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1、2.1.2求曲线方程2021/8/8 星期日1 一般地，在直角直角坐标系中，如果某曲一般地，在直角直角坐标系中，如果某曲线线C上的点与一个二元方程上的点与一个二元方程 f(x，y)=0的实数的实数解建立了如下的关系：解建立了如下的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程）曲线上的点的坐标都是这个方程 的解；的解；（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.曲线曲线C上的点的坐标构成集合为上的点的坐标构成集合为A二元方程二元方程 f(x，y)=0的解集为的解集为B那么这个方程叫做曲线的方程；那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线（图形）。这条
2、曲线叫做方程的曲线（图形）。2021/8/8 星期日2例例1：设设A、B两点的坐标是两点的坐标是（-1，-1）、（3，7），求求线线段段AB的的垂垂直平分线的方程直平分线的方程.整理得，整理得，x+2y-7=0 由此可知，垂直平分线上每一点的坐标由此可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程都是方程的解的解 解解：（1）设设M（x,y）是是线线段段AB的垂直平分线上任意一点的垂直平分线上任意一点则则MA=MB设点的坐标设点的坐标化简整理化简整理坐标代换坐标代换列出几何关系列出几何关系即即2021/8/8 星期日3即即x1+2y1-7=0,x1=7-2y1点点M1到到A、B的距离分别是的距离分别是M
3、1A=（2）设点）设点M1的坐标的坐标(x1,y1)是方程是方程的解的解证明结论证明结论M1A=M1B,即点即点M1在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.由（由（1）（）（2）可知，方程）可知，方程是线段是线段AB的垂直平分线的方程的垂直平分线的方程.2021/8/8 星期日4点点M的轨迹就是与坐标轴的的轨迹就是与坐标轴的距离的积等于常数距离的积等于常数k的点的集合：的点的集合：P=MMRMQ=k,(其其中中Q、R分分别别是是点点M到到x轴、轴、y轴的垂线的垂足）轴的垂线的垂足）因因为为点点M到到x轴轴、y轴轴的的距距离离分分别别是是它它的的纵纵坐坐标标和和横坐标的绝对值，横坐标的绝对
4、值，xy=k,即即xy=k例例2点点M与与互互相相垂垂直直的的直直线线的的距距离离的的积是常数积是常数k(k0)，求点，求点M的轨迹的轨迹.解解：取取已已知知两两条条互互相相垂垂直直的的直直线线为为坐坐标标轴轴，建建立立直直角坐标系角坐标系.建立适当的坐标系，建立适当的坐标系，设点的坐标设点的坐标设点设点M的坐标为的坐标为(x,y)，化简整理化简整理坐标代换坐标代换列出几何关系列出几何关系2021/8/8 星期日5(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程的解；的解；由（由（1）、（）、（2）可知，方程）可知，方程是所求轨迹的方程是所求轨迹的
5、方程.（2）设点）设点M1的坐标的坐标(x1,y1)是方程是方程的解，那么的解，那么x1y1=k,即即x1y1=k.而而x1、y1正正是是点点M1到到纵纵轴轴、横横轴轴的的距距离离，因因此此点点M1到到这这两两条条直直线线的的距距离离的的积积是是常常数数k，点点M1是是曲曲线线上上的的点点.证明结论证明结论2021/8/8 星期日61）建建立立适适当当的的坐坐标标系系，用用有有序序实实数数对对例例如如（x,y）表示曲线上任意一点）表示曲线上任意一点M的坐标；的坐标；2）写出适合条件）写出适合条件P的点的点M的集合：的集合：P=MP(M);3）用坐标表示条件）用坐标表示条件P（M），列出方程），
6、列出方程f(x,y)=0;4）化方程）化方程f(x,y)=0为最简形式；为最简形式；5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点线上的点.小小结结:求求曲曲线线（图图形形）的的方方程程，一一般般有有下下面几个步骤：面几个步骤：（二）列式换标（二）列式换标（一）建系设标（一）建系设标（四）特殊说明（四）特殊说明（三）化简整理（三）化简整理2021/8/8 星期日7例例定长为的线段，其两端点定长为的线段，其两端点分别在轴和轴上滑动，求该线段中分别在轴和轴上滑动，求该线段中点所形成的曲线方程点所形成的曲线方程（二）列式换标（二）列式换标（一）建系设标（一
7、）建系设标（三）化简整理（三）化简整理（四）特殊说明（四）特殊说明2021/8/8 星期日8【练习】：【练习】：1、已知线段、已知线段AB的长为的长为10，动点，动点P到到A、B的距离的平方和为的距离的平方和为122，求动点，求动点P的轨迹的轨迹方程。方程。2021/8/8 星期日9例例4 已知一条曲已知一条曲线线在在x轴轴的上方，它上面的每一的上方，它上面的每一点到点点到点A（0，2）的距离减去它到）的距离减去它到x轴轴的距离的差的距离的差都是都是2，求，求这这条曲条曲线线的方程的方程.解：解：设设点点M（x,y）是曲）是曲线线上任意一点，上任意一点，MBx轴轴，垂足，垂足是是B（图图731
8、），那么点），那么点M属于集合属于集合由距离公式，点由距离公式，点M适合的条件可表示适合的条件可表示为为：将将式移式移项项后再两后再两边边平方，得平方，得x2+(y2)2=(y+2)2,化化简简得：得：因因为为曲曲线线在在x轴轴的上方，所以的上方，所以y0,虽虽然原点然原点O的坐的坐标标（0，0）是）是这这个方程的解，但不属于已知曲个方程的解，但不属于已知曲线线，所以曲，所以曲线线的方程是的方程是 (x0),它的它的图图形是关于形是关于y轴对轴对称的抛物称的抛物线线，但不包括抛物，但不包括抛物线线的的顶顶点，如点，如图图731中所示中所示.2021/8/8 星期日102021/8/8 星期日11