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1、数学参考答案第1 页（共 10 页）扬州市 20192020 学年度第一学期期中调研测试试题高三 数学 参 考 答 案一、填空题：1.1,2,3,42.1122i3.0 4.2yx5.5 6.16 7.6 558.1 9.3210.3211.212.1515,151513.2 21214.21,3ee二、解答题：15 解：(1)由103xx得13Axx2 分0m时,由240 x得2,2,B4分1,2,AB7 分(2)由2224 0 xmxm得：22Bx mxm 9 分13Axx,13,RC A11 分RBC A23m,或21m，5m或3m实数 m 的取值范围为,35,14 分16.解：53co
2、s,2,0,54sin4tan32 分41tantan34tan()7441tantan1143 6 分（2）,2524cossin22sin8 分.257sincos2cos2210 分则sin(2)sin 2coscos2sin666数学参考答案第2 页（共 10 页）243717243()2522525014 分17 解：（1）因 为:3lyk x与 圆C相 切，所 以 圆 心C到 直 线 的 距 离2|32|21kdk，3 分解得0k或125k所以斜率k为 0 或1257 分（2）法一：当l的倾斜角为45时，:3lyx，令0 x，得3y，所以0,3B由22324yxxy，解得17237
3、2xy舍去，或172372xy所以17 37,22D10 分则17173,3,22ABBD，12 分所以37117215 分法二：当l的倾斜角为45时，:3lyx，令0 x，得3y，所以0,3B过点 C 作 AB 的垂线交AB 于点 M，则 CM=BM22|32|2211，10 分21442MDCM，14222BD 12 分又22333 2AB所以3 271142215 分数学参考答案第3 页（共 10 页）法三：当l的倾斜角为45时，:3lyx，令0 x，得3y，所以0,3B设00,D xy因为ABBD，点D在第一象限，所以003,3,3xy，0则00333xy，得00333xy，即3 3,
4、3D 12 分又 点D在 圆上，所 以2233324，解 得17（舍 去）或71 15 分18 解：设EF中点为M，连结OM，则cos,2sinOMAD（1）当3时，杠铃形图案的面积1222sincoscos323333S232323 5 分答：当3时，杠铃形图案的面积为232323平方米 6分（2）杠铃形图案的面积22sincoscos3SS22221(cossin)sin3222(2sinsin)39 分因为5412，所以2212sinsin2sin(sin)033，0S，S单调递增 11 分所 以当4时，S的 最 小 值 为22sincoscos44434S22123.答：杠铃形图案的面
5、积的最小时为2 2123平方米 1 5 分2020届江苏省扬州市高三上学期期中调研考试数学参考答案数学参考答案第4 页（共 10 页）19.解：（1）设椭圆的焦距为2c因为线段F F12为直径的圆与椭圆交于点3 54 5,55P所以25c法一：125,0,5,0FF，则1226aPFPF，3a所以22952bac则椭圆的方程为22194xy 4 分法二：又点3 54 5,55P在椭圆上所以2222223 54 55515abab，解得2294ab所以椭圆的方程为22194xy 4 分（2）因为直线ykxt与圆相切，所以2|51tk，即225 1tk（）由22194ykxtxy，消去y得2229
6、4189360kxktxt因为直线与椭圆相切，所以222184 936940kttk即22940kt（）联立（）（）得1252kt负值舍去10 分取 BD 中点 M，连结 OM，则OMAB，又ABDE，所以M为 AE 中点法一：由1ykxtyxk，解得22,11kttMkk所以22212,11tkktEkk数学参考答案第5 页（共 10 页）代入椭圆方程化简得422423621929kktkk2242361929kkk设211mk则2236112042tm，当2m时，t取最大值3，此时1k又1k，3t时，15 240,3,1,2,2,1,3,013 13ABCDE符合题意，故t的最大值为3(不
7、检验扣1 分)16 分法二：则OMAB，M为 AE 中点所以OEOAt由22222194xytxy，解得22945tx，则22549xt又29x，所以3t，t的最大值为3，此时1k又1k，3t时，15 240,3,1,2,2,1,3,013 13ABCDE符合题意，故t的最大值为3(不检验扣1 分)16 分20.解：（1）()f x 的定义域为(0,).当1a时，21()ln21,()22.f xxxxfxxx(1)1.f所以，函数()fx 在1x处的切线方程为2(1)yx即30 xy 2 分（2）2()ln22f xxaxaxa，2221(),(0)axaxfxxx.当0a时,1()0.fx
8、x()f x 是单调减函数.符合 3 分当0a时,()f x若是单调增函数,则2221()0axaxfxx，即22210(0)axaxx恒成立,这不可能;5 分()f x若是单调减函数,则2221()0axaxfxx，即22210(0)axaxx恒成立,令2h(x)=221axax,其开口方向向上,对称轴方程为12x,h(0)=10,故2min111()()2()210,02222h xhaaa又,1,2.aZa 7 分综上，满足条件的非负整数a 的值是 0,1,2 8 分（3）()()3g xf xx2020届江苏省扬州市高三上学期期中调研考试数学参考答案数学参考答案第6 页（共 10 页）
9、2()ln(21)1g xxaxaxa22(21)1(1)(21)1()221=axaxxaxgxaxaxxx当0a,时，210axx.当 01x时，()0g x，()g x 在(0,1)上为减函数；当1x时，g()0 x，()g x 在(1,)上为增函数.所以当(0,xb(1)be 时，min()(1)0()g xgg b，不符合题意.10 分当0a时，12(1)()2g()a xxaxx.（i）当112a，即12a时，当 x 变化时，(),g()g xx 的变化情况如下：x1(0,)2a12a1(,1)2a1(1,)()g x00()g x极小值极大值若满足题意，只需满足1()()2gg
