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1、命题及其关系命题及其关系1.1.1 命题2021/8/8 星期日1思考思考下列语句的表述形式有什么特点下列语句的表述形式有什么特点?你能判断你能判断它们的真假吗它们的真假吗?l（1）125;l（2）3是是12的约数的约数;l（3）0.5是整数是整数;l（4）对顶角相等）对顶角相等;l（5）3 能被能被2整除整除;l（6）若）若x2=1,则则x=1.语句都是陈述句，语句都是陈述句，并且可以判断真假。并且可以判断真假。2021/8/8 星期日2命题的概念命题的概念l用语言、符号或式子表达的，可以用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。判断真假的陈述句叫做命题。l判断为真的语句叫做真
2、命题。判断为真的语句叫做真命题。l判断为假的语句叫做假命题。判断为假的语句叫做假命题。（1）125;（2）3是是12的约数的约数;（3）0.5是整数是整数;（4）对顶角相等）对顶角相等;（5）3 能被能被2整除整除;（6）若）若x2=1,则则x=1.2021/8/8 星期日3用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。如何判断一个语句是不是命题？叫做命题。如何判断一个语句是不是命题？判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否判断一个语句是不是命题，关键看这语句是否符合符合“是陈述句是陈述句”和和“可以判断真假可以判断真假”这两个这两个条件
3、。条件。有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，有些语句中含有变量，在不给定变量的值之前，我们无法确定这语句的真假，这样的语句叫我们无法确定这语句的真假，这样的语句叫开开语句语句，以后会专门研究。，以后会专门研究。1)7是23的约数吗?疑问句疑问句2)X5.3)-2a3。6)x4。看看下列语句是不是命题？看看下列语句是不是命题？不是（疑问句）不是（疑问句）不是（疑问句）不是（疑问句）不是（感叹句）不是（感叹句）是（否定陈述句）是（否定陈述句）是（肯定陈述句）是（肯定陈述句）不是（开语句）不是（开语句）2021/8/8 星期日5“若若p则则q”形式的命题形式的命题 命题命题“若整数若整数a是素
4、数，则是素数，则a是奇数。是奇数。”具具有有“若若p则则q”的形式。的形式。qpl通常通常,我们把这种形式的命题中的我们把这种形式的命题中的p叫做命题的叫做命题的条条件件,q叫做命题的叫做命题的结论结论。l“若若p则则q”形式的命题是命题的一种形式而不是形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式唯一的形式,也可写成也可写成“如果如果p,那么那么q”“只要只要p,就有就有q”等形式。等形式。l其中其中p和和q可以是命题也可以不是命题可以是命题也可以不是命题.l“若若p则则q”形式的命题的优点是条件与结论容易形式的命题的优点是条件与结论容易辨别辨别,缺点是太格式化且不灵活缺点是太格式化且不灵活.2
5、021/8/8 星期日6“若若p p则则q”q”形式的命题的书写形式的命题的书写l了解命题表示的判断了解命题表示的判断,明确与判断有关的条件与明确与判断有关的条件与结论。结论。l对于一些条件与结论不明显的命题对于一些条件与结论不明显的命题,一般采取先一般采取先添补一些命题中省略的词句添补一些命题中省略的词句,确定条件与结论。确定条件与结论。l如命题如命题:a0a0时时,函数函数y=ax+by=ax+b的值随的值随x x的增加而增加的增加而增加.l写成写成“若若p p则则q”q”的形式为：的形式为：a0 a0时时,若若x x增加增加,则函数则函数y=ax+by=ax+b的值随之增加的值随之增加.
