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1、2.1.1曲线与方程曲线与方程2021/8/8 星期日1解析几何在平面上建立直角坐标系：解析几何在平面上建立直角坐标系：点P曲线Cf（x，y）=0曲线C划分的区域f（x，y）0）对应对应这些对应关系沟通了几何与代数，使我们可以借这些对应关系沟通了几何与代数，使我们可以借助代数方法研究几何问题，也可以借助图形研究助代数方法研究几何问题，也可以借助图形研究代数问题，而联系两者的有力工具是坐标法。代数问题，而联系两者的有力工具是坐标法。（x，y）xy02021/8/8 星期日2曲线与方程对应包含两方面：曲线与方程对应包含两方面：（）曲线上点的坐标都是方程的解（）曲线上点的坐标都是方程的解（）以这个方
2、程解为坐标的点都是曲线上的点（）以这个方程解为坐标的点都是曲线上的点试证以（试证以（a，b）为圆心，）为圆心，r为半径的圆的方程为为半径的圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2证明：证明：（）如点（）如点（x0，y0）在圆上，则点（）在圆上，则点（x0，y0）到（到（a，b）的距离为）的距离为r，则坐标满足方程，则坐标满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2（）如（）如（x0，y0）满足方程）满足方程(x-a)2+(y-b)2=r2，则，则以（以（x0，y0）为坐标的点）为坐标的点M到（到（a，b）的距离为）的距离为r，满足圆的，满足圆的定义，从而点定义，从而点M（x0，y0）在圆上。从而
3、得证。）在圆上。从而得证。称这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。称这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。例：证明与两条坐标轴距离的积是常数例：证明与两条坐标轴距离的积是常数k（k0）的点的）的点的轨迹是轨迹是xyk。2021/8/8 星期日3解析几何主要研究的问题：解析几何主要研究的问题：（）根据已知条件，求出表示曲线的方程）根据已知条件，求出表示曲线的方程（）通过曲线的方程，研究曲线的性质。（）通过曲线的方程，研究曲线的性质。下面主要探讨求曲线的方程下面主要探讨求曲线的方程：一、直接法：求轨迹方程最基本的方法，直接通过建立一、直接法：求轨迹方程最基本的方法，直接通过建立
4、x，y之间的关系，构成（之间的关系，构成（x，y）即可。）即可。例：设，两点坐标为（，），例：设，两点坐标为（，），（，）求线段垂直平分线方程。（，）求线段垂直平分线方程。2021/8/8 星期日4(1)由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程由求方程的过程可知，曲线上的点的坐标都是方程的解；的解；由（由（1）、（）、（2）可知，方程）可知，方程是所求轨迹的方程是所求轨迹的方程.（2）设点）设点M1的坐标的坐标(x1,y1)是方程是方程的解，那么的解，那么x1y1=k,即即x1y1=k.而而x1、y1正正是是点点M1到到纵纵轴轴、横横轴轴的的距距离离，因因此此点点M1到到这这两两条条直直线
5、线的的距距离离的的积积是是常常数数k，点点M1是是曲曲线线上上的的点点.证明结论证明结论2021/8/8 星期日5归纳求曲线方程一般步骤：归纳求曲线方程一般步骤：（）“建系取点建系取点”，由已知几何问题，建立适当的平面，由已知几何问题，建立适当的平面直角坐标系，用（直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任意一点的坐标。）表示曲线上任意一点的坐标。（）条件列式：据几何条件写出满足题设的点集合（）条件列式：据几何条件写出满足题设的点集合（）代换：将点的坐标带入几何条件（），列出（）代换：将点的坐标带入几何条件（），列出方程方程f（x，y）（）化简方程：尽可能通过同解变形化简上述方程。（）化简方程：尽可
6、能通过同解变形化简上述方程。（）查漏补缺：验证方程所表示的曲线是否所求动点（）查漏补缺：验证方程所表示的曲线是否所求动点的轨迹。的轨迹。一般地，由于化简方程是同解变形，上述步骤（）一般地，由于化简方程是同解变形，上述步骤（）可省略不写。可省略不写。2021/8/8 星期日6下面继续探讨求曲线的方程下面继续探讨求曲线的方程：二、定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线二、定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程。的定义，则可用曲线定义写出方程。例：若动点到定点（，）的例：若动点到定点（，）的距离与到定直线距离与到定直线y距离距离的比为定值，求动点的的比为
7、定值，求动点的轨迹方程。轨迹方程。2021/8/8 星期日7下面继续探讨求曲线的方程下面继续探讨求曲线的方程：三、代入法：又称相关点法三、代入法：又称相关点法,其特点是：动点其特点是：动点M（x，y）的坐标取决于已知曲线的坐标取决于已知曲线C上的点（上的点（x0，y0）的坐标，可先）的坐标，可先用用x，y表示表示x0，y0，再带入曲线再带入曲线C的方程，即得点的方程，即得点M的轨迹的轨迹方程。方程。例例3：若：若 ABC的两个顶点的两个顶点B，C的坐的坐 标标 分别是（分别是（-1，0）和（）和（2，0），顶点），顶点A在直线在直线y=x上移动，求上移动，求 ABC重心重心G的轨迹方程。的轨迹
8、方程。2021/8/8 星期日8下面继续探讨求曲线的方程下面继续探讨求曲线的方程：四、参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标四、参数法：选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标x，y，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程。，得出轨迹的参数方程，消去参数，即得其普通方程。例例4：已知点：已知点C的坐标是（的坐标是（2，2），过点），过点C的直线的直线CA与与x轴交于点轴交于点A，过点，过点C且与直且与直线线CA垂直的直线与垂直的直线与y轴交于点轴交于点B，设点，设点M是线段是线段AB的中点，求点的中点，求点M的轨迹方程。的轨迹方程。yx0CABM归纳：选参数时必须首先考虑到制归纳：
9、选参数时必须首先考虑到制约动点的各种因素，然后再选取合约动点的各种因素，然后再选取合适的参数，常见的参数有角度、直适的参数，常见的参数有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等。线的斜率、点的坐标、线段长度等。2021/8/8 星期日9小小结：1.理解曲线的方程与方程的曲线的对应关理解曲线的方程与方程的曲线的对应关系包含的两方面。系包含的两方面。2.掌握求曲线方程的一般步骤：掌握求曲线方程的一般步骤：建系取点建系取点 条件列式条件列式 代换代换化简方化简方程程 查漏补缺查漏补缺3.求轨迹方程的常见方法：求轨迹方程的常见方法：直接法直接法 定义法定义法代入法代入法参数法。参数法。2021/8/8 星期日102021/8/8 星期日11