10、ea，整理得21ln 2(2)204aee aea.令211()ln 2(2)2()42F aaee ae aa，当12a时，2221141()2(2)044aFaeee eaaa，所以()F a 在1(,)2上为增函数，所以，当12a时，2211111()()(2)2(2)022222F aFeeee.可见，当12a时，1()()2gg ea恒成立，故当12a，(0,xb(12)b时，函数()g x 的最小值为().g b；所以12a满足题意.12 分（）当112a，即12a时，2(1)()0 xg xx,，当且仅当1x时取等号.所以()g x 在(0,)上为减函数.从而()g x 在(0,
11、b 上为减函数.符合题意.13 分（）当112a，即102a时，当 x 变化时，(),()gx g x 的变化情况如下表：x(0,1)11(1,)2a12a1(,)2a()g x00数学参考答案第7 页（共 10 页）()g x极小值 0极大值若满足题意，只需满足()(1)g eg，且12ea（若12ea，不符合题意），即22(1)eae，且12ae.又22221(1)20(1)22(1)eeeee e，22221(2)10(1)22(1)eeee221(1)2eae.综上，22(1)eae.所以实数a的取值范围是22(,).(1)ee 16 分21.解：(1)因为矩阵103aA属于特征值的一
12、个特征向量为11，所以1110311a，即1,3,a所以4,3.a5 分(2)由(1)知4103A，所以24141167030309A.10 分22.解：（1）每次取得白球的概率是25，取得红球的概率是35，两次都取得白球的概率是252，两次都取得红球的概率是352，故两次取得的球颜色相同的概率为：2349135525252522.-3分(2)X可能的取值为2,3,4.-4分224(2)5525P X，233212(3)555525P X，339(4)5525P X.-8分所以X的分布列为：X 2 3 4 P4251225925所以X的数学期望412916()2342525255E X.-10
13、分2020届江苏省扬州市高三上学期期中调研考试数学参考答案数学参考答案第8 页（共 10 页）23.解：在正三棱柱111ABCA B C中，取 AB 中点 O，取 A1B1中点 O1，连 OC、OO1，则OO1/AA1，AB OC，又正三棱柱111ABCA B C中，AA1平面ABC，AB、OC?平面ABC，所以 AA1 OC，AA1AB，所以 OO1OC，OO1AB.以 O 为坐标原点，OA、OO1、OC 所在直线分别为x、y、z 轴建立如图所示空间直角坐标系Oxyz，则O 0,0,0，A 1,0,0，C 0,0,3，C0,2,31，E 1,2,0，F1,22,0，1,2,3CE，11,2,
14、3C F，（1）若1=2，1,1,3CE，11,1,3C F，1111 131cos,555CEC FCE C FCEC F，故异面直线 CE 与1C F所成角的余弦值为15.5 分（2）由（1）可得1,22,3CF，设平面 CEF 的一个法向量,nx y z，则2302230n CExyzn CFxyz，取1z得：32 3,3,1n，取平面 AEF 的一个法向量OC0,0,3，由二面角AEFC的大小为，且2 55sin，得22235cos,5332 331OC nOC nOCn，化简得21(21)3，所以363.10 分24.解：(1)2111(1)11SC，212132222211113(
15、1)(1)(1)2222kkkSCCCk，31213243333331111313111(1)(1)(1)(1)32323236kkkSCCCCk，数学参考答案第9 页（共 10 页）所以2112SS，3213SS.4 分(2)猜想：110nnkSk，即111123nSn.5 分证法一：下面用数学归纳法证明.1当1n时，由(1)知，11S，成立；2假设当 nm 时，111111(1)123mkkmmkSCkm.则当1nm时，111211111111(1)(1)(1)1mmkkkkmmmmkkSCCkkm112111(1)(1)1mkkkmmmkCCkm 6 分111211111(1)+(1)(
16、1)1mmkkkkmmmkkCCkkm112111+(1)(1)1mkkmmmkSCkm.又因为11(1)!(1)(1)0!(1)!(1)!(1)!kkmmmmkCmCkmkmkkmk，则11(1)kkmmkCmC，所以11111kkmmCCkm，所以1mS121111+(1)(1)11mkkmmmkSCmm 8 分121111+(1)(1)11mkkmmmkSCmm12111+(1)(1)1mkkmmmkSCm1111(1)(1)1mkkmmmkSCm123111111111(1)(1)(1)1rrmmmmmmmmmmmSCCCCCCm11(11)11mmSm11111+11231mSmmm
17、，综上 1 2，111123nSn，故110nnkSk.10 分证明二：因为11(1)!(1)(1)0!(1)!(1)!(1)!kknnnnkCnCknknkknk，则11(1)kknnkCnC，所以1+1111kknnCCkn，2020届江苏省扬州市高三上学期期中调研考试数学参考答案数学参考答案第10 页（共 10页）所以111211111111(1)(1)(1)1nnkkkknnnnkkSCCkkn（同证法一中“归纳递推”中的过程，参考上面的评分标准给分）1+1nSn，9 分所以111nnSSn，则111nnSSn，11nnSSn，2112SS，以上 n 个式子相加得1111112nSSnn，又由(1)知1=1S，所以111111231nSnn，当2n时，111123nSn，当1n时，符合上式.故111123nSn，即110nnkSk.10 分