《江苏省扬州市江都中学2020届高三上学期第一次学情调研考试试题数学【含解析】.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省扬州市江都中学2020届高三上学期第一次学情调研考试试题数学【含解析】.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、江苏省扬州市江都中学2020 届高三上学期第一次学情调研考试试题数学一、填空题1.已知集合124 234，AB，则AB_【答案】24，【解析】【分析】根据集合的交集运算进行求解【详解】公共元素为2,4，所以AB2 4，【点睛】此题相对简单，需注意交集取公共元素，并集全部都取，补集取相反部分的总体原则2.在复平面内，复数21+izi（i为虚数单位）对应点的坐标是_【答案】1 1，【解析】【分析】通过对式子的除法运算进行化简即可【详解】21-2=1+1+1+1-iiiziiii，对应的复平面的点坐标为1 1，故答案为：1 1，【点睛】复数的除法运算中应熟记22abiabiab，公式在化简时，分母没
2、必要再拆项3.已知 5 个正整数，它们的平均数是4，众数是 3 5，则这 5 个数的方差为_【答案】45【解析】【分析】通过分析数据可知，这5 个数为 3,3,4,5,5，再根据方差公式进行求解【详 解】因 为5个 数 中 众 数 为3,5，故3,5各 有 两 个，因 平 均 数 是4，设 另 一 个 数 为x,335545xx,求得4x，再根据方差公式22221114()2 342 5455niiSXXn，求得方差为45故答案为：45【点睛】判断数据特征，进行合理推断是解决这种题型常用方法，平均数与方差公式需要牢记4.根据如图所示的伪代码，则输出的S的值为 _【答案】2【解析】【分析】由题可
3、知，S的初始值为0，循环变量的初始值为1，步长为 2，所以该循环进行的是累加运算，结合具体数值进行运算即可【详解】所以该程序运行后输出的算式是350sinsinsin2666S所以输出的S的值为 2【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图，注意步长为2 和每次循环得到的S值是解题的关键5.已知双曲线22221(00)yxabab，的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_【答案】yx【解析】【分析】根据离心率公式和双曲线的,a b c的关系进行求解【详解】由题知：2222ceabacab，双曲线的渐近线方程为yx故答案为：yx【点睛】本题考查双曲线渐近线的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质6
4、.甲约乙下中国象棋，若甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9，则甲乙和棋的概率为_【答案】0.3【解析】【分析】利用互斥事件概率加法公式直接进行求解【详解】甲约乙下中国象棋，甲获胜的概率为0.6，甲不输的概率为0.9甲乙和棋的概率为：0.9-0.6=0.3P故答案为：0.3【点睛】互斥事件最大的特点在于每个概率事件互不受影响，相互独立7.各棱长都为2的正四棱锥与正四棱柱的体积之比为m，则m的值为 _【答案】26【解析】【分析】结合正四棱锥与正四棱柱的结构特征和体积公式进行求解即可【详解】方法一：正四棱柱的体积为8，正四棱锥的高为2，底面积为4，故体积为4 23，所以正四棱锥与正四棱柱的体积
5、之比为2:6，即26m.方法二：设正四棱锥与正四棱柱的高分别为12,h h.因为正四棱锥与正四棱柱的底面积相同，所以体积之比为121223326hh.【点睛】一定要明确题设中给的图形特征，如本题中，正四棱锥是底面为正方形，各侧面是正三角形，正四棱柱指的是正方体8.已知等比数列na的公比为qqZ，若1418aa，且2312aa，则1a的值为 _.【答案】2【解析】【分析】采用等比数列的通项公式进行求解【详解】3141118aaaq，223112aaaqq两式相除可得231(1)13112qqqqqqqq，解得12q（舍去），2q，2q代入式可得12a答案为：12a【点睛】本题中涉及立方和公式：3
6、322abababab，应熟记9.已知02，若tantan2，且1sinsin3，则的值为 _【答案】3【解析】【分析】观察式子结构特点，可通过sinsin1coscostantan6求得，要求的值，可通过计算cos的值，反查三角函数表求得【详解】sinsin1coscostantan6，111coscoscossinsin632又02，3答案为：3【点睛】对于形如这种角度的求解问题，我们一般通过转化成sin，cos的形式进行求解，还应熟悉常见的和差角公式的基本特点10.已知函数2ln030 xaxfxxaxa x，有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_.【答案】1a【解析】【分析】当0 x
