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1、中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式二、几个初等函数的麦克劳林公式二、几个初等函数的麦克劳林公式 第三节一、泰勒公式的建立一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用三、泰勒公式的应用 目的用多项式近似表示函数.泰勒公式 第三三章 中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式一、问题的提出(matlab)中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式问题:不足:1、精确度不高；2、误差不能估计。中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式
2、泰勒公式分析:2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在 点相交中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式三、泰勒(Taylor)中值定理中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式证明:中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高
3、等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式拉格朗日形式的余项佩亚诺形式的余项中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式中国石油大学（
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6、3.3 泰勒公式泰勒公式符号逻辑的先驱和公理化方法的推行人符号逻辑的先驱和公理化方法的推行人撰写撰写数学百科全书数学百科全书国际语的创立者国际语的创立者佩亚诺佩亚诺 (1858 1932)意大利数学家,重要著作有:几何原理的逻辑表述(1898)创建了数学杂志 （1891）无穷小分析教程（1893）中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式解：代入公式,得例例1 1 求求 的的 n阶阶麦克麦克劳劳林公式林公式中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式 常用函数的麦克劳林公式回忆:欧拉公式中国石油大学（北京）中
7、国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式1.在近似计算中的应用在近似计算中的应用 误差M 为在包含 0,x 的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知 x 和误差限,要求确定项数 n;2)已知项数 n 和 x,计算近似值并估计误差;3)已知项数 n 和误差限,确定公式中 x 的适用范围.四、泰勒公式的应用中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式例例2.计算无理数 e 的近似值,使误差不超过解解:已知令 x=1,得由于欲使由计算可知当 n=9 时上式成立,因此的麦克劳林公式为中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等
8、数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式说明说明:注意舍入误差对计算结果的影响.本例若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过总误差限为这时得到的近似值不能保证不能保证误差不超过因此计算时中间结果应比精度要求多取一位.中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式例例3.用近似公式计算 cos x 的近似值,使其精确到 0.005,试确定 x 的适用范围.解解:近似公式的误差令解得即当时,由给定的近似公式计算的结果能准确到 0.005.中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式2.利用泰勒公式求极限
9、利用泰勒公式求极限例例4.求解解:由于用洛必达法则不方便!用泰勒公式将分子展到项,中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式3.利用泰勒公式证明不等式利用泰勒公式证明不等式例例5.证明证证:+中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式2022/12/19434.利用泰勒公式建立一维波动方程利用泰勒公式建立一维波动方程中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动。均匀柔软的细弦，在平衡位置附近产生振幅极小的横振动。中国
10、石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式确定确定弦的弦的运动运动方程方程 (2)(2)被研究的物理量遵循哪些物被研究的物理量遵循哪些物理定理？理定理？牛顿第二定律牛顿第二定律.(3)(3)按物理定律写出数学物理按物理定律写出数学物理方程（即建立泛定方程）方程（即建立泛定方程）(1)要研究的物理量是什么？要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移弦沿垂直方向的位移 一根柔软均匀张紧的细弦，求它在平衡位置附近作微小的一根柔软均匀张紧的细弦，求它在平衡位置附近作微小的横向振动的规律。横向振动的规律。假设这运动发生在同一平面内且与方向垂直于平衡位置，假设这运动发
11、生在同一平面内且与方向垂直于平衡位置，求弦的振动规律。求弦的振动规律。中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式弦的特点：匀、细、软、紧的一根弹性细线。弦的特点：匀、细、软、紧的一根弹性细线。振动特性：微小的、横向振动：振动的幅度很小，弦在振动特性：微小的、横向振动：振动的幅度很小，弦在任意位置处切线的倾斜角很小。任意位置处切线的倾斜角很小。考虑一根拉紧的长为考虑一根拉紧的长为 的弦，线密度为的弦，线密度为 ,以弦的平衡位以弦的平衡位置所在直线为置所在直线为 轴，并以弦的左端点为坐标原点。求它轴，并以弦的左端点为坐标原点。求它在平衡位置附近作微小的横
12、向振动的规律。在平衡位置附近作微小的横向振动的规律。遵循牛顿第二定律：遵循牛顿第二定律：作用在物体上的力作用在物体上的力=该物体的质量该物体的质量该物体的加速度该物体的加速度中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式取弦的平衡位置为取弦的平衡位置为 轴，运动平面为轴，运动平面为在时刻在时刻 ，弦在点，弦在点 的位移为的位移为 上图中上图中 的放大图示的放大图示中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式由微小振动的假设知倾斜角很小，从而：1.弧段在振动过程中长度近似不变由牛顿第二定律有：横向：纵向：中国石油大
13、学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式其中：两端除以dx,令 ,中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式一维波动方程令：-非齐次方程非齐次方程自由项-齐次方程齐次方程忽略重力作用：中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式注意：注意：物理问题涉及的因素较多，往往还需要引物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化入适当假设才能使方程简化 数学物理方程必须反映弦上任一位置上的数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能垂直
14、位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点作为考察点中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式内容小结内容小结1.泰勒公式泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式麦克劳林公式.中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式2.常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式(P142 P144)3.泰勒公式的应用泰勒公式的应用(1)近似计算(3)其他应用求极限,证明不等式 等.(2)利用多项式逼近函数 中国石油大学（北京）中国石油大学（北京）高等数学高等数学3.33.3 泰勒公式泰勒公式两边同乘 n!=整数+假设 e 为有理数(p,q 为正整数),则当 时,等式左边为整数;矛盾!思考题：证明 e 为无理数.证证:时,当故 e 为无理数.等式右边不可能为整数.