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1、上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、问题的提出1 1. .设设)(xf在在0 x处处连连续续, ,则则有有2 2. .设设)(xf在在0 x处处可可导导, ,则则有有例例如如, , 当当x很很小小时时, , xex 1 , , xx )1ln( )()(0 xfxf )()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下图）（如下图）)()(0 xfxf )()()(000 xxxfxfxf 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返
2、回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回如如此此下下去去, ,经经过过)1( n次次后后, ,得得 0)(1()()()(1()(0101011 nnnnnxnxRRxnR !1)()()()1(10 nRxxxRnnnn ( (之之间间与与在在nx 0, ,也也在在0 x与与x之之间间) )()(1()(1021022之之间间与与在在 xxnnRnn 两函数两函数)(xRn 及及nxxn)(1(0 在以在以0 x及及1 为端点为端点的区间上满足柯西中值定理的条件的区间上满足柯西中值定
3、理的条件, ,得得上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 nkkknxxkxfxP000)()(!)()(称为称为)(xf按按)(0 xx 的幂展开的的幂展开的 n n 次近似多项式次近似多项式 nknkkxRxxkxfxf000)()()(!)()(称称为为)(xf按按)(0 xx 的的幂幂展展开开的的 n n 阶阶泰泰勒勒公公式式 )()(!1)()(010)1(之之间间与与在在xxxxnfxRnnn 则则由由上上式式得得, 0)()1( xPnn)()()1()1(xfxRnnn 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项 1010)1
4、()(!1)(!1)()( nnnnxxnMxxnfxR )()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )()(!1)()(010)1(之之间间与与在在xxxxnfxRnnn 皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项0)()(lim00 nnxxxxxR及及.)()(0nnxxoxR 即即上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回注意注意: :1 1. . 当当0 n时时, ,泰泰勒勒公公式式变变成成拉拉氏氏中中值值公公式式 )()()()(000之之间间与与在在xxxxfxfxf 2 2. .取取00 x, , 在在0与与x之之间间, ,令令)10( x 则则余余项项 1)1(
5、)!1()()( nnnxnxfxR 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回)(!)0(! 2)0()0()0()()(2nnnxOxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回四、简单的应用例例 1 1 求求xexf )(的的n阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式. .解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注注意意到到代入公
6、式代入公式,得得).10()!1(! 2112 nxnxxnenxxxe上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回由公式可知由公式可知! 212nxxxenx 估计误差估计误差)0( x设设!1! 2111, 1nex 取取.)!1(3 n其误差其误差)!1( neRn).10()!1()!1()(11 nxnxnxnexnexR上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回例例 2 2 计计算算 403cos2lim2xxexx . .解解)(! 2114422xoxxex )(! 4! 2
7、1cos542xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 4440)(127limxxoxx 原式原式.127 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回xy xysin 播放播放五、小结1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回播放播放2 2. .T Ta ay yl lo or r 公公式式的的数数学学思思想想- - - -局局部部逼逼近近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思考题思考题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限30)1(sin
8、limxxxxexx 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回思思考考题题解解答答)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 30)1(sinlimxxxxexx3333320)1()(! 3)(! 3! 21limxxxxoxxxoxxxx 33330)(! 3! 2limxxoxxx .31 上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一一、当当10 x时时，求求函函数数xxf1)( 的的n阶阶泰泰勒勒公公式式 . . 二二、求求函函数数xxexf )(的的n阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式 . . 三三、验验证证210 x时时，按按公公式式62132x
9、xxex 计计算算xe的的近近似似值值，可可产产生生的的误误差差小小于于 0 0. .0 01 1，并并求求e的的近近似似值值，使使误误差差小小于于 0 0. .0 01 1 . . 四四、应应用用三三阶阶泰泰勒勒公公式式求求330的的近近似似值值，并并估估计计误误差差. . 五、五、 利用泰勒公式求极限：利用泰勒公式求极限：1 1、xexxx420sincoslim2 ；2 2、)11ln(lim2xxxx . .练练 习习 题题上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回一、一、)1()1()1(112nxxxx )1 , 0()1(1)1()1(211 nnnxx. .二、二、)!1
10、(! 232 nxxxxxenx )10(,)1()!1(11 nxxexnn. .三、三、645. 1 e. .四、四、5331088. 1,10724. 330 R. .五、五、1 1、121. 2. 2、21. .练习题答案练习题答案上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回xy xysin 五、小结1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回xy xysin ! 33xxy o五、小结1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用
11、; ;上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 五、小结1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o五、小结1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o五、小
12、结1 1. .T Ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2. .T Ta ay yl lo or r 公公式式的的数数学学思思想想- - - -局局部部逼逼近近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2. .T Ta ay yl lo or r 公公式式的的数数学学思思想想- - - -局局部部逼逼近近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2. .T Ta ay yl lo or r 公公式式的的数数学学思思想想- - - -局局部部逼逼近近. .上页上页下页
13、下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2. .T Ta ay yl lo or r 公公式式的的数数学学思思想想- - - -局局部部逼逼近近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2. .T Ta ay yl lo or r 公公式式的的数数学学思思想想- - - -局局部部逼逼近近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2. .T Ta ay yl lo or r 公公式式的的数数学学思思想想- - - -局局部部逼逼近近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2. .T Ta ay yl lo or r 公公式式的的数数学学思思想想
14、- - - -局局部部逼逼近近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2. .T Ta ay yl lo or r 公公式式的的数数学学思思想想- - - -局局部部逼逼近近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2. .T Ta ay yl lo or r 公公式式的的数数学学思思想想- - - -局局部部逼逼近近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2. .T Ta ay yl lo or r 公公式式的的数数学学思思想想- - - -局局部部逼逼近近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2. .T Ta ay y
15、l lo or r 公公式式的的数数学学思思想想- - - -局局部部逼逼近近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2. .T Ta ay yl lo or r 公公式式的的数数学学思思想想- - - -局局部部逼逼近近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2. .T Ta ay yl lo or r 公公式式的的数数学学思思想想- - - -局局部部逼逼近近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2. .T Ta ay yl lo or r 公公式式的的数数学学思思想想- - - -局局部部逼逼近近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2. .T Ta ay yl lo or r 公公式式的的数数学学思思想想- - - -局局部部逼逼近近. .上页上页下页下页返回返回上页上页下页下页返回返回2 2. .T Ta ay yl lo or r 公公式式的的数数学学思思想想- - - -局局部部逼逼近近. .