7、时，结合对数函数单调性转化成恒成立问题，当0 x时，结合二次函数性质，采用韦达定理求解【详解】由题可知，函数有三个零点，则对于lnyxa在,0a有一个根，根据对数函数性质可得：当0 x时，函数值0,fx即ln0,1aa23yxaxa在(0,)上有两个根，由韦达定理得21212940300aaxxax xa，解得49a综上所述，实数a的取值范围是1a【点睛】函数零点问题一般需要通过结合函数图像基本性质和零点存在定理进行求解，函数转化成恒成立问题在解决此类题型中应用广泛11.设正实数,a b满足11bab，则2ab的最小值为 _【答案】42 3【解析】【分析】将2ab中的a值进行代换，再结合均值不
8、等式性质，即可求解【详解】由2111bbaabb，0,1ab则2112212231442 3111babbbbbbbb故2ab的最小值为42 3【点睛】要熟悉均值不等式的一般形式和变形式，涉及拼凑法时，一定要注意等价性，不可多项或少项12.在平面直角坐标系xOy中，已知圆22:9Cxy，点A是圆C与x正半轴的交点，点P是圆C上异于点A的任意一点，若直线:2lykx恰有一点B满足2ABBP，则实数k的所有值为 _【答案】403，【解析】【分析】可设,2B b bk，通过2ABBP代换出圆上的坐标点P,将P点代入圆的方程进行求解即可【详解】由题可知(3,0)A,设,2B b bk，00,P xy0
9、0133221362xbABBPykb，又22009xy，将P点代入圆的方程得：222211333691421044bkbkbkb又B只有一个，故2242410kk，解得0k或43k故 k 组成的集合为403，【点睛】本题将向量和圆进行考察，体现了用线量法表示几何关系的优越性，此题还涉及等价条件的转化，把方程经过变形处理看作关于b 的一元二次方程，再结合判别式进行求解，体现了方程的化归思想13.已知平面向量a b c，满足1a，12a b，2a c，且22bc，求b c的最小值为 _【答案】58【解析】【分析】可设1,0a，,bm n，,cp q，运用向量的坐标表示求出m,n,再由向量模的公式
10、和数量积公式的坐标表示，结合二次函数的最值求法，即可得到所求最小值【详解】设1,0a，,bm n，,cp q，1122a bm，22a cp，2222212423bcbcnqqn2235511232312488b cnqnnnnn答案为：58【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算及向量模的公式，二次函数最值问题，找出n,p 的等量关系，学会用配方法解题是关键14.在锐角三角形ABC中，AD是边BC上的中线，且ADAB，则tantantanABC的最小值_【答案】6【解析】【分析】结合图形，根据三角形的几何关系，分别表示出tan A，tanB，tanC，将tantantanABC转化成函数问题，利
11、用导数求解最值【详解】不妨设2BDCD,ADAB,1BHHD,tanBh,tan3hC,2tantan4tantantantan13BChABCBCh2232tantantan334433hABhhhhC令324,33hfhh222993hfhh，令导数为0，可得3hfh在0,3单减，3,单增，min36f hf所以tantantanABC的最小值为6【点睛】本题采用将正切函数转化为几何问题，结合函数求解最值，在三角形问题中，我们常利用函数来研究几何问题，在处理相对复杂的几何问题时，往往可简化运算二、解答题15.已知ABC中，1tan4A，3tan5B，17AB.求：（1）角C的大小；（2）A
12、BC中最小边的边长.【答案】（1）34C（2）2【解析】【分析】（1）由内角和定理，以及诱导公式化简tanC，将 tanA与 tanB代入值代入求出tanC的值，即可确定出C的度数；（2）由 tanA与 tanB的大小判断出BC为最小边，由tanA的值，利用同角三角函数间基本关系求出sinA的值，利用正弦定理求出BC的长【详解】解：(1)tantantanCABAB=tantan1tan tanABAB=13451 314 51，所以34C，(2)因为tantanAB，所以最小角为A又因为1tan4A，所以17sin17A，17cAB，又sinsinacAC，所以asinsincAC17171
13、7222【点睛】此题考查了正弦定理，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键16.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是矩形，PAAB，E为 PB的中点（1）若过CDE，的平面交PA于点 F，求证：F 为 PA的中点；（2）若平面PAB平面PBC，求证：BCPA【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【分析】(1)采用线面平行的判定定理和性质定理进行求解，证明ABEF，进而证明F为 PA的中点（2）因为平面PAB与平面PBC的交线为PB，可通过线面垂直的判定定理证明BCPAB平面，进而得到BCPA【详解】（1）因为ABCD是矩形，所以，CDAB，又平