6、或或:当当x x增加时增加时,若若a0,a0,则函数则函数y=ax+by=ax+b的值也增加的值也增加.2021/8/8 星期日7例例 指出下列命题中的条件指出下列命题中的条件p和结论和结论q：1)若整数若整数a能被能被2整除，则整除，则a是偶数；是偶数；2)菱形的对角线互相垂直且平分。菱形的对角线互相垂直且平分。解：1)条件p：整数a能被2整除，结论q：整数a 是偶数。2)写成若p，则q 的形式：若四边形是菱形，则它的对角线互相垂直且平分。条件p：四边形是菱形，结论q：四边形的对角线互相垂直且平分。2021/8/8 星期日8把下列命题改写成把下列命题改写成“若若p p则则q”q”的形式的形式
7、,并判定真假。并判定真假。(1)(1)负数的平方是正数负数的平方是正数.(2)(2)正方形的四条边相等正方形的四条边相等.(3)(3)相切两圆的连心线经过切点相切两圆的连心线经过切点.(4)(4)面积相等的两个三角形全等面积相等的两个三角形全等.(5)(5)等边三角形的三个内角相等等边三角形的三个内角相等.真命题真命题真命题真命题真命题真命题假命题假命题真命题真命题2021/8/8 星期日9练习lP4 2.3.小结小结 这节课主要是学习了什么样的语句是命题，以及把命题进行改写，以便容易找到命题的条件和结论。作业 P8 A 12021/8/8 星期日10命题及其关系命题及其关系1.1.2 四种命
8、题2021/8/8 星期日11下列四个命题中，命题下列四个命题中，命题(1)与命题与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么的条件和结论之间分别有什么关系？关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；2.若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；3.若若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；不是周期函数；4.若若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数。不是正弦函数。2021/8/8 星期日12观察命题观察命题(1)与命题与命题(2)的条件和结论之间的条件和结论之间分别有什么
9、关系？分别有什么关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；2.若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；互逆命题互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另：一个命题的条件和结论分别是另 一个命题的结论和条件，这两个一个命题的结论和条件，这两个 命题叫做互逆命题。命题叫做互逆命题。原原 命命 题题：其中一个命题叫做原命题。：其中一个命题叫做原命题。逆逆 命命 题题：另一个命题叫做原命题的逆命题。：另一个命题叫做原命题的逆命题。pqqp即即 原命题原命题:若若p,则则q逆命题逆命题:若若q,则则p2021/8/8 星期日13观察命题
10、观察命题(1)与命题与命题(3)的条件和结论之间的条件和结论之间分别有什么关系？分别有什么关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；3.若若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数不是周期函数.pqp 原命题原命题:若若p,则则qq 为书写简便,常把条件p的否定和结论q的否定分别记作“p”“q”否命题否命题:若若p,则则q互否命题互否命题 原命题原命题 (原命题的原命题的)否命题否命题2021/8/8 星期日14观察命题观察命题(1)与命题与命题(4)的条件和结论之间的条件和结论之间分别有什么关系？分别有什么关系？1.若若f(x)是正
11、弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；4.若若f(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(x)不是正弦函数不是正弦函数.pqq 原命题原命题:若若p,则则qp逆否命题逆否命题:若若q,则则p 互为逆否命题互为逆否命题 原命题原命题 (原命题的原命题的)逆否命题逆否命题2021/8/8 星期日15原命题原命题,逆命题逆命题,否命题否命题,逆否命题逆否命题四种命题形式四种命题形式:l原命题原命题:l逆命题逆命题:l否命题否命题:l逆否命题逆否命题:若若 p,p,则则 q q 若若 q q,则则 p p若若p p,则则q q若若q,q,则则p p2021/8/8 星期日16判断正误
12、判断正误,并说明理由并说明理由:(1)(1)若原命题是若原命题是“对顶角相等对顶角相等”,”,它的否命题是它的否命题是“对顶角不相等对顶角不相等”。(2)(2)若原命题是若原命题是“对顶角相等对顶角相等”,”,它的否命题是它的否命题是“不成对顶关系的不成对顶关系的 两个角不相等两个角不相等”。2021/8/8 星期日17否命题与命题的否定否命题与命题的否定l否命题是用否定条件也否定结论的方式否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。构成新命题。l命题的否定是逻辑联结词命题的否定是逻辑联结词“非非”作用于作用于判断判断,只否定结论不否定条件。只否定结论不否定条件。l对于原命题对于原命题:若若
