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1、 第三章第三章 二、泰勒中值定理二、泰勒中值定理三、简单的应用三、简单的应用一、问题的提出一、问题的提出第三节第三节机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 泰勒公式泰勒公式一、问题的提出一、问题的提出（如下图）（如下图）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 不足不足:问题问题:1 1、精确度不高；、精确度不高；2 2、误差不能估计、误差不能估计.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 分析分析:2.2.若有相同的切线若有相同的切线3.3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近近似似
2、程程度度越越来来越越好好1.1.若在若在 点相交点相交机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 1.1.求求 n 次近似多项式次近似多项式要求要求:故故机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 令令则则令令2.2.余项估计余项估计(称为余项称为余项),),则有则有机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 阶的导数阶的导数 ,公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的拉格朗日余项拉格朗日余项 .二、泰勒二、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理时时,有有其中其中则当则当泰勒泰勒 目录目录
3、上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 公式公式 称为称为 f(x)的按的按(x-x0)展开的展开的n 阶泰勒公式阶泰勒公式.公式公式 称为称为n 阶泰勒公式的阶泰勒公式的佩亚诺佩亚诺(Peano)余项余项 .注意到注意到*可以证明可以证明:式成立式成立机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 在不需要余项的精确表达式时在不需要余项的精确表达式时 ,泰勒公式可写为泰勒公式可写为(1)(1)当当 n=0 时时,泰勒公式变为泰勒公式变为(2)(2)当当 n=1 时时,泰勒公式变为泰勒公式变为可见可见误差误差机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 特例特例:拉格
4、朗日中值定理拉格朗日中值定理称为称为麦克劳林（麦克劳林（MaclaurinMaclaurin ）公式公式 .则有则有则有误差估计式则有误差估计式若在若在公式成立的区间上公式成立的区间上麦克劳林麦克劳林 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由此得近似公式由此得近似公式在泰勒公式中若取在泰勒公式中若取麦克劳林麦克劳林(MaclaurinMaclaurin)公式公式带拉格朗日余项的带拉格朗日余项的麦克劳林公式麦克劳林公式带佩亚诺余项的带佩亚诺余项的麦克劳林公式麦克劳林公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明：说明：3.则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下
5、页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 三、几个初等函数的麦克劳林公式三、几个初等函数的麦克劳林公式其中其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可得类似可得其中其中机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 其中其中机动 目录 上页 下页 返回 结束 已知已知其中其中类似可得类似可得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 常用的麦克劳林公式（带拉格朗日余项）常用的麦克劳林公式（带拉格朗日余项）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目
6、录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 常用的麦克劳林公式（带佩亚诺余项）常用的麦克劳林公式（带佩亚诺余项）机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 特别地特别地机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、泰勒公式的应用四、泰勒公式的应用1.1.在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差误差MM 为为在包含在包含 0,x 的某区间上的上界的某区间上的上界.需解问题的类型需解问题的类型:1)1)已知已知 x 和误差限和误差限 ,要求
7、确定项数要求确定项数 n;2)2)已知项数已知项数 n 和和 x,计算近似值并估计误差计算近似值并估计误差;3)3)已知项数已知项数 n 和误差限和误差限 ,确定公式中确定公式中 x 的适用范围的适用范围.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解由公式可知由公式可知要使误差不超过要使误差不超过0.000001，必须，必须解得解得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2.2.利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限解解机动机动
8、目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解例例7.7.求求解解:由于由于用洛必塔法则用洛必塔法则不方便不方便!机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 用泰勒公式将分子展到用泰勒公式将分子展到 x2 项，项，3.3.利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例8.8.证明证明证证:机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解1机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解2解解机动机动 目录目录 上页上页
9、 下页下页 返回返回 结束结束 高阶无穷小的运算高阶无穷小的运算机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结1.泰勒公式泰勒公式其中余项其中余项当当时为时为麦克劳林公式麦克劳林公式.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2.2.常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3.泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1)近似计算近似计算(3)其他应用其他应用求极限求极限,证明不等式证明不等式 等等.(2)利用多项式逼近函数利用多项式逼
10、近函数,例如例如 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 习题习题3-3(P143)3,4,5,6作业作业解解机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考题思考题1.1.利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限两边同乘两边同乘 n!=整数整数 +假设假设 e 为有理数为有理数(p,q 为正整数为正整数),),则当则当 时时,等式左边为整数等式左边为整数;矛盾矛盾 !2.2.证明证明 e e 为无理数为无理数 .证证:时时,当当故故 e 为无理数为无理数 .等式右边不可能为整数等式右边不可能为整数.机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 由题设对由题设对证证:有有且且机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3 3、下式减上式下式减上式 ,得得令令机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 播放播放五、小结机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 播放播放机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束