14、面ABPAB，平面CDPAB，所以平面CDPAB，又平面CDCDEF，平面平面CDEFPABEF，所以CDEF，所以ABEF，又在PAB中，E为 PB的中点，所以，F 为 PA的中点（2）因为PAAB，E为 PB中点，所以AEPB，AEPAB平面又平面PAB平面PBC，平面PAB平面 PBCPB，所以平面AEPBC，BCPBC平面，所以AEBC，又ABCD是矩形，所以ABBC，AEABA，平面ABAEPAB，所以，BCPAB平面，PAPAB平面，所以BCPA【点睛】线面平行与线线平行可相互转化，线面垂直与面面垂直也可相互转化如果题设要证线线平行，一般是通过线面平行转化，若是要证线线垂直，一般是
15、通过线面垂直进行转化，如本题的证明思路17.如图是一块地皮OAB，其中OA，AB是直线段，曲线段OB是抛物线的一部分，且点O是该抛物线的顶点，OA所在的直线是该抛物线的对称轴经测量，2OAkm，2ABkm，4OAB现要从这块地皮中划一个矩形CDEF来建造草坪，其中点C在曲线段OB上，点D，E在直线段OA上，点F在直线段AB上，设CDakm，矩形草坪CDEF的面积为fakm2（1）求fa，并写出定义域；（2）当a为多少时，矩形草坪CDEF的面积最大？【答案】（1）32()2f aaaa，定义域为(0,1)；（2）当713a时，矩形草坪CDEF的面积最大【解析】试题分析：(1)由题意可得函数的解析
16、式为322f aaaa，定义域为0,1；(2)对函数求导，结合导函数与原函数的关系可得当713a时，矩形草坪CDEF的面积最大.试题解析：（1）以O为原点，OA边所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，过点B作BGOA于点G，在直角ABC中，2AB，4OAB，所以1AGBG，又因为2OA，所以1OG，则1,1B，设抛物线OCB的标准方程为22ypx，代入点B的坐标，得12p，所以抛物线的方程为2yx因CDa，所以AEEFa，则22DEaa，所以22faaaa322aaa，定义域为0,1（2）2322faaa，令0fa，得713a当7103a时，0fa，fa在710,3上单调增；当7113
17、a时，0fa，fa在71,13上单调减所以当713a时，fa取得极大值，也是最大值18.在平面直角坐标系xoy中，已知12,F F分别为椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点，且椭圆经过点(2,0)A和点(1,3)e，其中 e为椭圆的离心率（1）求椭圆的方程；（2）过点A的直线l椭圆于另一点B，点M在直线l上，且OMMA若12MFBF，求直线l的斜率【答案】（1）221?43xy（2）3 1010【解析】【分析】（1）由椭圆经过点A（2，0）和（1，3e），列出方程组，求出a2，b3，c1，由此能求出椭圆的方程；（2）设直线l的方程是yk（x2），联立方程组，求出点B坐标，点M的坐标为（
18、1，k），由MF1BF2，即可求出直线l的斜率【详解】（1）因为椭圆经过点2 0A，和点1 3e，所以22222219144acbbca，解得231abc，所以椭圆的方程为22143xy（2）由（1）可得121 01 0FF，设直线 l 的斜率为k，则直线l 的方程为y=k(x-2)由方程组222143yk xxy，消去 y，整理得2222431616120kxk xk，解得 x=2 或286x43k，所以 B点坐标为222861243 43kkkk，由 OM=OA 知，点 M在 OA的中垂线x=1 上，又 M在直线 l 上，所以 M点坐标为(1,-k)所以12F Mk，22222228612
19、49121434343 43kkkkF Bkkkk，若12MFBF，则222122228181220180434343kkkF MF Bkkk解得2910k，所以3 10k10，即直线 l 的斜率3 1010【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查椭圆的简单性质，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题19.已知函数()lnfxxxa，()lng xxax，aR.（1）求函数()f x 的极值；（2）若函数()g x有两个零点，求实数a取值范围；（3）若当1，x时，()0f xg x恒成立，求实数a的最大值【答案】（1）极小值1ae，没有极大值；（2）10ae；（