13、 p,p,则则 q q 有有 否命题否命题:若若p,p,则则q q 。命题的否定命题的否定:若若 p p，则则q q 。2021/8/8 星期日18例例 设原命题是设原命题是“当当c 0 时，若时，若a b，则，则ac bc”，写出，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假：解：解：逆命题：当逆命题：当c 0 时，若时，若ac bc，则，则a b 逆命题为真逆命题为真否命题：当否命题：当c 0 时，若时，若a b，则，则ac bc 否命题为真否命题为真逆否命题：当逆否命题：当c 0 时，若时，若ac bc，则，则a b 逆否命题
14、为真逆否命题为真2021/8/8 星期日19原结论原结论 反设词反设词 原结论原结论 反设词反设词 是是 至少有一个至少有一个 都是都是 至多有一个至多有一个 大于大于 至少有至少有n n个个 小于小于 至多有至多有n n个个 对所有对所有x,x,成立成立对任何对任何x x，不成立不成立 准准确确地地作作出出反反设设(即即否否定定结结论论)是是非非常常重重要要的的，下面是一些常见的结论的否定形式下面是一些常见的结论的否定形式.不是不是不都是不都是不大于不大于大于或等于大于或等于一个也没有一个也没有至少有两个至少有两个至多有（至多有（n-1)个个至少有（至少有（n+1)个个存在某存在某x，不成立
15、不成立存在某存在某x，成立成立2021/8/8 星期日20命题及其关系命题及其关系l小结小结 这节课主要是学习了一个命题的逆这节课主要是学习了一个命题的逆命题、否命题、逆否命题。并且进行命题、否命题、逆否命题。并且进行一个命题的改写成其它三种命题。在一个命题的改写成其它三种命题。在改写过程中，一定要注意命题的条件改写过程中，一定要注意命题的条件和结论是什么。和结论是什么。作业作业 P 8 A 22021/8/8 星期日21命题及其关系命题及其关系1.1.3 四种命题间的相互关系2021/8/8 星期日22回顾回顾l交交换换原原命命题题的的条条件件和和结结论论，所所得得的的命命题题是是_ l同同
16、时时否否定定原原命命题题的的条条件件和和结结论论，所所得得的的命命题是题是_ l交交换换原原命命题题的的条条件件和和结结论论，并并且且同同时时否否定定，所得的命题是所得的命题是_ 逆命题。逆命题。否命题。否命题。逆否命题。逆否命题。2021/8/8 星期日23原命题原命题,逆命题逆命题,否命题否命题,逆否命题逆否命题四种命题形式四种命题形式:l 原命题原命题:l 逆命题逆命题:l 否命题否命题:l逆否命题逆否命题:若若 p,p,则则 q q 若若 q q,则则 p p若若p p,则则q q若若q,q,则则p p2021/8/8 星期日24原命题原命题若若p 则则q逆命题逆命题 若若q 则则p
17、否命题否命题若若 则则 逆否命题逆否命题 若若 则则 互互 逆逆互互 逆逆互互 否否互互 否否互为互为 逆否逆否互为互为 逆否逆否四种命题之间的相互关系四种命题之间的相互关系2021/8/8 星期日25思考思考l原命题的真假与其它三原命题的真假与其它三种命题的真假有什么关种命题的真假有什么关系？系？2021/8/8 星期日26 逆命题逆命题:角的平分线上的点角的平分线上的点,到这个角的到这个角的 两边距离相等两边距离相等.否命题否命题:到一个角的两边距离不相等的点到一个角的两边距离不相等的点,都不在这个角的平分线上都不在这个角的平分线上.逆否命题逆否命题:不在这个角的平分线上的点不在这个角的平
18、分线上的点,到这到这 个角的两边距离不相等个角的两边距离不相等.(1)(1)到一个角的两边距离相等的点到一个角的两边距离相等的点,都在都在这个角的平分线上这个角的平分线上.原命题原命题 (真真)逆命题逆命题 (真真)否命题否命题 (真真)逆否命题逆否命题 (真真)2021/8/8 星期日27.逆命题逆命题:两个三角形的面积相等两个三角形的面积相等,则它们全等则它们全等.否命题否命题:两个三角形不全等两个三角形不全等,则它们的面积不则它们的面积不 相等相等.逆否命题逆否命题:两个三角形的面积不相等两个三角形的面积不相等,则它们则它们不全等不全等.(2)(2)两个三角形全等两个三角形全等,则它们的
19、面积相等则它们的面积相等.原命题原命题 (真真)逆命题逆命题 (假假)否命题否命题 (假假)逆否命题逆否命题 (真真)2021/8/8 星期日28 逆命题逆命题:对顶角相等对顶角相等.否命题否命题:不相等的角不是对顶角不相等的角不是对顶角.逆否命题逆否命题:不是对顶角就不相等不是对顶角就不相等.(3)(3)相等的角是对顶角相等的角是对顶角原命题原命题(假假)逆命题逆命题 (真真)否命题否命题(真真)逆否命题逆否命题 (假假)2021/8/8 星期日29 逆命题逆命题:凡奇数都是质数凡奇数都是质数.否命题否命题:不是质数就不是奇数不是质数就不是奇数.逆否命题逆否命题:不是奇数就不是质数不是奇数就
20、不是质数.(4)(4)凡质数都是奇数凡质数都是奇数.原命题原命题(假假)逆命题逆命题 (假假)否命题否命题(假假)逆否命题逆否命题 (假假)2021/8/8 星期日30 原命题与逆命题未必同真假原命题与逆命题未必同真假.原命题与否命题未必同真假原命题与否命题未必同真假.原命题与逆否命题一定同真假原命题与逆否命题一定同真假.原命题的逆命题与原命题的否命题原命题的逆命题与原命题的否命题一定同真假一定同真假.几条结论几条结论:2021/8/8 星期日31例例 证明：若证明：若p2q22，则，则pq2.分析：将分析：将“若若p2q22，则，则pq2”看成看成原命题。由于原命题和它的逆否命题具有原命题。由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题。以证明它的逆否命题为真命题。练习 p82021/8/8 星期日322021/8/8 星期日33