如将方程中的1换为0，得到椭圆锥面的方程则称双曲面渐近于这个锥面第39页/共62页(1)与平面 的交线为椭圆.（2）用坐标面 与曲面相截截得抛物线截得抛物线,与平面与平面 y=k的交线为抛物线的交线为抛物线xyzo5.椭圆抛物面椭圆抛物面（3）用坐标面 与曲面相截截得抛物线截得抛物线.第40页/共62页zxyoxyzo椭圆抛物面的图形如下：特殊地：当 时，方程变为旋
10、转抛物面旋转抛物面第41页/共62页6.双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）xyzo第42页/共62页第43页/共62页内容小结内容小结1.空间曲面三元方程 球面 旋转曲面如,曲线绕 z 轴的旋转曲面:柱面如,曲面表示母线平行 z 轴的柱面.又如,椭圆柱面,双曲柱面,抛物柱面等.第44页/共62页2.二次曲面二次曲面三元二次方程 椭球面 抛物面:椭圆抛物面双曲抛物面 双曲面:单叶双曲面双叶双曲面 椭圆锥面:第45页/共62页抛物线平面解析几何中空间解析几何中方 程平行于 y 轴的直线 平行于 yoz 面的平面 圆心在(0,0)半径为 3 的圆以 z 轴为中心轴的圆柱面母线平行 y 轴的抛物
11、柱面练习练习指出下列方程的图形:第46页/共62页四、空间曲线在坐标面上的投影四、空间曲线在坐标面上的投影设空间曲线 C 的一般方程为消去 z 得投影柱面则C 在xoy 面上的投影曲线 C为消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲线方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲线方程第47页/共62页例例,在xoy 面上的投影曲线方程为消Z得过曲线C的投影柱面方程为：第48页/共62页如图:投影曲线的研究过程.空间曲线投影曲线投影柱面第49页/共62页五、五、空间立体或曲面在坐标面上的投影空间立体或曲面在坐标面上的投影.空空间间立立体体曲曲面面第50页/共62页所围的立体在 xoy 面上的投影区域:例
12、求上半球面和锥面 xoy 面上的投影曲线解先求二者交线所围圆域:第51页/共62页求下列空间区域在坐标面的投影求下列空间区域在坐标面的投影1)所围立体区域第52页/共62页（2）第53页/共62页3)：z0,x2+y2+z2=R2 ,x2+y2=z2所围。第54页/共62页第55页/共62页(5):由曲面：z=x2+y2,z=4 所围第56页/共62页六、柱面坐标和球面坐标规定：1.柱面坐标第57页/共62页 柱面坐标与直角坐标的关系为如图，三坐标面分别为圆柱面；半平面；平 面第58页/共62页解解知交线为第59页/共62页2、球面坐标球面坐标与直角坐标的关系为如图，规定：第60页/共62页球坐标的三坐标面分别为圆锥面；球 面；半平面解解第61页/共62页感谢您的观看。第62页/共62页