20、3）2.【解析】【分析】（1）直接进行求导，根据导数与原函数的关系进行极值求解（2）由于参数a的存在，故需对a进行分类讨论，0a时与题意不符，舍去，对0a进行导数求解，通过增减性进行辨析，当1xa时取到极大值，此时需要判断函数在1xa的左右两侧存在函数值小于零的点，进而得证（3）令()F xf xg x，先求导，再根据恒成立问题求解参数a【详解】（1）()ln1fxx，令()0fx，得1xe，x10，e1e1，+efx0fx极小值所以()f x 有极小值1ae，没有极大值；（2）1()gxax，0a时，()0g x，在0，+单调递增，此时()g x至多有一个零点，这与题意不符；0a，令()0g
21、 x，得1xa，x10，a1a1，+agx0g x极大值因为函数()g x有两个零点，所以11ln10gaa，得10ae，10ga，110gga，又()g x在11，a上单调，且图象连续不间断，所以()g x在11，a上有一个零点；2211111ln2lngaaaaa，2lntttte2210tttt，所以t在，e单调减，所以20tee，所以，210ga，2110ggaa，又()g x在211，aa上单调，且图象连续不间断，所以()g x在211，aa上有一个零点；综上，实数a取值范围为10ae；（3）记()1 ln11F xf xg xxxa xx1lnxFxxax，令1lnxyxax，22
22、1110 xyxxx所以，2ya，2a时，0Fx，F x在1，上单调增，所以0F x，符合题意；2a时，110aaFee，10aFeF，又Fx在1，上单调增，所以，01，x，使得00Fxx01，x0 x0，+xFx0F x极小值则当01，xx时，0F x，这与0F x恒成立不符，综上，实数a的最大值为2.【点睛】导数问题整体难度偏大，求解时遇到导数受阻情况，需要还原原函数，根据极值点进行判断，如本题中确定极值点后，无法判断极值点两侧是否存在函数值小于零的点，需要找出临近点再进行判断；对于恒成立问题，一般是通过极值点证明最大值或最小值恒大于或小于某个值进行求解；遇到参数问题可采取分类谈论的方式将
23、难度降低，结合导数进一步求解20.已知数列na、nb、nc，对于给定的正整数k，记nnn kbaa，nnnkcaanN.若对任意的正整数n满足：1nnbb，且nc是等差数列，则称数列na为“()H k”数列.（1）若数列na的前n项和为2nSn，证明：na为()H k 数列；（2）若数列na为1H数列，且112115abc，求数列na的通项公式；（3）若数列na为2H数列，证明：na是等差数列【答案】（1）见解析；（2）nan；（3）见解析.【解析】【分析】（1）采用1nnnaSS可进行求解，要验证1n是否成立（2）（3）通过题干，将nnnkbaa，nnnkcaa进行联立求解，代换掉nb，nc
24、，可求得数列na的通项公式【详解】（1）当2n时，221(1)21nnnaSSnnn，当1n时，111aS符合上式，则21(1)nann，2,422nnbk cnk，则1,nnbb14nncc对任意的正整数n满足1nnbb，且nc是公差为4 的等差数列，aa为()H k 数列.（2）121,1,2aba，由数列na为(1)H数列，则nc是等差数列，且123,5cc21ncn即121nnaan，1(1)nnanan则nan是常数列，110,naan，验证：11nnnbaa，1nnbb对任意正整数n都成立nan又由121nnaan，1223nnaan，两式相减，得：22nnaa，211222(1)
25、21,2(1)2kkaakkaakk，nan（3）由数列aa为(2)H数列可知：nc是等差数列，记公差为d221222nnnnnnnnccaaaabbd，132nnbbd则123220nnnnbbbbdd又1nnbb，1nnbb，数列nb为常数列，则21nnnbaab22nnnnncaaab由1112,2nnnnnndccaadaa，na是等差数列.【点睛】对于数列的求解应把握核心，知道首项和公差（公比）是求解的关键，涉及na与nS的联系需用1nnnaSS进行通项求解，但一定注意要验证1n是否成立；对于题设给出新定义数列的情况，我们需抓住求解问题的核心，看要证明什么数列，就将已知条件代换成相应
26、数列，通过通项公式的常规求法，求得该数列即可21.若点1 2，P在矩阵11abA对应的变换作用下得到点5 4，P，求矩阵A和矩阵A的特征值【答案】31，-.【解析】【分析】根据矩阵的变换关系列出关于a,b的二元一次方程，联立求解即可；设矩阵的特征值为，令12021f，解出对应的即可【详解】因为115124ab，得12524ab，解得22ab，所以1221A，12021f，得2140，解得，1231，所以1221A，矩阵A的特征值为31，-【点睛】矩阵的求解只需要熟记常规计算方法，代入相应公式进行求解22.已知点P是曲线2cos:sinxCy（为参数，2）上一点，O为原点若直线OP的倾斜角为4，
27、求点P的直角坐标【答案】2 52 555，.【解析】【分析】观察可知曲线C为椭圆，直接写出C的标准方程，再联立直线与椭圆的标准方程求解即可【详解】曲线C直角坐标方程：22014xyy，直线OP的方程为：0 xy，联立方程组221400 xyxyy，解得2 552 55xy，所以P的直角坐标为2 52 555，【点睛】椭圆的参数方程为：cossinxayb，其中 a,b 不等，注意和圆的参数方程进行区分23.已知1x，2x，3x为正实数，若1231xxx，求证：2223211231xxxxxx.【答案】证明见解析【解析】【分析】利用基本不等式2abab得22221121122.xxxxxxx同理
28、可得22332232222,xxxxxxx22113313322xxxxxxx,三式相加就可得所求结论.准确理解两项和与积的关系，构造和与积的关系运用基本不等式进行放缩证明是解决本题的关键.【详解】2222223211232311231232222()2xxxxxxxxxxxxxxx，2223211231xxxxxx.考点：基本不等式应用.24.如图，在直三棱柱111ABCA B C中，12,AAABACABACM是棱BC的中点，点P在线段1A B上（1）若P是线段1A B的中点，求直线MP与直线AC所成角的大小（2）若N是1CC的中点，直线1A B与平面 PMN 所成角的正弦值为77，求线段
29、BP的长度【答案】(1)4.(2)22BP.【解析】【分析】(1)以1AB AC AA，为正交基建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求得直线MP与直线AC所成的角的大小为4（2）设P x y z，1BPBA，01，利用向量法求得直线1A B与平面PMN所成角的正弦值2212127271111 2 222，解得14，即得线段BP的长度【详解】以1AB AC AA，为正交基建立如图所示的空间直角坐标系，则0 0 0A，2 0 0B，0 2 0C，10 0 2A，1 1 0M，（1）若P是线段A1B的中点，则1 0 1P，01 1MP，0 2 0AC，所以2cos2MPACMP ACMPAC，又
30、0 MP AC，所以34MP AC，所以直线MP与直线AC所成的角的大小为4（2）由0 2 1N，得1 1 1MN，设P x y z，1BPBA，01，则22 0 2xy z，所以2202xyz，所以220 2P，所以121 2MP，设平面PMN的法向量,nx y z，则nMN，nMP，所以0,1220,xyzxyz取111,122n因为12 0 2BA，设直线1A B与平面PMN所成角为由11221121272sincos71111 2 222n BAn BAnBA，得14所以114BPBA，所以11242BPBA【点睛】（1）本题主要考查向量法求异面直线所成的角和直线和平面所成的角，意在考
31、查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2)直线和平面所成的角的求法方法一：（几何法）找作（定义法）证（定义）指求（解三角形），其关键是找到直线在平面内的射影作出直线和平面所成的角和解三角形.方法二：（向量法）?sinAB nAB n，其中AB是直线l的方向向量，n是平面的法向量，是直线和平面所成的角.25.设整数3n，集合1 2 3，Pn，A B是P的两个非空子集，记na为所有满足AB的集合对，A B的个数（1）求3a；（2）求na【答案】（1）37；（2）43nn.【解析】【分析】正难则反，通过求出AB情况下对应的集合对的个数，再用总的非空真子集个数减去即可；借鉴第一问的求解方法，结合排列
32、组合公式进行求解【详解】（1）集合对，A B共33212149个，先考虑AB的情况：1=A时，2=B，3=B，2 3=，B，2=A时，1=B，3=B，1 3=，B，3=A时，1=B，2=B，1 2=，B1 2=，A时，3=B，1 3=，A时，2=B，2 3=，A时，1=B所以 AB的集合对，A B 的个数为37，即337a（2）集合对，A B 共2212121nnn个，先考虑AB的情况：当A中有k个元素时，共有knC种选法，则B中不能包括这k个元素中任何一个，只能从包含剩余nk 个元素的集合中选取非空子集，共有21n k种选法，故此时有21kn knC种，所以，111111212nnnkn kkn kknnnkkkCCC00000222nnkn knnknnnnnnnkkCCCCCC12121 12nnn131222321nnnnn，所以，212132143nnnnnna【点睛】对于集合类新题型，解题方法还是基于常规知识，考生应对集合的子集、真子集、非空真子集的求法牢牢掌握，对于延伸类问题，可借鉴前问解题方法，我们的考题中，有很多题型在设问方式上衔接性非常密切